Vitaliの収束定理

Egorovの定理 の定理「Egorovの定理」により、任意の $\eta>0$ に対し、$\mu(A)<\eta$ となる可測集合 $A$ で、$\Omega\setminus A$ の上で $f_n\to f$ が一様収束するものがある。
$f\in L^p$ であること。 $\varepsilon=1$ に対する $\delta_1$ をとり、$\mu(A)<\delta_1$ で $\Omega\setminus A$ の上で一様収束する $A$ をとる。ある $n_0$ について $\Omega\setminus A$ の上で $|f-f_{n_0}|\le1$ なので、(1) から
$$ \int_{\Omega\setminus A}|f|^p\,d\mu\le2^{p-1}\Bigl(\int_\Omega|f_{n_0}|^p\,d\mu+\mu(\Omega)\Bigr)<\infty $$
である。$A$ の上では $|f_n|^p1_A\to|f|^p1_A$ がほとんど至る所で成り立つので、Fatouの補題 から $\int_A|f|^p\le\liminf_n\int_A|f_n|^p\le1$ である。よって $f\in L^p$ である。
収束。 $\varepsilon>0$ に対する $\delta$ をとり、$\mu(A)<\delta$ で $\Omega\setminus A$ の上で一様収束する $A$ をとる。上と同じく Fatou の補題から $\int_A|f|^p\le\varepsilon$ である。$\Omega\setminus A$ と $A$ に分け、$A$ の上で (1) を使うと
$$ \int_\Omega|f_n-f|^p\,d\mu\le\mu(\Omega)\sup_{\Omega\setminus A}|f_n-f|^p+2^{p-1}\Bigl(\int_A|f_n|^p\,d\mu+\int_A|f|^p\,d\mu\Bigr)\le\mu(\Omega)\sup_{\Omega\setminus A}|f_n-f|^p+2^p\varepsilon $$
である。右辺の第 1 項は $n\to\infty$ で $0$ に収束するので $\limsup_n\|f_n-f\|_p^p\le2^p\varepsilon$ であり、$\varepsilon$ は任意である。$\square$

2 ⇒ 3 は定義から明らかである。
3 ⇒ 1。 $\varepsilon>0$ とし、(c) から $\mu(\omega)<\infty$ で、すべての $n$ について $\int_{\Omega\setminus\omega}|f_n|^p<\varepsilon$ となる $\omega$ をとる。$\Omega\setminus\omega$ の上で Fatou の補題を使うと $\int_{\Omega\setminus\omega}|f|^p\le\liminf_n\int_{\Omega\setminus\omega}|f_n|^p\le\varepsilon$ である。測度有限な $\omega$ に $\mu$ を制限すると、$f_n|_\omega$ は (b) を満たすので、thm-vit-finite により $f|_\omega\in L^p(\omega)$ かつ $\int_\omega|f_n-f|^p\to0$ である。$\varepsilon=1$ の場合から $\int_\Omega|f|^p\le\int_\omega|f|^p+1<\infty$ なので $f\in L^p$ である。また (1) から
$$ \int_\Omega|f_n-f|^p\,d\mu\le\int_\omega|f_n-f|^p\,d\mu+2^{p-1}\Bigl(\int_{\Omega\setminus\omega}|f_n|^p\,d\mu+\int_{\Omega\setminus\omega}|f|^p\,d\mu\Bigr) $$
であり、右辺の第 2 項は $2^p\varepsilon$ 以下なので $\limsup_n\|f_n-f\|_p^p\le2^p\varepsilon$ である。
1 ⇒ 2。 $g_n:=|f_n-f|^p$ とおくと $\|g_n\|_1\to0$ であり、(1) から $|f_n|^p\le2^{p-1}(g_n+|f|^p)$ である。(a)：$\sup_n\|g_n\|_1<\infty$ なので $\sup_n\|f_n\|_p^p\le2^{p-1}\bigl(\sup_n\|g_n\|_1+\|f\|_p^p\bigr)<\infty$ である。(b)：$\varepsilon>0$ に対し、$n>N$ なら $\|g_n\|_1<\varepsilon$ となる $N$ をとる。有限集合 $\{|f_1|^p,\dots,|f_N|^p,|f|^p\}$ は一様可積分なので（一様可積分性 の命題「一様可積分な族の作り方」の 3）、これについて $\varepsilon$ に対する $\delta$ をとる。$\mu(E)<\delta$ なら、$n\le N$ では $\int_E|f_n|^p<\varepsilon$、$n>N$ では
$$ \int_E|f_n|^p\,d\mu\le2^{p-1}\Bigl(\|g_n\|_1+\int_E|f|^p\,d\mu\Bigr)<2^p\varepsilon $$
である。(c) も、同じ有限集合について $\varepsilon$ に対する $\omega$ をとれば同様である。$\square$

要点：必要性は prf-vit-main の 1 ⇒ 2 と同じである。十分性は、測度収束する列がほとんど至る所収束する部分列をもつことを使い、「どの部分列もさらに $L^p$ で収束する部分列をもつ」ことから列全体の収束を導く。

必要性は $\bigl|\|f_n\|_1-\|f\|_1\bigr|\le\|f_n-f\|_1$ による。十分性：$\varphi_n:=|f_n|-|f_n-f|$ とおくと、三角不等式から $|\varphi_n|\le|f|$ であり、ほとんど至る所 $\varphi_n\to|f|$ である。優収束定理 から $\int\varphi_n\to\int|f|$、すなわち $\|f_n\|_1-\|f_n-f\|_1\to\|f\|_1$ である。$\|f_n\|_1\to\|f\|_1$ と合わせて $\|f_n-f\|_1\to0$ を得る。$\square$

Dunford–Pettisの定理 の系「弱収束列と弱収束部分列」の 1 により、弱収束する列 $(f_n)$ は一様可積分である。$p=1$ の thm-vit-main の 2 ⇒ 1 を使えばよい。$\square$