Ext関手
概要
Ext関手（Ext functor）とは、環 $R$ 上の加群 $A,B$ に対し、Hom関手 $\operatorname{Hom}_R(A,-)$ の右導来関手として定まる $\operatorname{Ext}_R^n(A,B)$ のことをいう。Hom関手が左完全であって右完全とは限らないことの「ずれ」を測る不変量であり、$\operatorname{Ext}_R^0(A,B)\cong\operatorname{Hom}_R(A,B)$ が成り立つ。$\operatorname{Ext}_R^1(A,B)$ は $A$ を $B$ による拡大（短完全列 $0\to B\to E\to A\to0$）の同値類全体と一対一に対応するという古典的な解釈を持つ、ホモロジー代数で最も基本的な導来不変量の一つである。
前提知識: アーベル圏, 導来関手, 短完全列, 入射対象・射影対象
定義
環 $R$ と左 $R$ 加群 $A$ を固定する。関手
$$
\operatorname{Hom}_R(A,-)\colon R\text{-}\mathrm{Mod}\longrightarrow\mathbf{Ab}
$$
は左完全である（標準的な性質、本記事では証明を割愛する）。この関手の導来関手の意味での右導来関手を
$$
\operatorname{Ext}_R^n(A,-):=R^n(\operatorname{Hom}_R(A,-))\qquad(n\ge0)
$$
と定め、Ext関手（Ext functor）と呼ぶ。具体的には、左 $R$ 加群 $B$ の入射対象・射影対象の意味での入射分解 $B\to I^\bullet$ を一つとり、
$$
\operatorname{Ext}_R^n(A,B):=H^n(\operatorname{Hom}_R(A,I^\bullet))
$$
として計算される。
直感
$\operatorname{Hom}_R(A,-)$ は左完全であるが、一般には右完全ではない——すなわち短完全列 $0\to B'\to B\to B''\to0$ に $\operatorname{Hom}_R(A,-)$ を適用しても、右端の全射性が保たれるとは限らない。Ext関手は、この「保たれなさ」を測定する右導来関手であり、$\operatorname{Ext}_R^0(A,B)\cong\operatorname{Hom}_R(A,B)$ は導来関手の一般論（次数0の右導来関手は元の関手に一致する）から従う。
Ext関手には古典的な解釈がある：$\operatorname{Ext}_R^1(A,B)$ の元は、$A$ の $B$ による拡大（extension）——短完全列 $0\to B\to E\to A\to0$——を、$B,A$ を固定した同値（両端を固定する可換な同型 $E\cong E'$ で移り合うこと）で割った同値類全体と一対一に対応する（標準的な事実として引用する、証明は本記事の範囲を超える）。この意味で $\operatorname{Ext}^1$ が消えることは、$A,B$ が「自明な拡大」（直和 $A\oplus B$）以外の拡大を持たないことを意味する。
例
$R=\mathbb Z$、$A=\mathbb Z/m\mathbb Z$、$B=\mathbb Z/n\mathbb Z$（$m,n\ge1$）とする。定義で用いた入射分解の代わりに、$A$ の射影分解 $0\to\mathbb Z\xrightarrow{\times m}\mathbb Z\to\mathbb Z/m\mathbb Z\to0$ を用いても同型な結果が得られることが知られている（標準的な事実として引用する、証明は割愛）。この射影分解に $\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(-,B)$ を適用すると、複体 $B\xrightarrow{\times m}B$（$B=\mathbb Z/n\mathbb Z$）が得られ、Tor関手の巡回加群の例と同様の計算により
$$
\operatorname{Ext}_{\mathbb Z}^0(A,B)\cong\mathbb Z/\gcd(m,n)\mathbb Z,\qquad\operatorname{Ext}_{\mathbb Z}^1(A,B)\cong\mathbb Z/\gcd(m,n)\mathbb Z,\qquad\operatorname{Ext}_{\mathbb Z}^n(A,B)=0\ (n\ge2)
$$
となる。特に $m,n$ が互いに素であれば $\operatorname{Ext}_{\mathbb Z}^1(A,B)=0$ となり、実際 $\mathbb Z/m\mathbb Z$ と $\mathbb Z/n\mathbb Z$ の拡大は（互いに素な位数を持つ有限アーベル群の拡大がすべて分裂するという事実と整合的に）自明なものしか存在しない。
性質
左 $R$ 加群 $B$ が入射対象・射影対象の意味での入射対象であれば、任意の左 $R$ 加群 $A$ と任意の $n\ge1$ に対し $\operatorname{Ext}_R^n(A,B)=0$ である。
$B$ が入射対象であるとき、$B$ 自身を用いた自明な入射分解 $0\to B\xrightarrow{\operatorname{id}}B\to0\to0\to\cdots$ が取れる（次数0にのみ $B$ が現れ、それ以外はすべて $0$ である複体）。このとき $\operatorname{Hom}_R(A,I^\bullet)$ は次数0にのみ $\operatorname{Hom}_R(A,B)$ が現れ、それ以外はすべて $0$ である複体になる。ゆえにそのコホモロジーは $H^0=\operatorname{Hom}_R(A,B)$、$H^n=0$（$n\ge1$）である。導来関手の定義（入射分解の取り方によらず同型な結果を与える）により、この特定の分解を用いて計算した値が $\operatorname{Ext}_R^n(A,B)$ の値そのものであるから、$\operatorname{Ext}_R^n(A,B)=0$（$n\ge1$）。$\blacksquare$
双対に、左 $R$ 加群 $A$ が入射対象・射影対象の意味での射影対象であれば、任意の $B$、任意の $n\ge1$ に対し $\operatorname{Ext}_R^n(A,B)=0$ である。これは射影分解を用いた $\operatorname{Ext}$ の別定式化（例の節参照）に対し同様の議論を適用すれば従うが、二通りの定式化（入射分解による定義と射影分解による計算）が一致することの証明は本記事の範囲を超えるため、標準的な事実として引用するにとどめる。
