分配束

（D1）を仮定する。任意の $x,y,z$ について、まず（D1）を $x\vee y$ と $x,z$ に当てはめ、次に吸収律 $(x\vee y)\wedge x=x$ を使うと
$$ (x\vee y)\wedge(x\vee z)=\bigl((x\vee y)\wedge x\bigr)\vee\bigl((x\vee y)\wedge z\bigr)=x\vee\bigl(z\wedge(x\vee y)\bigr) $$
となる。さらに（D1）を $z$ と $x,y$ に当てはめると $z\wedge(x\vee y)=(z\wedge x)\vee(z\wedge y)$ なので、結合律と吸収律 $x\vee(z\wedge x)=x$ により
$$ x\vee(z\wedge x)\vee(z\wedge y)=x\vee(y\wedge z) $$
である。よって（D2）が成り立つ。束の公理は $\vee$ と $\wedge$ を入れ替えても変わらないので、同じ計算で $\vee$ と $\wedge$ を入れ替えれば（D2）から（D1）が従う。$\square$

$H$ を Heyting 代数とし、$a,b,c\in H$ について $d:=(a\wedge b)\vee(a\wedge c)$ とおく。$b\wedge a\le d$ なので、含意の条件から $b\le(a\Rightarrow d)$ であり、同様に $c\le(a\Rightarrow d)$ である。よって $b\vee c\le(a\Rightarrow d)$ であり、ふたたび含意の条件から $(b\vee c)\wedge a\le d$ を得る。逆向きの不等式はどの束でも成り立つので、$a\wedge(b\vee c)=d$ である。Boole 代数は、定義により補元をもつ分配束である（Boole代数）。$\square$

吸収律、仮定、（D1）を順に使うと
$$ y=y\wedge(x\vee y)=y\wedge(x\vee z)=(y\wedge x)\vee(y\wedge z)=(x\wedge z)\vee(y\wedge z) $$
である。最後の式は（D1）を逆に読むと $z\wedge(x\vee y)=z\wedge(x\vee z)=z$ に等しい。$\square$

要点：$y\wedge q=y\wedge z$ と $y\vee p=x\vee y$ をまず計算し、$y$ が $p,q$ と比較できるとするといずれも $p< q$ に反することを確かめる。

要点：$d\le a_1,b_1,c_1\le e$ であり、モジュラー律を何度か当てはめると、三元のどの二つの交わりも $d$、結びも $e$ になる。仮定は $d\ne e$ を保証するために使う。

部分束の結びと交わりは $L$ のものと同じなので、$L$ で成り立つ恒等式や $x\le z$ を仮定とする等式は部分束でも成り立つ。

1. $L$ がモジュラー束なら、その部分束もモジュラー束であり、$N_5$ はモジュラーでない（$a\le b$ だが $a\vee(c\wedge b)=a\ne b=(a\vee c)\wedge b$）ので、$N_5$ と同型な部分束はない。逆に $L$ がモジュラー束でなければ、$x\le z$ で $x\vee(y\wedge z)\ne(x\vee y)\wedge z$ となる元があり、lem-dl-n5 により $N_5$ と同型な部分束がある。
2. $L$ が分配束なら、その部分束も分配束であり、$M_3$ と $N_5$ は分配束でないので（rem-dl-m3-n5）、どちらとも同型な部分束はない。逆に $L$ が分配束でないとする。$L$ がモジュラー束でなければ 1 により $N_5$ と同型な部分束がある。$L$ がモジュラー束なら、（D1）を破る $a,b,c$ があり、lem-dl-m3 により $M_3$ と同型な部分束がある。$\square$

分配束なら prop-dl-cancellation により成り立つ。分配束でなければ、thm-dl-m3-n5 により $M_3$ か $N_5$ と同型な部分束がある。前の節で見たとおり、その中の三元（$M_3$ なら $a,b,c$、$N_5$ なら $c,a,b$）が消去律を破り、部分束の演算は $L$ の演算と同じなので、$L$ でも消去律が破れる。$\square$

1. $T:=\{x\in L\mid x\le a,\ x\not\le b\}$ は $a$ を含むので空でなく、有限なので極小元 $j$ をもつ。$0\le b$ なので $j\ne0$ である。$j=x\vee y$ で $x\ne j$、$y\ne j$ とすると、$x,y< j\le a$ であり、$j$ の極小性から $x,y\notin T$、つまり $x,y\le b$ である。すると $j=x\vee y\le b$ となって $j\in T$ に反する。よって $j$ は結合既約である。
2. $a$ 以下の結合既約元全体の結びを $s$ とすると $s\le a$ である。$a\not\le s$ なら、1 により $j\le a$、$j\not\le s$ となる結合既約元 $j$ があるが、$j$ は $s$ を作る結びに含まれるので $j\le s$ であり、矛盾する。よって $a=s$ である。
3. （D1）を繰り返し使うと $j=j\wedge(x_1\vee\cdots\vee x_n)=(j\wedge x_1)\vee\cdots\vee(j\wedge x_n)$ であり、$j$ は結合既約なので、ある $k$ で $j=j\wedge x_k$、すなわち $j\le x_k$ である。$\square$

1. $\varphi(a)$ は下方集合である。$j\le a\wedge b$ は $j\le a$ かつ $j\le b$ と同値なので $\varphi(a\wedge b)=\varphi(a)\cap\varphi(b)$ である。$\varphi(a)\cup\varphi(b)\subseteq\varphi(a\vee b)$ は明らかで、逆の包含は lem-dl-separation の 3 による。よって $\varphi$ は束準同型である。lem-dl-separation の 2 により $a$ は $\varphi(a)$ の結びとして復元されるので、$\varphi$ は単射である。全射を示す。$D\in\mathcal O(J(L))$ をとり、$a:=\bigvee D$（$D=\emptyset$ なら $a=0$）とおく。$D\subseteq\varphi(a)$ は明らかである。逆に $j\in\varphi(a)$ なら、$j\ne0$ なので $D\ne\emptyset$ であり、lem-dl-separation の 3 によりある $d\in D$ で $j\le d$ となる。$D$ は下方集合なので $j\in D$ である。よって $\varphi(a)=D$ である。全単射な束準同型なので束同型である。
2. $\mathcal O(P)$ の結びは和集合、最小元は $\emptyset$ である。$\mathord{\downarrow}p\ne\emptyset$ であり、$\mathord{\downarrow}p=D_1\cup D_2$ なら $p$ はどちらか、たとえば $D_1$ に属し、$D_1$ は下方集合なので $\mathord{\downarrow}p\subseteq D_1\subseteq\mathord{\downarrow}p$ となる。よって $\mathord{\downarrow}p$ は結合既約である。逆に $D$ が結合既約なら、$D\ne\emptyset$ であり、$D=\bigcup_{p\in D}\mathord{\downarrow}p$ は空でない有限個の和集合なので、ある $p\in D$ で $D=\mathord{\downarrow}p$ である。$p\le q$ と $\mathord{\downarrow}p\subseteq\mathord{\downarrow}q$ は同値なので、$p\mapsto\mathord{\downarrow}p$ は順序同型である。
   最後の主張は、1 により $L\cong\mathcal O(J(L))$、2 により $P\cong J(\mathcal O(P))$ となることと、$\mathcal O(P)$ が分配束であること（ex-dl-sets）による。$\square$