混線内接円

$A(0,0)$、$B(3,0)$、$C(0,4)$ の直角三角形を考える。3 辺は $AB=3$、$AC=4$、$BC=5$ である。
(1) 外接円。$\angle A=90^\circ$ なので、斜辺 $BC$ が外接円の直径になる。中心は $BC$ の中点 $O\left(\dfrac32,2\right)$、半径は $R=\dfrac52$ である。
(2) 内接円。内接円の半径 $r$ は、面積 $S=\dfrac12\cdot3\cdot4=6$ と $3$ 辺の和の半分 $s=\dfrac{3+4+5}2=6$ から $r=\dfrac Ss=1$ である（三角形の内心と傍心）。内心は $I(1,1)$ である。
(3) 2 辺 $AB$（$x$ 軸）、$AC$（$y$ 軸）に接し、第 1 象限にある円は、中心が $(t,t)$、半径が $t$ の円である（$t>0$）。この円が外接円に内側から接する条件は、中心どうしの距離が半径の差に等しいこと
$$ \sqrt{\left(t-\frac32\right)^2+(t-2)^2}=\frac52-t $$
である（2円の位置関係と共通接線。右辺が正になるよう $t<\dfrac52$ とする）。両辺を 2 乗すると
$$ t^2-3t+\frac94+t^2-4t+4=\frac{25}4-5t+t^2 $$
で、整理すると $t^2-2t=0$、つまり $t(t-2)=0$ である。$t>0$ なので $t=2$ である。
(4) 円の中心は $P(2,2)$、半径は $\rho=2$ である。$x$ 軸との接点は $K(2,0)$、$y$ 軸との接点は $L(0,2)$ で、どちらも辺の上にある。外接円との接点 $T$ は、$O$ から $P$ の向きに半径 $\dfrac52$ だけ進んだ点で、$\overrightarrow{OP}=\left(\dfrac12,0\right)$ の向きに進むので $T(4,2)$ である。
(5) 接点を結ぶ線分 $KL$ の中点は
$$ \left(\frac{2+0}2,\frac{0+2}2\right)=(1,1) $$
で、内心 $I$ と一致する。半径は $\rho=2=2r$ である。

1. ex-mix-start では $\dfrac A2=45^\circ$、$\rho=2$ なので、$AP=\dfrac{2}{\sin45^\circ}=2\sqrt2$、$AK=\dfrac{2}{\tan45^\circ}=2$ である。実際、$P(2,2)$ は $A$ から $2\sqrt2$ の距離にあり、$K(2,0)$ は $A$ から $2$ の距離にある。
2. 3 辺が $13,14,15$ の三角形 $A(5,12)$、$B(0,0)$、$C(14,0)$ では、$a=14$、$b=15$、$c=13$ である。余弦定理から
   $$ \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{225+169-196}{390}=\frac{33}{65} $$
   で、半角の公式から
   $$ \sin^2\frac A2=\frac{1-\cos A}2=\frac{16}{65},\qquad \cos^2\frac A2=\frac{1+\cos A}2=\frac{49}{65} $$
   である。$\sin\dfrac A2=\dfrac4{\sqrt{65}}$、$\cos\dfrac A2=\dfrac7{\sqrt{65}}$、$\tan\dfrac A2=\dfrac47$ なので、半径 $\rho$ の混線内接円なら、$AP=\dfrac{\sqrt{65}}4\rho$、$AK=\dfrac74\rho$ である。

1. ex-mix-start の直角三角形。直線 $AI$ は $y=x$ で、外接円 $\left(x-\dfrac32\right)^2+(y-2)^2=\dfrac{25}4$ に $y=x$ を代入すると $2x^2-7x=0$ となり、$x=0$（点 $A$）と $x=\dfrac72$ を得る。$M\left(\dfrac72,\dfrac72\right)$、$AM=\dfrac{7\sqrt2}2$ である。一方、$\sin45^\circ=\dfrac{\sqrt2}2$ から
   $$ \frac{r}{\sin\frac A2}+2R\sin\frac A2=\frac{1}{\frac{\sqrt2}2}+2\cdot\frac52\cdot\frac{\sqrt2}2=\sqrt2+\frac{5\sqrt2}2=\frac{7\sqrt2}2 $$
   で一致する。
2. 13, 14, 15 の三角形（ex-mix-center の (2)）。$r=4$、$R=\dfrac{65}8$ である（面積 $84$、$r=\dfrac{84}{21}$、$R=\dfrac{abc}{4\cdot84}=\dfrac{2730}{336}$）。$\sin\dfrac A2=\dfrac4{\sqrt{65}}$ なので
   $$ AI=\frac{4}{\frac4{\sqrt{65}}}=\sqrt{65},\qquad IM=2\cdot\frac{65}8\cdot\frac4{\sqrt{65}}=\sqrt{65},\qquad AM=2\sqrt{65} $$
   である。内心は $I(6,4)$ で、$AI=\sqrt{1^2+8^2}=\sqrt{65}$ と合っている。$M$ は $A$ から $I$ の向きに $I$ と同じ距離だけ先に進んだ点 $M=2I-A=(7,-4)$ で、外接円の中心 $O\left(7,\dfrac{33}8\right)$ の真下、$OM=\dfrac{33}8+4=\dfrac{65}8=R$ にある。

1. 13, 14, 15 の三角形（ex-mix-center の (2)、ex-mix-am の (2)）。$r=4$、$\cos^2\dfrac A2=\dfrac{49}{65}$ なので
   $$ \rho_A=\frac{4}{\frac{49}{65}}=\frac{260}{49},\qquad AP=\frac{\rho_A}{\sin\frac A2}=\frac{260}{49}\cdot\frac{\sqrt{65}}4=\frac{65\sqrt{65}}{49} $$
   である。$AI=\sqrt{65}$ なので、$P$ は $A$ から $I$ の向きに $AI$ の $\dfrac{65}{49}$ 倍だけ進んだ点で
   $$ P=A+\frac{65}{49}(I-A)=(5,12)+\frac{65}{49}(1,-8)=\left(\frac{310}{49},\frac{68}{49}\right) $$
   である。$O\left(7,\dfrac{33}8\right)$ との差は $\left(-\dfrac{33}{49},-\dfrac{1073}{392}\right)=\dfrac1{392}(-264,-1073)$ で、$264^2+1073^2=69696+1151329=1221025=1105^2$ なので $OP=\dfrac{1105}{392}$ である。一方 $R-\rho_A=\dfrac{65}8-\dfrac{260}{49}=\dfrac{3185-2080}{392}=\dfrac{1105}{392}$ で、一致する。
   鈍角三角形（$\angle A=120^\circ$）での確かめを開く

   (2) $\angle A=120^\circ$ の鈍角三角形 $A(0,0)$、$B(5,0)$、$C\left(-\dfrac32,\dfrac{3\sqrt3}2\right)$。$c=AB=5$、$b=AC=3$ で、余弦定理から $a^2=25+9-2\cdot5\cdot3\cos120^\circ=49$、$a=7$ である。面積は $S=\dfrac12\cdot5\cdot3\sin120^\circ=\dfrac{15\sqrt3}4$、$s=\dfrac{15}2$ から $r=\dfrac Ss=\dfrac{\sqrt3}2$、正弦定理から $R=\dfrac{a}{2\sin A}=\dfrac{7}{\sqrt3}$ である。$\cos^2 60^\circ=\dfrac14$ なので$$\rho_A=\frac{\frac{\sqrt3}2}{\frac14}=2\sqrt3,\qquad AP=\frac{2\sqrt3}{\sin60^\circ}=4$$で、中心は二等分線（向き $60^\circ$）の上の $P(2,2\sqrt3)$ である。外心は $O\left(\dfrac52,\dfrac{11\sqrt3}6\right)$ で、$OP^2=\dfrac14+\left(\dfrac{\sqrt3}6\right)^2=\dfrac13$、$OP=\dfrac{\sqrt3}3$ である。$R-\rho_A=\dfrac{7\sqrt3}3-\dfrac{6\sqrt3}3=\dfrac{\sqrt3}3$ で一致する。

1. 13, 14, 15 の三角形（ex-mix-radius の (1)）。$AK=AL=AP\cos\dfrac A2=\dfrac{65\sqrt{65}}{49}\cdot\dfrac7{\sqrt{65}}=\dfrac{65}7$ である。$AB=13$、$AC=15$ なので
   $$ K=A+\frac{65/7}{13}(B-A)=(5,12)+\frac57(-5,-12)=\left(\frac{10}7,\frac{24}7\right), $$
   $$ L=A+\frac{65/7}{15}(C-A)=(5,12)+\frac{13}{21}(9,-12)=\left(\frac{74}7,\frac{32}7\right) $$
   である。中点は $\left(\dfrac{84}{14},\dfrac{56}{14}\right)=(6,4)$ で、内心 $I(6,4)$ と一致する。
   鈍角三角形（$\angle A=120^\circ$）での確かめを開く

   (2) $\angle A=120^\circ$ の三角形（ex-mix-radius の (2)）。$AK=AP\cos60^\circ=2$ なので $K(2,0)$、$L$ は $AC$ の向き $120^\circ$ に $2$ 進んだ点 $(-1,\sqrt3)$ である。中点は $\left(\dfrac12,\dfrac{\sqrt3}2\right)$ である。内心は、重み $a=7$、$b=3$、$c=5$ の重み付きの平均$$I=\frac{7A+3B+5C}{15}=\frac{(0,0)+(15,0)+\left(-\frac{15}2,\frac{15\sqrt3}2\right)}{15}=\left(\frac12,\frac{\sqrt3}2\right)$$で（三角形の内心と傍心）、一致する。

ex-mix-start の直角三角形で、$I(1,1)$ を通り $AI$（直線 $y=x$）に垂直な直線は $x+y=2$ である。これが $x$ 軸、$y$ 軸と交わる点は $K(2,0)$、$L(0,2)$ である。$K$ で $x$ 軸に立てた垂線 $x=2$ と $y=x$ の交点は $P(2,2)$ で、半径は $PK=2$ である。ex-mix-start の (4) と同じ円が得られた。

ex-mix-start の直角三角形で、中心 $(t,t)$、半径 $t$ の円が外接円に 外側から 接する条件は、中心どうしの距離が半径の和に等しいこと
$$ \sqrt{\left(t-\frac32\right)^2+(t-2)^2}=\frac52+t $$
である。両辺を 2 乗して整理すると
$$ 2t^2-7t+\frac{25}4=t^2+5t+\frac{25}4,\qquad t^2-12t=0 $$
で、$t>0$ から $t=12$ である。円の中心は $(12,12)$、半径は $12$ で、$x$ 軸、$y$ 軸との接点は $(12,0)$、$(0,12)$ である。これは辺 $AB$、$AC$ の上ではなく、$B$、$C$ の先に延ばした部分にある。
2 つの接点を結ぶ線分の中点は $(6,6)$ で、内心 $(1,1)$ ではない。$(6,6)$ は $A$ に向かい合う傍心 $I_A$ である。実際、$(6,6)$ から $x$ 軸、$y$ 軸までの距離は $6$、直線 $BC$（$4x+3y-12=0$）までの距離は $\dfrac{\lvert 24+18-12\rvert}{5}=6$ で、傍接円の半径 $r_a=\dfrac{S}{s-a}=\dfrac61=6$ と合う。
13, 14, 15 の三角形で同じ円を求めると、中心 $\left(\dfrac{440}{49},-\dfrac{972}{49}\right)$、半径 $\dfrac{780}{49}$、接点 $\left(-\dfrac{40}7,-\dfrac{96}7\right)$、$\left(\dfrac{152}7,-\dfrac{72}7\right)$ で、中点は傍心 $I_A(8,-12)$ である（図 5）。

ex-mix-start の直角三角形で、内接円（中心 $(1,1)$、半径 $1$）は辺 $AB$、$AC$ に $(1,0)$、$(0,1)$ で接する。この 2 点を結ぶ線分の中点は $\left(\dfrac12,\dfrac12\right)$ で、内心 $(1,1)$ ではない。
一般に、内接円と辺 $AB$、$AC$ の接点を結ぶ線分の中点は、prf-mix-midpoint の段 1 と同じ計算で、$A$ から $AI\cos\dfrac A2\cdot\cos\dfrac A2=AI\cos^2\dfrac A2$ の距離にある。$\cos^2\dfrac A2<1$ なので、中点はいつも内心より $A$ に近い。中点が内心に来るのは、半径が $\dfrac r{\cos^2\frac A2}$ の円、つまり混線内接円だけである（cor-mix-construct）。