射影多様体の次数

要点：存在は、そのような列をもつ部分加群の極大なものをとり、商の斉次元の零化イデアルのうち極大なものが素イデアルになることを使う。1 は列の素イデアルの積が $M$ を消すこと、2 は極小素イデアルで局所化すると $\mathfrak{p}_i=\mathfrak{p}$ の段だけが長さ $1$ で残ることによる。

要点：prop-deg-pv-filtration の列により $M=S/\mathfrak{p}$ の場合に帰着する。最高次の係数が正なので、和をとっても次数は打ち消し合わない。$S/\mathfrak{p}$ の場合は、$\mathfrak{p}$ に属さない変数 $x_i$ 倍の完全列で Hilbert 多項式の差分を $Z(\mathfrak{p})$ と超平面の交わりの Hilbert 多項式に結び、次元についての帰納法で示す。

1：一次の座標変換で $L=Z(x_{r+1},\dots,x_n)$ としてよく、$S(L)\cong k[x_0,\dots,x_r]$ である。$l\ge0$ で $\varphi(l)=\binom{l+r}{r}=\frac{(l+1)(l+2)\cdots(l+r)}{r!}$ なので、$z^r$ の係数は $1/r!$、$\deg L=1$ である。$r=n$ が $\mathbb{P}^n$ である。
2：$S$ は整域なので $f$ 倍は単射で、次数付き加群の完全列 $0\to S(-d)\xrightarrow{f}S\to S/(f)\to0$ がある。$l\ge d$ で
$$ \varphi_{S/(f)}(l)=\binom{l+n}{n}-\binom{l-d+n}{n}=\frac{1}{n!}\Bigl(\prod_{i=1}^n(l+i)-\prod_{i=1}^n(l-d+i)\Bigr) $$
であり、二つの積の $l^n$ の係数はともに $1$、$l^{n-1}$ の係数の差は $\sum_i i-\sum_i(i-d)=nd$ である。よって $P_{S/(f)}$ の $z^{n-1}$ の係数は $nd/n!=d/(n-1)!$ で、$\deg S/(f)=d$ である。$f$ が平方因子をもたなければ、$f=f_1\cdots f_s$（$f_i$ は相異なる既約多項式）であり、$g$ が $Z(f)$ 上で消えれば射影版の零点定理で $g^N\in(f)$ となり、各 $f_i$ が $g$ を割るので $f\mid g$ である。よって $I(H)=(f)$ である。
3：$v_d$ は $\mathbb{P}^n$ の点を $d$ 次単項式の値の組に送る。Veronese埋め込み の命題「核は斉次素イデアル」と定理「Veronese 埋め込みの像」により、$\theta\colon k[y_I]\to S$（$y_I\mapsto$ 単項式 $x^I$）の核 $\mathfrak{a}$ は斉次素イデアルで、像 $v_d(\mathbb{P}^n)$ は $Z(\mathfrak{a})$ である。$\mathfrak{a}$ は素イデアルなので零点定理により $I(v_d(\mathbb{P}^n))=\mathfrak{a}$ であり、斉次座標環の $m$ 次の部分は $\theta$ により $S_{dm}$ と同型である。よって $\varphi(m)=\binom{dm+n}{n}=\frac{d^nm^n}{n!}+(\text{低次})$ で、$\deg v_d(\mathbb{P}^n)=d^n$ である。$\square$

1 は節「定義」の最後の段落で示した。
2：$I_j:=I(Y_j)$ とおくと、$I(Y)=I_1\cap I_2$ である。次数付き $S$ 加群の完全列
$$ 0\longrightarrow S/(I_1\cap I_2)\longrightarrow S/I_1\oplus S/I_2\longrightarrow S/(I_1+I_2)\longrightarrow0 $$
（左の写像は対角、右の写像は差）があり、各次数で $\dim_k$ は加法的なので $P_Y=P_{Y_1}+P_{Y_2}-P_{S/(I_1+I_2)}$ である。$Z(I_1+I_2)=Y_1\cap Y_2$ の次元は $r$ 未満なので、thm-deg-pv-hilbert-degree により、$P_{S/(I_1+I_2)}$ の次数は $r$ 未満である。よって $P_Y$ の $z^r$ の係数は $P_{Y_1}$ と $P_{Y_2}$ の $z^r$ の係数の和であり、$r!$ を掛けて $\deg Y=\deg Y_1+\deg Y_2$ を得る。
3：$s$ についての帰納法による。$s=1$ は自明である。$s\ge2$ なら $Y'=Y_2\cup\cdots\cup Y_s$ は純 $r$ 次元で、$Y_1\cap Y'=\bigcup_{j\ge2}(Y_1\cap Y_j)$ である。$j\ne1$ なら $Y_1\cap Y_j$ は既約な $Y_1$ の真の閉部分集合なので次元は $r$ 未満であり（$Y_j$ は $Y_1$ を含まない）、有限個の和の次元も $r$ 未満である。2 と帰納法の仮定から $\deg Y=\deg Y_1+\deg Y'=\sum_j\deg Y_j$ である。各 $\deg Y_j\ge1$ なので $\deg Y\ge s$ である。$\square$

$P_M$ の $z^{r-1}$ の係数を 2 通りに計算する。
左辺の側。$Y$ は既約なので $I(Y)$ は素イデアルで、$S(Y)=S/I(Y)$ は整域である。$Y\not\subset H$ なので $f\notin I(Y)$ であり、$S(Y)$ 上の $f$ 倍は単射である。よって次数付き加群の完全列
$$ 0\longrightarrow S(Y)(-d)\xrightarrow{\ f\ }S(Y)\longrightarrow M\longrightarrow0 $$
があり、各次数で $\dim_k$ は加法的なので $P_M(z)=P_Y(z)-P_Y(z-d)$ である。$P_Y(z)=\frac{\deg Y}{r!}z^r+cz^{r-1}+(\text{低次})$ と書くと、$z^r$ の項と $cz^{r-1}$ の項は差で消え、$(z-d)^r$ の $z^{r-1}$ の係数は $-rd$ なので
$$ P_M(z)=\frac{\deg Y}{r!}\,rd\,z^{r-1}+(\text{低次})=\frac{d\deg Y}{(r-1)!}z^{r-1}+(\text{低次}) $$
である。
右辺の側。$M$ は次数付き部分加群の列 $0=M^0\subset M^1\subset\cdots\subset M^q=M$ で、各商が $M^i/M^{i-1}\cong(S/\mathfrak{q}_i)(l_i)$（$\mathfrak{q}_i$ は斉次素イデアル、$l_i\in\mathbb{Z}$）となるものをもち、$M$ の各極小素イデアル $\mathfrak{p}$ が $\mathfrak{q}_1,\dots,\mathfrak{q}_q$ の中に現れる回数は $\ell_{S_{\mathfrak{p}}}(M_{\mathfrak{p}})$ に等しい（prop-deg-pv-filtration）。$\mathfrak{q}_i=\operatorname{Ann}(M^i/M^{i-1})\supset\operatorname{Ann}M=I(Y)+(f)$ なので $Z(\mathfrak{q}_i)\subset Y\cap H$ であり、$Z(\mathfrak{q}_i)$ の次元は $r-1$ 以下である（$\mathfrak{q}_i=S_+$ なら $Z(\mathfrak{q}_i)=\emptyset$）。各次数で $\dim_k$ は加法的なので
$$ P_M(z)=\sum_{i=1}^qP_{S/\mathfrak{q}_i}(z+l_i) $$
であり、thm-deg-pv-hilbert-degree により $P_{S/\mathfrak{q}_i}$ の次数は $\dim Z(\mathfrak{q}_i)\le r-1$ である。したがって $z^{r-1}$ の係数に寄与するのは $\dim Z(\mathfrak{q}_i)=r-1$ となる $i$ だけである。そのような $i$ について、$Z(\mathfrak{q}_i)$ は $Y\cap H$ の $r-1$ 次元の既約閉集合なので、それを含む既約成分 $Z_j$（次元 $r-1$）に一致する。$\mathfrak{q}_i$ は $S_+$ を含まない斉次素イデアルなので、射影版の零点定理により $\mathfrak{q}_i=I(Z(\mathfrak{q}_i))=\mathfrak{p}_j$ であり、$P_{S/\mathfrak{q}_i}=P_{Z_j}$ である。平行移動 $z\mapsto z+l_i$ は最高次の係数を変えないので、その寄与は $\deg Z_j/(r-1)!$ である。$\mathfrak{p}_j$ が $\mathfrak{q}_1,\dots,\mathfrak{q}_q$ に現れる回数は $\ell(M_{\mathfrak{p}_j})=i(Y,H;Z_j)$ なので
$$ \frac{d\deg Y}{(r-1)!}=\sum_{j=1}^si(Y,H;Z_j)\,\frac{\deg Z_j}{(r-1)!} $$
である。$(r-1)!$ を掛けて主張を得る。$\square$

thm-deg-pv-hypersurface の左辺の各項は $i(Y,H;Z_j)\ge1$、$\deg Z_j\ge1$（thm-deg-pv-additive の 1）により $1$ 以上なので、項の個数 $s$ は右辺 $d\deg Y$ 以下である。曲線（$r=1$）なら $Z_j$ は点である。$\square$

線型部分空間の次数が $1$ であることは prop-deg-pv-basic の 1 で示した。逆を $r$ についての帰納法で示す。$r=0$ なら、0 次元の既約閉集合 $Y$ は 1 点であり、線型部分空間である。
$r\ge1$ とし、$r-1$ 次元までは主張が正しいとする。まず、$Y$ の相異なる 2 点 $P,Q$ を結ぶ直線 $\overline{PQ}$ は $Y$ に含まれることを示す。$Y\subset\overline{PQ}$ なら、$Y$ は直線の 1 次元以上の既約閉集合なので直線全体であり、主張は成り立つ。そうでなければ $R\in Y\setminus\overline{PQ}$ がとれる。$P,Q,R$ の斉次座標を $p,q,\rho\in k^{n+1}$ とすると、$\rho$ は $p,q$ の張る平面に入らないので、$p,q$ で消えて $\rho$ で消えない一次形式 $h$ がある。$H:=Z(h)$ は $P,Q$ を通り $R$ を通らない超平面で、$Y\not\subset H$ である。thm-deg-pv-hypersurface を $d=1$ で使うと
$$ \sum_ji(Y,H;Z_j)\deg Z_j=\deg Y=1 $$
であり、左辺の各項は $1$ 以上なので、$Y\cap H$ はただ一つの既約成分 $Z$ からなり、$\deg Z=1$ である。$Z$ は $r-1$ 次元の射影多様体なので、帰納法の仮定により線型部分空間である。$P,Q\in Y\cap H=Z$ で、線型部分空間は 2 点を結ぶ直線を含むので $\overline{PQ}\subset Z\subset Y$ である（$r=1$ のときは $Z$ が 1 点になって $P\ne Q$ に反するので、この場合は起こらず、前の場合に当たる）。
次に、$Y$ の錐 $C:=\{0\}\cup\{v\in k^{n+1}\setminus\{0\}\mid[v]\in Y\}$ が $k^{n+1}$ の線型部分空間であることを示す。$C$ はスカラー倍で閉じている。$v,w\in C$ とする。$v,w$ が一次従属なら $v+w$ は $v$ か $w$ のスカラー倍なので $C$ に入る。一次独立なら $[v]\ne[w]$ であり、直線 $\overline{[v][w]}=\{[av+bw]\mid(a,b)\ne(0,0)\}$ は上で示したことから $Y$ に含まれるので、$v+w\in C$ である。よって $C$ は線型部分空間で、$Y$ はその射影化、すなわち線型部分空間である。$\square$

thm-deg-pv-additive の 3 から、$\deg Y=1$ なら既約成分は 1 個で、$Y$ は射影多様体である。あとは thm-deg-pv-degree-one による。$\square$