連鎖律（高校数学）

$(2x+1)^3$ を 2 通りに微分する。
展開してから微分する：$(2x+1)^3=8x^3+12x^2+6x+1$ なので
$$ \{(2x+1)^3\}'=24x^2+24x+6=6(4x^2+4x+1)=6(2x+1)^2 $$
である。
公式を使う：外側を $f(u)=u^3$、中身を $g(x)=2x+1$ とする。$f'(u)=3u^2$、$g'(x)=2$ なので
$$ \{(2x+1)^3\}'=3(2x+1)^2\cdot2=6(2x+1)^2 $$
である。2 つの結果は一致する。中身の導関数 $2$ を掛け忘れると $3(2x+1)^2$ になり、正しい答えの半分になる。
同じ公式で、展開すると大変な $(2x+1)^5$ も $\{(2x+1)^5\}'=5(2x+1)^4\cdot2=10(2x+1)^4$ とすぐに計算できる。

池に落ちた石から円い波が広がり、$t$ 秒後の半径が $r=2t$（メートル）だとする。円の面積は $S=\pi r^2$ である。

• 半径 $r$ が 1 メートル増えると、面積はおよそ $\dfrac{dS}{dr}=2\pi r$ 平方メートル増える（$r$ についての変化率）。
• 時間 $t$ が 1 秒進むと、半径は $\dfrac{dr}{dt}=2$ メートル増える（$t$ についての変化率）。
  $t=1$ では $r=2$ で、面積の時間についての変化率は、2 つの変化率の積
  $$ \frac{dS}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}=2\pi\cdot2\cdot2=8\pi $$
  になるはずである。実際、$S=\pi(2t)^2=4\pi t^2$ を直接 $t$ で微分すると $\dfrac{dS}{dt}=8\pi t$ で、$t=1$ では $8\pi$ となり、一致する。

1. $f(u)=\sin u$、$g(x)=x^2$ とする。$(f\circ g)(x)=\sin x^2$、$(g\circ f)(x)=(\sin x)^2$ である。$x=\sqrt\pi$ では $(f\circ g)(\sqrt\pi)=\sin\pi=0$、$(g\circ f)(\sqrt\pi)=(\sin\sqrt\pi)^2=0.9598\ldots$ で、値が違う。合成は順序で結果が変わる。
2. $f(u)=u^5$、$g(x)=2x+1$ なら $(f\circ g)(x)=(2x+1)^5$ である。$x=1$ では $g(1)=3$、$f(3)=243$ である。

1. 定数関数 $g(x)=3$ では、どの $h$ でも $\Delta u=3-3=0$ である。約分の説明は一度も使えない。それでも $f(g(x))=f(3)$ は定数なので導関数は $0$ で、$f'(g(a))\,g'(a)=f'(3)\cdot0=0$ と一致する。
2. $g(x)=\begin{cases}x^2\sin\dfrac1x&(x\ne0)\\ 0&(x=0)\end{cases}$、$a=0$ とする。$h_n=\dfrac1{n\pi}$（$n=1,2,3,\ldots$）では $\sin n\pi=0$ なので $\Delta u=g(h_n)-g(0)=0$ である。$h_n$ は $n$ を大きくするといくらでも $0$ に近づく（図1）。
   2 の $g$ は $x=0$ で微分可能で、$g'(0)=0$ である。実際、$h\ne0$ のとき $\left|\dfrac{g(h)-g(0)}{h}\right|=\left|h\sin\dfrac1h\right|\le|h|$ で、はさみうちの原理により $0$ に近づく。$g'(0)=0$ なので、rem-crh-division-proof の「$g'(a)\ne0$ なら大丈夫」にも当てはまらない。

1. $f(u)=u^2$、$b=3$ とする。$u\ne3$ では $\dfrac{u^2-9}{u-3}=\dfrac{(u-3)(u+3)}{u-3}=u+3$ である。$f'(3)=6$ なので、$\varphi(u)=u+3$（$u=3$ でも $3+3=6$）となる。$\varphi$ は 1 次関数で、$u=3$ で連続である。1 の式は $u^2-9=(u+3)(u-3)$ で、因数分解そのものである。
2. $f(u)=u^3$、$b=1$ とする。$u\ne1$ では $\dfrac{u^3-1}{u-1}=u^2+u+1$ で、$f'(1)=3$ は $u=1$ での $u^2+u+1$ の値 $3$ と一致する。よって $\varphi(u)=u^2+u+1$ である。

$F(x)=(x^2+1)^3$ の $x=1$ での微分係数を求める。
公式：外側 $f(u)=u^3$、中身 $g(x)=x^2+1$ とする。$g(1)=2$、$g'(x)=2x$ なので $g'(1)=2$、$f'(u)=3u^2$ なので $f'(2)=12$ である。よって $F'(1)=12\cdot2=24$ である。
展開：$F(x)=x^6+3x^4+3x^2+1$ なので $F'(x)=6x^5+12x^3+6x$、$F'(1)=6+12+6=24$ で一致する。
差分商：$h=0.001$ では $\dfrac{F(1.001)-F(1)}{0.001}=24.0360\ldots$、$h=0.0001$ では $24.0036\ldots$ で、$24$ に近づく。

ex-crh-division-gap の 2 の $g$（$g(0)=0$、$g'(0)=0$）と、$f(u)=u^2$ を合成する。$F(x)=f(g(x))=x^4\sin^2\dfrac1x$（$x\ne0$）、$F(0)=0$ である。
定理から：$F'(0)=f'(g(0))\,g'(0)=f'(0)\cdot0=0\cdot0=0$ である。
直接：$h\ne0$ で $\left|\dfrac{F(h)-F(0)}{h}\right|=\left|h^3\sin^2\dfrac1h\right|\le|h|^3$ で、$h\to0$ で $0$ に近づく。よって $F'(0)=0$ で、一致する。
この例では $h=\frac1{n\pi}$ で $\Delta u=0$ となるので、rem-crh-division-proof の説明は使えない。thm-crh-chain-rule の証明は $\Delta u$ で割らないので、この場合も含んでいる。

1. $(\sin x^2)'$。外側 $\sin u$、中身 $u=x^2$ で、$(\sin x^2)'=\cos x^2\cdot2x=2x\cos x^2$ である。$x=\sqrt\pi$ では $2\sqrt\pi\cos\pi=-2\sqrt\pi=-3.5449\ldots$ である。
2. $(e^{3x})'$。外側 $e^u$、中身 $u=3x$ で、$(e^{3x})'=e^{3x}\cdot3=3e^{3x}$ である。
3. $(a^x)'$（$a>0$）。$a^x=e^{x\log a}$ で、中身 $u=x\log a$ の導関数は定数 $\log a$ なので、$(a^x)'=e^{x\log a}\cdot\log a=a^x\log a$ である。$a=2$、$x=0$ では $\log2=0.6931\ldots$ で、$h=0.001$ の差分商 $\dfrac{2^{0.001}-1}{0.001}=0.6933\ldots$ と近い。
4. $\bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)'$（$-1< x<1$）。$\sqrt{1-x^2}=(1-x^2)^{\frac12}$ で、外側 $u^{\frac12}$ の導関数は $\frac12u^{-\frac12}$（下の cor-crh-real-power）、中身の導関数は $-2x$ なので
   $$ \bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)'=\frac12(1-x^2)^{-\frac12}\cdot(-2x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} $$
   である。$x=0.6$ では $-\dfrac{0.6}{0.8}=-0.75$ である。これは単位円の上半分の、点 $(0.6,\,0.8)$ での接線の傾きで、半径の傾き $\frac{0.8}{0.6}$ と掛けると $-1$ になる（接線は半径に垂直）。

1. $r=\frac12$：$(\sqrt x)'=\frac12x^{-\frac12}=\dfrac1{2\sqrt x}$ である。これは 微分係数と導関数の定義（高校数学） で、分子の有理化によって定義から求めた結果と一致する。$x=4$ では $\frac14$ である。
2. $r=-1$：$\left(\dfrac1x\right)'=-x^{-2}=-\dfrac1{x^2}$ である。$x=2$ では $-\frac14$ で、これも定義から求めた値と一致する。
3. $r=\sqrt2$：$(x^{\sqrt2})'=\sqrt2\,x^{\sqrt2-1}$ で、$x=1$ では $\sqrt2=1.41421\ldots$ である。$h=0.001$ の差分商は $\dfrac{1.001^{\sqrt2}-1}{0.001}=1.41450\ldots$ である。

$y=x^3$ の逆関数は $x=\sqrt[3]{y}$ である。$y\ne0$ で $\sqrt[3]{y}$ が微分可能だと認めると、$(\sqrt[3]{y})^3=y$ の両辺を $y$ で微分して、連鎖律から
$$ 3(\sqrt[3]{y})^2\cdot(\sqrt[3]{y})'=1,\qquad (\sqrt[3]{y})'=\frac1{3(\sqrt[3]{y})^2} $$
である。$y=8$ では $\sqrt[3]8=2$ なので $\frac1{12}=0.08333\ldots$ で、$h=0.001$ の差分商 $\dfrac{\sqrt[3]{8.001}-2}{0.001}=0.083329\ldots$ と近い。
$y=0$ では分母が $0$ になり、式は使えない。実際、$\sqrt[3]{y}$ は $y=0$ で微分可能でない（微分係数と導関数の定義（高校数学） の反例）。$y=x^3$ のグラフの原点での接線が水平（傾き $0$）なので、$x$ と $y$ を入れ替えた逆関数のグラフでは接線が垂直になる。

$\displaystyle\int2x(x^2+1)^3\,dx$ を求める。中身 $u=x^2+1$ の導関数 $2x$ が掛かっているので、$f(u)=u^3$、$F(u)=\dfrac{u^4}4$ として
$$ \int2x(x^2+1)^3\,dx=\frac{(x^2+1)^4}{4}+C $$
である。確かめ：連鎖律により $\left\{\dfrac{(x^2+1)^4}4\right\}'=\dfrac14\cdot4(x^2+1)^3\cdot2x=2x(x^2+1)^3$ である。
定積分では $\displaystyle\int_0^1 2x(x^2+1)^3\,dx=\frac{2^4}{4}-\frac{1^4}{4}=\frac{15}{4}$ である。$u$ で書くと $\displaystyle\int_1^2u^3\,du=\frac{16-1}4=\frac{15}4$ で、同じ値になる。

外側を $f(u)=|u|$ とする。$f$ は $u=0$ で微分可能でない。

1. 中身 $g(x)=2x$、$a=0$ とすると、$g(0)=0$ で、$f(g(x))=|2x|$ である。$h\ne0$ で差分商は $\dfrac{|2h|}{h}$ で、$h>0$ なら $2$、$h<0$ なら $-2$ となり、極限は存在しない。合成関数は $x=0$ で微分可能でない。
2. 中身 $g(x)=x^2$、$a=0$ とすると、$g(0)=0$ で、$f(g(x))=|x^2|=x^2$ である。これは $x=0$ で微分可能で、微分係数は $0$ である。外側の仮定が崩れているのに、合成関数は微分可能である。中身の $x^2$ が $0$ の近くで $0$ 以上の値しかとらず、$|u|$ の折れ曲がりの片側しか通らないからである。

中身を $g(x)=|x|$、$a=0$ とする。$g$ は $x=0$ で微分可能でない。

1. 外側 $f(u)=u+1$ とすると、$f(g(x))=|x|+1$ で、差分商は $\dfrac{|h|}{h}=\pm1$ となり、$x=0$ で微分可能でない。
2. 外側 $f(u)=u^2$ とすると、$f(g(x))=|x|^2=x^2$ で、$x=0$ で微分可能（微分係数 $0$）である。
   2 では、公式 $f'(g(0))\,g'(0)$ は $g'(0)$ が存在しないので意味をもたないが、合成関数の微分係数は存在する。この場合は連鎖律を使わず、定義から直接求める。

$y=\sin2x$ を「$\cos2x$」と微分するのは誤りである。正しくは $(\sin2x)'=\cos2x\cdot2=2\cos2x$ である。
$x=0$ で確かめる。差分商 $\dfrac{\sin2h-\sin0}{h}$ は、$h=0.01$ で $1.99986\ldots$、$h=0.001$ で $1.999998\ldots$ で、$2$ に近づく。$2\cos0=2$ と一致し、$\cos0=1$ とは一致しない。中身 $2x$ が $x$ の 2 倍の速さで変わるので、変化率も 2 倍になる。

$g(x)=x^2$、$f(u)=u^3$、$a=1$ とする。$g(1)=1$、$g'(1)=2$、$f'(1)=3$ で、合成関数 $f(g(x))=x^6$ の $x=1$ での微分係数は $6$ である。区間 $[1,1+h]$ の長さが、$g$ と $f$ でどれだけ伸びるかを計算する。

合わせた伸びは、2 つの伸びの積である（表の 2 列目 × 3 列目 = 4 列目。$(1+h)^2-1$ が約分で消える）。$h\to0$ で、それぞれの伸びは $2$、$3$、$6$ に近づく（図2）。

$f(x,y)=xy$ とし、点が $x=t^2$、$y=t^3$ と動くとする。$F(t)=f(t^2,t^3)=t^5$ なので、$F'(t)=5t^4$ である。
一方、$f_x=y$、$f_y=x$、$\dfrac{dx}{dt}=2t$、$\dfrac{dy}{dt}=3t^2$ で、公式
$$ F'(t)=f_x\cdot\frac{dx}{dt}+f_y\cdot\frac{dy}{dt}=t^3\cdot2t+t^2\cdot3t^2=2t^4+3t^4=5t^4 $$
も同じ結果になる。この公式は、$f$ が（全）微分可能なとき（たとえば $f_x$、$f_y$ が連続なとき）に成り立ち、偏導関数があるだけでは成り立たないことがある。本記事では証明しない（Leb26b Theorem 8.3.7）。ここでの $f(x,y)=xy$ は $f_x=y$、$f_y=x$ が連続なので、公式を使ってよい。$t=1$ ではどちらも $5$ である。$x$ を通る道と $y$ を通る道の 2 つの「変化率の掛け算」を足し合わせている。