Besicovitchの被覆定理

証明は Evans–Gariepy EG15 §1.5.2 の構成に従う。有界な $A$ に対する主張を三つの補題（lem-besicovitch-greedy・lem-besicovitch-overlap・lem-besicovitch-coloring。証明は本証明の後に与える）に分け、非有界な $A$ はそれに還元する。$M_n$ を lem-besicovitch-overlap の定数とし、$N_n:=2M_n$ とおく。
$A$ が有界のとき。$A=\emptyset$ なら何も示すことはない。$A\neq\emptyset$ なら、後述の lem-besicovitch-coloring の $\mathcal{G}_1,\dots,\mathcal{G}_{M_n}$ をとり、残りの $M_n$ 個の部分族を空族とすればよい。
$A$ が非有界のとき。$R:=R(\mathcal{F})<\infty$ とし、$m\in\mathbb{Z}_{\ge0}$ に対し環状領域 $D_m:=\{x\in\mathbb{R}^n\mid 2mR\le|x|<2(m+1)R\}$ と $A^{(m)}:=A\cap D_m$、$\mathcal{F}^{(m)}:=\{B\in\mathcal{F}\mid c(B)\in A^{(m)}\}$ をおく。$A^{(m)}$ は有界であり、$\mathcal{F}^{(m)}$ は $A^{(m)}$ の中心付き被覆族で半径は $R$ 以下なので、有界の場合により、互いに交わらない閉球からなる高々可算な部分族 $\mathcal{G}^{(m)}_1,\dots,\mathcal{G}^{(m)}_{M_n}\subset\mathcal{F}^{(m)}$ で $A^{(m)}$ を覆うものが存在する。そこで $i=1,\dots,M_n$ に対し
$$\mathcal{G}_i:=\bigcup_{m\ \text{偶数}}\mathcal{G}^{(m)}_i,\qquad\mathcal{G}_{M_n+i}:=\bigcup_{m\ \text{奇数}}\mathcal{G}^{(m)}_i$$
とおく。各 $\mathcal{G}_i$ は高々可算な族の可算和なので高々可算であり、$\mathbb{R}^n=\bigcup_m D_m$ から $A\subset\bigcup_{i=1}^{2M_n}\bigcup_{B\in\mathcal{G}_i}B$ である。互いに交わらないことを示す。$B,B'\in\mathcal{G}_i$、$B\neq B'$ とし、$B\in\mathcal{G}^{(m)}_{i'}$、$B'\in\mathcal{G}^{(m')}_{i'}$（$m,m'$ は同じ偶奇）とする。$m=m'$ なら $\mathcal{G}^{(m)}_{i'}$ のとり方から $B\cap B'=\emptyset$ である。$m\neq m'$ なら $|m-m'|\ge2$ であり、中心 $c(B)\in D_m$、$c(B')\in D_{m'}$ について $|c(B)-c(B')|\ge\bigl||c(B)|-|c(B')|\bigr|>2R\ge r(B)+r(B')$ となるので $B\cap B'=\emptyset$ である。$\square$

$A_1:=A$ とおき、次のように帰納的に選ぶ。$j\ge1$ について $A_j\neq\emptyset$ ならば、
$$\rho_j:=\sup\{r(B)\mid B\in\mathcal{F},\ c(B)\in A_j\}\in(0,R]$$
とおき（$A_j$ の各点を中心とする閉球が $\mathcal{F}$ にあるので上限は正である）、$a_j\in A_j$ と $B_j=\overline{B}(a_j,r_j)\in\mathcal{F}$ を $r_j\ge\tfrac34\rho_j$ となるようにとる。そして $A_{j+1}:=A_j\setminus B_j=A\setminus(B_1\cup\cdots\cup B_j)$ とおく。$A_{j+1}=\emptyset$ ならば $J:=j$ として終了し、終了しなければ $J:=\infty$ とする。
1：$i< j$ のとき $a_j\in A_j\subset A_{i+1}=A_i\setminus B_i$ なので $a_j\notin B_i$ である。また $a_j\in A_j\subset A_i$ かつ $B_j\in\mathcal{F}$ なので $r_j\le\rho_i$、したがって $r_i\ge\tfrac34\rho_i\ge\tfrac34 r_j$ である。
2：$i< j$ とする。1 により $|a_j-a_i|>r_i$ であり、$r_i\ge\tfrac34 r_j$ から $\tfrac13 r_i+\tfrac13 r_j\le\tfrac13 r_i+\tfrac49 r_i=\tfrac79 r_i< r_i<|a_i-a_j|$ となる。よって $B'_i\cap B'_j=\emptyset$ である。
3：$J<\infty$ ならば $A_{J+1}=A\setminus(B_1\cup\cdots\cup B_J)=\emptyset$ なので主張は成り立つ。$J=\infty$ とする。$A$ が有界で半径が $R$ 以下なので、すべての $B'_j$ はある有界集合に含まれ、2 により
$$\sum_{j=1}^\infty\omega_n\Bigl(\frac{r_j}{3}\Bigr)^n=\sum_{j=1}^\infty\mathcal{L}^n(B'_j)=\mathcal{L}^n\Bigl(\bigcup_{j=1}^\infty B'_j\Bigr)<\infty$$
となる。ゆえに $r_j\to0$（$j\to\infty$）である。もし点 $a\in A\setminus\bigcup_j B_j$ が存在すれば、$a\in A_j$ がすべての $j$ について成り立つので、$a$ を中心とする閉球 $\overline{B}(a,r)\in\mathcal{F}$ の半径は $r\le\rho_j\le\tfrac43 r_j$ をすべての $j$ について満たし、$r\le0$ となって矛盾する。よって $A\subset\bigcup_j B_j$ である。$\square$

$i$ を固定し、平行移動により $a_i=0$ としてよい。$j< i$ で $B_j\cap B_i\neq\emptyset$ となる添字を、半径により
$$I_1:=\{j< i\mid B_j\cap B_i\neq\emptyset,\ r_j\le6r_i\},\qquad I_2:=\{j< i\mid B_j\cap B_i\neq\emptyset,\ r_j>6r_i\}$$
の二つに分ける。
$I_1$ の評価。$j\in I_1$ とする。$B_j\cap B_i\neq\emptyset$ から $|a_j|\le r_i+r_j$ なので、$B'_j=\overline{B}(a_j,\tfrac13r_j)$ の点 $x$ は $|x|\le r_i+\tfrac43r_j\le r_i+8r_i=9r_i$ を満たし、$B'_j\subset\overline{B}(0,9r_i)$ である。また $j< i$ なので lem-besicovitch-greedy の 1 により $r_j\ge\tfrac34r_i$、すなわち $\tfrac13r_j\ge\tfrac14r_i$ である。$B'_j$（$j\in I_1$）が互いに交わらないことから
$$\#I_1\cdot\omega_n\Bigl(\frac{r_i}{4}\Bigr)^n\le\sum_{j\in I_1}\mathcal{L}^n(B'_j)=\mathcal{L}^n\Bigl(\bigcup_{j\in I_1}B'_j\Bigr)\le\mathcal{L}^n(\overline{B}(0,9r_i))=\omega_n(9r_i)^n$$
となり、$\#I_1\le36^n$ を得る。
$I_2$ の評価。まず、$j,k\in I_2$、$j< k$ に対して
$$\frac{a_j\cdot a_k}{|a_j|\,|a_k|}<\frac{43}{48}$$
を示す。$j< k$ なので $r_k\le\tfrac43r_j$ であり、$a_k\notin B_j$ から $|a_j-a_k|>r_j$ である。$0=a_i\notin B_j$、$0\notin B_k$ から $|a_j|>r_j$、$|a_k|>r_k$ であり、$B_j\cap B_i\neq\emptyset$、$B_k\cap B_i\neq\emptyset$ から $|a_j|\le r_j+r_i$、$|a_k|\le r_k+r_i$ である。さらに $j,k\in I_2$ なので $r_i<\tfrac16r_j$、$r_i<\tfrac16r_k$ である。これらから
$$|a_k|\le r_k+r_i\le\tfrac43r_j+\tfrac16r_j=\tfrac32r_j<\tfrac32|a_j|,$$
$$|a_j-a_k|>r_j\ge|a_j|-r_i>|a_j|-\tfrac16r_k>|a_j|-\tfrac16|a_k|>|a_j|-\tfrac14|a_j|=\tfrac34|a_j|>0$$
を得る。余弦定理により
\begin{align*} \frac{a_j\cdot a_k}{|a_j|\,|a_k|} &=\frac{|a_j|^2+|a_k|^2-|a_j-a_k|^2}{2|a_j|\,|a_k|} <\frac{|a_j|^2+|a_k|^2-\bigl(|a_j|-\tfrac16|a_k|\bigr)^2}{2|a_j|\,|a_k|}\\ &=\frac{\tfrac13|a_j|\,|a_k|+\tfrac{35}{36}|a_k|^2}{2|a_j|\,|a_k|} =\frac16+\frac{35}{72}\cdot\frac{|a_k|}{|a_j|} <\frac16+\frac{35}{72}\cdot\frac32=\frac{43}{48}. \end{align*}
ここで $|a_j-a_k|>|a_j|-\tfrac16|a_k|>0$ を用いた。
次に $y_j:=a_j/|a_j|\in S^{n-1}$（$j\in I_2$）とおく。$j\neq k$ ならば上の評価から
$$|y_j-y_k|^2=2-2\,y_j\cdot y_k>2-\frac{43}{24}=\frac{5}{24}>\frac19,$$
すなわち $|y_j-y_k|>\tfrac13$ である。$S^{n-1}$ を覆う半径 $\tfrac16$ の開球 $B(z_1,\tfrac16),\dots,B(z_{L_n},\tfrac16)$ をとると、同じ開球に属する二点の距離は $\tfrac13$ 未満なので、相異なる $j,k\in I_2$ の $y_j,y_k$ は同じ開球に属さない。各 $y_j$ に、それを含む開球の番号 $l_j$ を一つ対応させると $j\mapsto l_j$ は単射であり、$\#I_2\le L_n$ を得る。
以上より $\#\{j< i\mid B_j\cap B_i\neq\emptyset\}=\#I_1+\#I_2\le36^n+L_n=M_n-1$ である。$\square$

$\varphi(j)$ を $j$ について帰納的に定める。$j\le M_n$ のときは $\varphi(j):=j$ とする。$j>M_n$ で $\varphi(1),\dots,\varphi(j-1)$ が定まっているとき、lem-besicovitch-overlap により $B_j$ と交わる $B_k$（$k< j$）は高々 $M_n-1$ 個なので、それらの色 $\varphi(k)$ が使い尽くさない色 $i\in\{1,\dots,M_n\}$ が存在する。その一つを $\varphi(j):=i$ とする。構成により、$k< j$ かつ $\varphi(k)=\varphi(j)$ ならば $B_k\cap B_j=\emptyset$ である。$j\le M_n$ の範囲では色が相異なるので、条件は $j,k\le M_n$ の場合にも成り立つ。残りの主張は lem-besicovitch-greedy の 3 から従う。$\square$

準備として、$\nu(E):=\mu(A\cap E)$（$E\subset\mathbb{R}^n$）とおくと $\nu$ は外測度であり、$\mu$-可測な集合は $\nu$-可測である（Carathéodoryの条件を $A\cap E$ に適用すればよい）。したがって Borel 集合の増大列 $E_1\subset E_2\subset\cdots$ に対し $\nu(\bigcup_k E_k)=\lim_k\nu(E_k)$ が成り立つ。
1：thm-besicovitch-covering の $\mathcal{G}_1,\dots,\mathcal{G}_{N_n}$ をとる。$A\subset\bigcup_i\bigcup_{B\in\mathcal{G}_i}B$ と劣加法性から
$$\mu(A)\le\sum_{i=1}^{N_n}\mu\Bigl(A\cap\bigcup_{B\in\mathcal{G}_i}B\Bigr)$$
なので、ある $i$ について $\mu(A\cap\bigcup_{B\in\mathcal{G}_i}B)\ge\mu(A)/N_n$ である。$\mathcal{G}_i$ は高々可算なので、その成員を $B_1,B_2,\dots$ と並べれば、$E_k:=B_1\cup\cdots\cup B_k$ は Borel 集合の増大列で $\bigcup_k E_k=\bigcup_{B\in\mathcal{G}_i}B$ である。準備により $\nu(E_k)\to\nu(\bigcup_kE_k)\ge\mu(A)/N_n$ なので、$\theta_n:=1/(2N_n)$ とおくと、$\mu(A)>0$ のときはある $k$ について $\mu(A\cap E_k)\ge\theta_n\mu(A)$ となり、$\mathcal{H}:=\{B_1,\dots,B_k\}$ が求めるものである（$\mu(A)=0$ のときは $\mathcal{H}=\emptyset$ でよい）。
2：半径 1 より大きい閉球を $\mathcal{F}$ から除いても仮定は保たれるので、$R(\mathcal{F})\le1$ としてよい。互いに交わらない閉球からなる有限部分族の増大列 $\mathcal{H}_0\subset\mathcal{H}_1\subset\cdots\subset\mathcal{F}$ を次のように帰納的に定める。$\mathcal{H}_0:=\emptyset$ とする。$\mathcal{H}_j$ が定まったとき、$C_j:=\bigcup_{B\in\mathcal{H}_j}B$（有限個の閉球の和なので閉集合）、$A_j:=A\setminus C_j$、$\mathcal{F}_j:=\{B\in\mathcal{F}\mid B\cap C_j=\emptyset\}$ とおく。$a\in A_j$ に対し、$C_j$ は閉集合で $a\notin C_j$ なので $\operatorname{dist}(a,C_j)>0$ であり、仮定により半径がそれより小さい $a$ 中心の閉球が $\mathcal{F}$ に存在し、それは $\mathcal{F}_j$ に属する。よって $\mathcal{F}_j$ は $A_j$ の中心付き被覆族であり、$\mu(A_j)\le\mu(A)<\infty$ なので 1 を適用して、互いに交わらない閉球からなる有限部分族 $\mathcal{H}'_j\subset\mathcal{F}_j$ で $\mu(A_j\cap\bigcup_{B\in\mathcal{H}'_j}B)\ge\theta_n\mu(A_j)$ を満たすものをとる。$E:=\bigcup_{B\in\mathcal{H}'_j}B$ は Borel 集合なので $\mu$-可測であり、
$$\mu(A_j\setminus E)=\mu(A_j)-\mu(A_j\cap E)\le(1-\theta_n)\mu(A_j)$$
である。$\mathcal{H}_{j+1}:=\mathcal{H}_j\cup\mathcal{H}'_j$ とおくと、$\mathcal{H}'_j$ の閉球は $C_j$ と交わらないので $\mathcal{H}_{j+1}$ も互いに交わらない閉球からなり、$A_{j+1}=A_j\setminus E$ である。
以上から $\mu(A_{j+1})\le(1-\theta_n)\mu(A_j)$、したがって $\mu(A_j)\le(1-\theta_n)^j\mu(A)\to0$（$j\to\infty$）である。$\mathcal{G}:=\bigcup_j\mathcal{H}_j$ は互いに交わらない閉球からなる高々可算な部分族であり、$A\setminus\bigcup_{B\in\mathcal{G}}B\subset A_j$ がすべての $j$ について成り立つので $\mu(A\setminus\bigcup_{B\in\mathcal{G}}B)=0$ である。$\square$

$x\in Z$ に対し $\mu(\overline{B}(x,r_x))=0$ となる $r_x>0$ をとる。$\mu(\overline{B}(x,r))=0$ なら $r'\le r$ についても $\mu(\overline{B}(x,r'))=0$ なので、$r_x\le1$ としてよい。$\mathcal{F}:=\{\overline{B}(x,r_x)\mid x\in Z\}$ は $Z$ の中心付き被覆族で半径は 1 以下である。thm-besicovitch-covering により $Z$ を覆う高々可算な部分族 $\mathcal{G}\subset\mathcal{F}$ があり、劣加法性から $\mu(Z)\le\sum_{B\in\mathcal{G}}\mu(B)=0$ である。$\square$