Besicovitchの被覆定理

まず$A$が有界の場合を考える。$\displaystyle R \coloneqq \frac{1}{2} \sup_{B \in \F} \diam B$とし、$\G = \{B_i\}_{i = 1}^J = \{\Bb_{r_i}(a_i)\}_{i = 1}^J \subset \F$, $J \in \Zp \cup \{\infty\}$を次のようにとる:

1. $B_1 = \Bb_{r_1}(a_1)$を$r_1 \ge \dfrac{3}{4} R$となるようにとる。
2. $B_1, \dots, B_{j-1}$がとれたとする。$\displaystyle A_j \coloneqq A \setminus \bigcup_{i = 1}^{j-1} B_i$ とする。

• $A_j = \emptyset$のときは$J = j - 1$として終了する。
• $A_j \neq \emptyset$のときは$B_j = \Bb_{r_j}(a_j)$を
  $$a_j \in A_j, \quad r_j \ge \frac{3}{4} \sup\left\{r : B_r(a) \in \F, \ a \in A_j \right\}$$
  となるようにとる。

3. 終了せずに無限個の$B_i$がとれた場合は$J = \infty$とする。

$A_0 = A$とする。$i \lt j$とすると$a_i \in A_i$, $a_j \in A_j \subset A_i$より
$$r_i \ge \frac{3}{4} \sup\left\{r : B_r(a) \in \F, \ a \in A_i \right\} \ge \frac{3}{4} r_j.$$
$B_j \in \G$について$B'_j \coloneqq \Bb_{\frac{1}{3} r_j}(a_j)$とすると$a_j \in A_j$より$a_j \notin B_i$であるから
$$|a_j-a_i| \gt r_i \gt \frac{7}{9} r_i \ge \frac{1}{3} r_i + \frac{1}{3} r_j.$$
これより
$$i \neq j \implies B'_i \cap B'_j = \emptyset.$$

$\displaystyle \bigcup_{B \in \F} B$が有界であることに注意すると
$$\sum_{i=1}^J \left(\frac{1}{3}\right)^n \omega_n r_i^n = \sum_{i=1}^J |B'_i| = \left|\bigcup_{i=1}^J B'_i\right| \lt \infty.$$
ここで$\omega_n \coloneqq |B_1(0)|$である。とくに $J = \infty$のとき $r_i \to 0 \ (i \to \infty)$。またこれより
$$\sup\left\{r : B_a(r) \in \F, \ a \in \bigcap_{i=1}^\infty A_i \right\} \le \liminf_{i \to \infty} \sup\left\{r : B_a(r) \in \F, \ a \in A_i\right\} \le \liminf_{i \to \infty} \frac{4}{3} r_i = 0$$
となり$\displaystyle \bigcap_{i=1}^\infty A_i = \emptyset$となる。すなわち$\displaystyle A \subset \bigcup_{i=1}^\infty B_i$.

$i$を固定する。平行移動により$a_i = 0$としてよい。
$$I_1 \coloneqq \left\{j \lt i : B_j \cap B_i = \emptyset, \ r_j \le 6r_i\right\}, \quad I_2 \coloneqq \left\{j \lt i : B_j \cap B_i = \emptyset, \ r_j \gt 6r_i\right\}$$
とする。

$\# I_1$を評価する。$j \in I_1$について$|a_j| \le r_i + r_j \le 9r_i - \frac{1}{3}r_j$より$B'_j \subset B_{9r_i}(0)$であり、$j \lt i$より$r_j \ge \frac{3}{4}r_i$であるから
$$\omega_n r_i^n \cdot \# I_1 \le 4^n \sum_{j \in I_1} \omega_n \left(\frac{1}{3}r_j\right)^n = 4^n \left|\bigcup_{j \in I_1} B'_j\right| \le 4^n \left|B_{9r_i}(0)\right| \le 36^n \omega_n r_i^n.$$
従って
$$\# I_1 \le 36^n.$$

一方$j, k \in I_2$, $j \neq k$について
$$\frac{a_j \cdot a_k}{|a_j| \cdot |a_k|} \lt \frac{43}{48}$$
となることを示す。

$j \lt k$ としてよい。$r_k \le \frac{4}{3}r_j$で、$a_k \notin B_j$であり $|a_j - a_k| \gt r_j$。また$0 = a_i \notin B_j, B_k$と$B_j \cap B_i, B_k \cap B_i \neq \emptyset$より$r_j \lt |a_j| \le r_j + r_i$, $r_k \lt |a_k| \le r_k + r_i$. これより
$$|a_k| \le r_k + r_i \le \frac{4}{3}r_j + \frac{1}{6}r_j = \frac{3}{2}r_j \lt \frac{3}{2}|a_j|;$$
$$|a_j - a_k| \gt r_j \ge |a_j| - r_i \ge |a_j| - \frac{1}{6}r_k \gt |a_j| - \frac{1}{6}|a_k| \gt \frac{3}{4}|a_j| \gt 0.$$
従って
\begin{align*} \frac{a_j \cdot a_k}{|a_j| \cdot |a_k|}&=\frac{|a_j|^2+|a_k|^2-|a_j-a_k|^2}{2|a_j||a_k|}\\ &\lt\frac{1}{2}\left(\frac{|a_j|}{|a_k|}+\frac{|a_k|}{|a_j|}-\frac{\left(|a_j|-\frac{1}{6}|a_k|\right)^2}{|a_j||a_k|}\right)\\ &=\frac{35}{72}\frac{|a_k|}{|a_j|}+\frac{1}{6}\\ &\le\frac{35}{72}\cdot\frac{3}{2}+\frac{1}{6}=\frac{43}{48}. \end{align*}
$\# I_2$を評価する。$\partial B_1(0)$はコンパクトであるから、$L=L_n\in\Zp$と$z_1,...,z_L\in\partial B_1(0)$が存在し$\displaystyle \partial B_1(0)\subset\bigcup_{l=1}^L B_{\frac{1}{6}}(z_i)$となる。$j\in I_2$について$y_j\colon=\frac{a_j}{|a_j|}$とすると$l_j\in\{1,...,L\}$であって$y_j\in B_{\frac{1}{6}}(z_l)$となるものが存在する。一方、$j,k\in I_2$, $j\neq k$ について$y_j\cdot y_k\lt\frac{43}{48}$より$|y_j-y_k|^2\gt 2-2\cdot\frac{43}{48}=\frac{5}{24}\gt\frac{1}{9}$. とくに $l\in\{1,...,L\}$であって$y_j,y_k\in B_{\frac{1}{6}}(z_l)$をみたすものは存在せず、$l_j\ (j\in I_2)$ はすべて異なる。よって
$$\# I_2\le L.$$
従って
$$\#\left\{j\lt i : B_j\cap B_i\neq\emptyset\right\}\lt 36^n+L+1 \eqqcolon M.$$
$\varphi \colon \G\to\{1,...,M\}$で$\varphi(B)=\varphi(B'),B\neq B'\implies B\cap B'=\emptyset$をみたすものが存在することを示す。

$J\le M$のときは明らか。$J\gt M$のときは次のように構成できる:

1. $i=1,...,M$については$\varphi(B_i)=i$とする。

2. $\varphi(B_1),...,\varphi(B_j)$, $j\ge M$まで決まったとする。$\#\left\{k\le j : B_k\cap B_{j+1}\neq\emptyset\right\}\lt M$より$i\in\{1,...,M\}$ であって次をみたすものが存在する: $k\in\{1,...,j\}$で$\varphi(B_k)=i$かつ$B_k\cap B_{j+1}\neq\emptyset$となるものが存在しない。
   この下で$\varphi(B_{j+1})=i$と定める。

この$\varphi$は明らかに$\varphi(B)=\varphi(B'),B\neq B'\implies B\cap B'=\emptyset$をみたす。$\G_i\colon=\{B\in\G\colon\varphi(B)=i\}\ (i=1,...,M)$とすれば$\G_1,...,\G_M\subset\F$は
$$B,B'\in\G_i, \quad B\neq B'\implies B\cap B'=\emptyset$$
かつ
$$A\subset\G=\bigcup_{i=1}^M\bigcup_{B\in\G_i} B$$
をみたす。
以上で、$A$が有界の場合の証明が終わる。

$A$が非有界の場合を考える。$A$が有界の場合より$m\in\Zz$について$\G_{m,1},...,\G_{m,M}\subset\F$であって$B=B_a(r)\in\G_{m,i}\implies a\in B_{2(m+1)R}(0)\backslash B_{2mR}(0)$かつ
$$B,B'\in\G_{m,i},B\neq B'\implies B\cap B'=\emptyset,$$
$$A\cap(B_{2(m+1)R}(0)\backslash B_{2mR}(0))\subset\bigcup_{i=1}^M\bigcup_{B\in\G_i} B$$
をみたすものが存在する。$m$が奇数のときは$i=M+1,...,2M$について$\G_{m,i}=\G_{m,i-M}$としておく。

$\G_1,...,\G_{2M}$を
$$\G_i\coloneqq \begin{cases} \bigcup_{m\colon\ 偶数}\G_{m,i} & (i=1,...,M)\\ \bigcup_{m\colon\ 奇数}\G_{m,i} & (i=M+1,...,2M) \end{cases}$$
と定める。明らかに $A\subset\bigcup_{i=1}^{2M}\bigcup_{B\in\G_i} B$. また $B=B_a(r)$, $B'=B_{a'}(r')\in \G_i$, $B\neq B'$とし、$a\in B_{2(m+1)R}(0)\backslash B_{2mR}(0)$, $a'\in B_{2(m'+1)R}(0)\backslash B_{2m'R}(0)$とすると、$m=m'$のときは$\G_{m,i}$のとりかたより$B\cap B'=\emptyset$で、$m\neq m'$のときは$|a-a'|\gt 2R\ge r+r'$となり$B\cap B'=\emptyset$.

以上より$N=2M$ととればよい。
以上で、$A$が非有界の場合の証明も終わる。

(1)を示す。Besicovitchの被覆定理の$\G_1,...,\G_N\subset\F$をとると
$$\mu(A)\le\sum_{i=1}^N\mu\left(A\cap\bigcup_{B\in\G_i}B\right).$$
とくに$j\in\{1,...,N\}$で
$$\mu\left(A\cap\bigcup_{B\in\G_j}B\right)\ge\frac{1}{N}\mu(A)$$
をみたすものが存在する。$\G_j$は高々可算より$\theta=\frac{1}{2N}$とすれば$\G_j$の有限部分集合$\H$で
$$\mu\left(A\cap\bigcup_{B\in\H}B\right)\ge\theta\mu(A)$$
をみたすものが存在する。

(2)を示す。$\sup\{r : B_r(a)\in\F\}\lt\infty$としてよい。以下のように有限な$\H_j\subset\F\ (j\in\Zz)$をとる:

$\H_0\coloneqq\emptyset$ とする。

$\H_j$がとれたとする。$\displaystyle C_j\colon=\bigcup_{B'\in\H_j}B'$, $A_j\colon=A\backslash C_j$, $\F_i\colon=\left\{B\in\F\colon B\cap C_j=\emptyset\right\}$とする。$\H_j$は有限より$C_j$は閉集合であるから仮定より各$a\in A_j$について$B_r(a)\in\F_j$が存在する。(1)の$\theta$をとると有限部分族$\H'_j\subset\F_j$で
$$\mu\left(A_j\cap\bigcup_{B\in\H'_j}B\right)\le\theta\mu(A_j)$$
をみたすものが存在し、$\mu$はBorelより
$$\mu\left(A_j\backslash\bigcup_{B\in\H'_j}B\right)\le(1-\theta)\mu(A_j)$$
が成り立つ。$\H_{j+1}\colon=\H_j\cup\H'_j$とする。

$\H_j$のとりかたより$B,B'\in\H_j,B\neq B'\implies B\cap B'=\emptyset$. また
$$\mu(A\backslash C_{j+1})=\mu\left(A_j\backslash\bigcup_{B\in\H'_j}B\right)\le(1-\theta)\mu(A\backslash C_j).$$
従って
$$\mu(A\backslash C_j)\le(1-\theta)^j\mu(A)\to 0\ (j\to\infty).$$
これより$\displaystyle \G\coloneqq \bigcup_{j=1}^\infty\H_j$とすればよい。

$f\in L^1(\R^n,\mu)$としてよい。$x\in\R^n$について
$$M_\mu f(x)\colon=\sup_{r\gt 0}\frac{1}{\mu(\Bb_r(x))}\int_{\Bb_r(x)}|f|d\mu$$
と定める。測度と積分8：Lebesgue測度の基本的性質（※要リンク）の命題38.4（※命題番号要確認）の証明の命題38.3（※命題番号要確認）を系(1)にとりかえることにより、$\alpha\gt 0$について
$$\mu(\{M_\mu f\gt 0\})\le\frac{1}{\theta\alpha}$$
となる。これを用いて同記事の補題39.2（命題番号要確認）と同様に証明できる。