Tonelliの定理

同義語：トネリの定理Tonelli's theorem

概要

前提知識: 測度, Lebesgue積分, 積測度

2 変数の関数を、先に $y$ で積分してから $x$ で積分した値と、逆の順に積分した値が等しいかどうかは、積分の計算でたびたび問題になる。Tonelli の定理（Tonelli's theorem）は、このことを σ-有限な測度空間の積の上の非負可測関数について保証する定理である。積分の値が $\infty$ になってもよく、可積分性の仮定は要らない。
正確には、$(X,\mathcal{S},\mu)$ と $(Y,\mathcal{T},\nu)$ を σ-有限な測度空間とし、$f\colon X\times Y\to[0,\infty]$ を積 σ-代数 $\mathcal{S}\otimes\mathcal{T}$ について可測とすると、内側の積分は外側の変数の可測関数であり、
$$ \int_{X\times Y}f\,d(\mu\otimes\nu)=\int_X\Bigl(\int_Yf(x,y)\,d\nu(y)\Bigr)d\mu(x)=\int_Y\Bigl(\int_Xf(x,y)\,d\mu(x)\Bigr)d\nu(y) $$
が成り立つ。数え上げ測度に当てれば、非負の項の二重級数は和の順序を入れ替えてよい。符号の変わる関数については、まず Tonelli の定理を絶対値に当てて積分が有限であることを確かめ、そのうえで Fubiniの定理を使うのが普通の手順である。非負性・σ-有限性・積 σ-代数についての可測性は、どれを外しても 2 つの累次積分が一致しない例がある（節「反例」）。

設定

以下、$(X,\mathcal{S},\mu)$ と $(Y,\mathcal{T},\nu)$ を測度空間とする（測度の記事の定義「測度」）。積分は Lebesgue積分の記事の意味で、$[0,\infty]$ の中の計算では $0\cdot\infty=0$ と約束する。集合 $E$ の指示関数を $1_E$ と書く。

積σ-代数と切り口

$A\in\mathcal{S}$、$B\in\mathcal{T}$ に対する $A\times B$ を可測長方形といい、可測長方形全体を含む $X\times Y$ 上の最小の σ-代数を $\mathcal{S}\otimes\mathcal{T}$ と書いて積 σ-代数という。$E\subset X\times Y$ と $x\in X$、$y\in Y$ に対し、切り口を
$$ E_x:=\{y\in Y\mid(x,y)\in E\},\qquad E^y:=\{x\in X\mid(x,y)\in E\} $$
で定める。関数 $f\colon X\times Y\to[-\infty,\infty]$ の切り口を $f_x(y):=f(x,y)$、$f^y(x):=f(x,y)$ で定める。

測度 $\mu$ が σ-有限であるとは、測度有限な可測集合の可算個の和で $X$ が書けることをいう（測度の記事の定義「有限測度・σ-有限測度・確率測度」）。和をとり直せば、$X_1\subset X_2\subset\cdots$、$\bigcup_jX_j=X$、$\mu(X_j)<\infty$ となる列がとれる。$\mathbb{R}^n$ の Lebesgue 測度と $\mathbb{N}$ 上の数え上げ測度は σ-有限であり、$[0,1]$ 上の数え上げ測度は σ-有限でない。
$\mu,\nu$ が σ-有限のとき、$\mathcal{S}\otimes\mathcal{T}$ 上の測度で、すべての可測長方形について $A\times B\mapsto\mu(A)\nu(B)$ となるものがただ 1 つある。これが積測度 $\mu\otimes\nu$ である（積測度の記事の定理「積測度の存在と一意性」）。下の prop-tonelli-product-measure は、この存在と一意性を、Tonelli の定理の証明に要る形で示す。

切り口の可測性

$E\in\mathcal{S}\otimes\mathcal{T}$ ならば、すべての $x\in X$、$y\in Y$ について $E_x\in\mathcal{T}$、$E^y\in\mathcal{S}$ である。$f\colon X\times Y\to[-\infty,\infty]$ が $\mathcal{S}\otimes\mathcal{T}$-可測ならば、すべての $x$ で $f_x$ は $\mathcal{T}$-可測、すべての $y$ で $f^y$ は $\mathcal{S}$-可測である。

$x$ を固定し、$\mathcal{G}:=\{E\subset X\times Y\mid E_x\in\mathcal{T}\}$ とおく。$(A\times B)_x$ は $x\in A$ なら $B$、そうでなければ $\emptyset$ なので、可測長方形は $\mathcal{G}$ に属する。$(X\times Y\setminus E)_x=Y\setminus E_x$、$(\bigcup_kE_k)_x=\bigcup_k(E_k)_x$ なので $\mathcal{G}$ は σ-代数であり、$\mathcal{S}\otimes\mathcal{T}\subset\mathcal{G}$ である。関数については、実数 $a$ について $\{y\mid f_x(y)>a\}=(\{f>a\})_x\in\mathcal{T}$ である。$E^y$、$f^y$ も同様である。$\square$

切り口の測度の可測性

$\nu$ が σ-有限ならば、任意の $E\in\mathcal{S}\otimes\mathcal{T}$ について、$x\mapsto\nu(E_x)$ は $X$ 上の $\mathcal{S}$-可測関数（値は $[0,\infty]$）である。$\mu$ が σ-有限ならば、同様に $y\mapsto\mu(E^y)$ は $\mathcal{T}$-可測である。

要点：$\nu(Y)<\infty$ のとき、「$x\mapsto\nu(E_x)$ が可測になる $E$」の全体が λ 系であることを示し、Dynkinのπ-λ定理を使う。σ-有限の場合はその極限である。

詳しい証明を開く

まず $\nu(Y)<\infty$ とし、$\mathcal{D}:=\{E\in\mathcal{S}\otimes\mathcal{T}\mid x\mapsto\nu(E_x)\text{ は }\mathcal{S}\text{-可測}\}$ とおく。可測長方形については $\nu((A\times B)_x)=\nu(B)1_A(x)$ なので可測であり、可測長方形の全体は $(A\times B)\cap(A'\times B')=(A\cap A')\times(B\cap B')$ により π 系である。$\mathcal{D}$ は λ 系である：$X\times Y\in\mathcal{D}$、$E\in\mathcal{D}$ なら $\nu((X\times Y\setminus E)_x)=\nu(Y)-\nu(E_x)$（$\nu(Y)<\infty$ を使う）は可測、互いに交わらない $E_1,E_2,\ldots\in\mathcal{D}$ については切り口も互いに交わらず $\nu((\bigcup_kE_k)_x)=\sum_k\nu((E_k)_x)$ は可測関数の部分和の各点での極限なので可測である。Dynkinのπ-λ定理の定理「Dynkinのπ-λ定理」により $\mathcal{S}\otimes\mathcal{T}\subset\mathcal{D}$ である。

一般の場合は $Y_1\subset Y_2\subset\cdots$、$\bigcup_jY_j=Y$、$\nu(Y_j)<\infty$ をとる。$\nu_j(B):=\nu(B\cap Y_j)$ は有限測度なので、前段により $x\mapsto\nu_j(E_x)$ は可測であり、測度の下からの連続性（測度の記事の定理「測度の連続性」）により $\nu(E_x)=\lim_j\nu_j(E_x)$ も可測である。$y\mapsto\mu(E^y)$ も同様である。$\square$

累次積分で作る積測度

$\mu,\nu$ を σ-有限とし、$E\in\mathcal{S}\otimes\mathcal{T}$ について
$$ \rho_1(E):=\int_X\nu(E_x)\,d\mu(x),\qquad\rho_2(E):=\int_Y\mu(E^y)\,d\nu(y) $$
とおく。$\rho_1,\rho_2$ は $\mathcal{S}\otimes\mathcal{T}$ 上の測度で、すべての可測長方形について $\rho_i(A\times B)=\mu(A)\nu(B)$ をみたし、$\rho_1=\rho_2=\mu\otimes\nu$ である。

lem-tonelli-section-measure により被積分関数は可測である。$\rho_1(\emptyset)=0$ であり、$E_1,E_2,\ldots$ が互いに交わらなければ $\nu((\bigcup_kE_k)_x)=\sum_k\nu((E_k)_x)$ なので、有限和については積分の線形性を使い、部分和の増加列に Lebesgue積分の記事の定理「単調収束定理」を当てると $\rho_1(\bigcup_kE_k)=\sum_k\rho_1(E_k)$ である。よって $\rho_1$ は測度で、$\rho_1(A\times B)=\int_X\nu(B)1_A\,d\mu=\mu(A)\nu(B)$ である。$\rho_2$ も同様である。
$X_j\uparrow X$、$Y_j\uparrow Y$ を測度有限な可測集合の増加列とすると、$X_j\times Y_j$ は可測長方形の増加列で $X\times Y$ を覆い、$\rho_i(X_j\times Y_j)=\mu(X_j)\nu(Y_j)<\infty$ である。可測長方形の全体は π 系で $\mathcal{S}\otimes\mathcal{T}$ を生成するので、Dynkinのπ-λ定理の定理「π系の上で一致する測度の一意性」の 2 により、可測長方形の上で $\mu(A)\nu(B)$ に等しい測度は 1 つしかない。よって $\rho_1=\rho_2$ であり、これが $\mu\otimes\nu$ である。$\square$

この命題は、Tonelli の定理を指示関数 $f=1_E$ に当てた場合そのものである。

主定理

Tonelliの定理

$(X,\mathcal{S},\mu)$、$(Y,\mathcal{T},\nu)$ を σ-有限な測度空間とし、$f\colon X\times Y\to[0,\infty]$ を $\mathcal{S}\otimes\mathcal{T}$-可測とする。このとき

$x\mapsto\int_Yf(x,y)\,d\nu(y)$ は $X$ 上の $\mathcal{S}$-可測関数である。
$y\mapsto\int_Xf(x,y)\,d\mu(x)$ は $Y$ 上の $\mathcal{T}$-可測関数である。
次の等式が $[0,\infty]$ の中で成り立つ。
$$ \int_{X\times Y}f\,d(\mu\otimes\nu)=\int_X\Bigl(\int_Yf(x,y)\,d\nu(y)\Bigr)d\mu(x)=\int_Y\Bigl(\int_Xf(x,y)\,d\mu(x)\Bigr)d\nu(y). $$

1 と 2 の内側の積分は、lem-tonelli-section により切り口 $f_x$、$f^y$ が可測なので、すべての $x$、$y$ で意味をもつ。

段 1（指示関数）．$f=1_E$（$E\in\mathcal{S}\otimes\mathcal{T}$）のとき、$\int_Yf(x,y)\,d\nu(y)=\nu(E_x)$、$\int_Xf(x,y)\,d\mu(x)=\mu(E^y)$ なので、1 と 2 は lem-tonelli-section-measure であり、3 は prop-tonelli-product-measure の $\mu\otimes\nu=\rho_1=\rho_2$ である。
段 2（非負単関数）．$f=\sum_{i=1}^mc_i1_{E_i}$（$c_i\in[0,\infty)$、$E_i\in\mathcal{S}\otimes\mathcal{T}$）とする。各 $x$ で $\int_Yf(x,y)\,d\nu(y)=\sum_ic_i\nu((E_i)_x)$ であり（Lebesgue積分の記事の定理「積分の線形性と単調性」）、右辺は可測関数の非負係数の和なので可測である。2 も同様である。3 の 3 つの辺は、段 1 の等式に $c_i$ を掛けて足したものに等しい。
段 3（一般の場合）．Lebesgue積分の記事の補題「単関数による近似」により、$\mathcal{S}\otimes\mathcal{T}$-可測な非負単関数の列 $s_1\le s_2\le\cdots$ で各点で $s_n\to f$ となるものがとれる。各 $x$ について、切り口 $(s_n)_x$ は $\mathcal{T}$-可測な非負単関数で $f_x$ に増加して収束するので、単調収束定理により
$$ \int_Yf(x,y)\,d\nu(y)=\lim_{n\to\infty}\int_Ys_n(x,y)\,d\nu(y) $$
である。右辺は段 2 により $\mathcal{S}$-可測関数の増加列の極限なので可測であり、1 が成り立つ。2 も同様である。この増加列にもう一度単調収束定理を当て、段 2 の等式で $n\to\infty$ とすると
$$ \int_X\Bigl(\int_Yf\,d\nu\Bigr)d\mu=\lim_{n\to\infty}\int_X\Bigl(\int_Ys_n\,d\nu\Bigr)d\mu=\lim_{n\to\infty}\int_{X\times Y}s_n\,d(\mu\otimes\nu)=\int_{X\times Y}f\,d(\mu\otimes\nu) $$
を得る。最後の等号も単調収束定理である。$Y$ から先に積分する側も同様である。$\square$

証明で σ-有限性を使ったのは、lem-tonelli-section-measure と prop-tonelli-product-measure の一意性の部分だけである。そこが崩れると、指示関数についての段 1 がすでに成り立たない（ex-tonelli-counter-sigma）。

Lebesgue可測関数の場合

$\mathbb{R}^{p+q}$ の Lebesgue 可測関数 $f\ge0$ は、$\mathcal{L}_p\otimes\mathcal{L}_q$-可測（$\mathcal{L}_n$ は $\mathbb{R}^n$ の Lebesgue 可測集合全体）とは限らない。このときは、$\lambda_p$-ほとんどすべての $x$ で切り口 $f_x$ が Lebesgue 可測になり、内側の積分を残りの $x$ では $0$ と定めれば、3 の等式が $\mu\otimes\nu$ を $\lambda_{p+q}$ に替えて成り立つ。切り口の可測性が「すべての $x$」から「ほとんどすべての $x$」に弱まるのが違いである。これは Fubiniの定理の記事の定理「完備化した積測度でのTonelli・Fubiniの定理」と系「Lebesgue可測関数の積分の順序交換」にあり（Tao11 Theorem 1.7.18）、この記事では証明しない。$\mathbb{R}^n$ の上の調和解析で Tonelli の定理を使うときは、この形を使うことが多い。

系

非負の二重級数

$a_{jk}\in[0,\infty]$（$j,k\in\mathbb{N}$）について
$$ \sum_{j=0}^\infty\sum_{k=0}^\infty a_{jk}=\sum_{k=0}^\infty\sum_{j=0}^\infty a_{jk} $$
である（値は $\infty$ でもよい）。

$\mathbb{N}$ にすべての部分集合からなる σ-代数と数え上げ測度 $\#$ を入れると、$\#$ は σ-有限であり、$\mathcal{P}(\mathbb{N})\otimes\mathcal{P}(\mathbb{N})$ は 1 点 $\{(j,k)\}=\{j\}\times\{k\}$ をすべて含むので $\mathcal{P}(\mathbb{N}\times\mathbb{N})$ に等しい。よって $(j,k)\mapsto a_{jk}$ は可測である。数え上げ測度についての積分は級数である（Lebesgue積分の記事の例「数え上げ測度による積分と級数」）から、thm-tonelli-main の 3 の右の等号が求める式である。$\square$

非負関数の級数の項別積分

$(X,\mathcal{S},\mu)$ を σ-有限な測度空間とし、$f_k\colon X\to[0,\infty]$（$k\in\mathbb{N}$）を可測関数とする。このとき
$$ \int_X\sum_{k=0}^\infty f_k\,d\mu=\sum_{k=0}^\infty\int_Xf_k\,d\mu $$
である。

$F(x,k):=f_k(x)$ は $X\times\mathbb{N}$ 上の関数で、$\{F>a\}=\bigcup_k\{f_k>a\}\times\{k\}$ なので $\mathcal{S}\otimes\mathcal{P}(\mathbb{N})$-可測である。$\mu$ と数え上げ測度に thm-tonelli-main を当て、2 つの累次積分を級数で書けばよい。$\square$

この系は、部分和の増加列に単調収束定理を当てても示せ、そうすれば σ-有限性は要らない（Tao11 Corollary 1.4.46）。二重級数・級数と積分の交換は、どちらも「非負なら順序によらない」という同じ原理の特別な場合である（Tao11 Remark 1.7.16）。

例

以下では、区間の上の非負の連続関数の Lebesgue 積分を広義積分の値で計算する（Lebesgue積分の記事の命題「非負関数の広義積分との一致」）。平面の開集合・閉集合の上の連続関数は Borel 可測であり、$\mathbb{R}^2$ の Borel 集合全体は $\mathcal{B}_1\otimes\mathcal{B}_1$（$\mathcal{B}_1$ は $\mathbb{R}$ の Borel 集合全体）に等しく、その上で Lebesgue 測度は $\lambda_1\otimes\lambda_1$ に等しい（Fubiniの定理の記事の命題「Euclid空間のLebesgue測度と積測度」）。

積分を積分で書いて順序を入れ替える

$$ \int_0^\infty\frac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}\,dx=\log2 $$
である。被積分関数は $(0,\infty)$ の上で正であり、$x>0$ について
$$ \frac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}=\int_1^2e^{-sx}\,ds $$
と書ける。$(x,s)\mapsto e^{-sx}$ は $(0,\infty)\times[1,2]$ の上で非負かつ連続なので、Tonelli の定理により
$$ \int_0^\infty\Bigl(\int_1^2e^{-sx}\,ds\Bigr)dx=\int_1^2\Bigl(\int_0^\infty e^{-sx}\,dx\Bigr)ds=\int_1^2\frac{ds}{s}=\log2 $$
を得る。内側の積分 $\int_0^\infty e^{-sx}\,dx=1/s$ は $s\ge1$ で有限である。

分布関数による積分

$(X,\mathcal{S},\mu)$ を σ-有限な測度空間、$f\colon X\to[0,\infty]$ を可測関数とすると
$$ \int_Xf\,d\mu=\int_0^\infty\mu(\{f>t\})\,dt $$
である。$U:=\{(x,t)\in X\times(0,\infty)\mid f(x)>t\}$ とおくと、$f(x)>t$ なら $t< r< f(x)$ となる有理数 $r$ があるので
$$ U=\bigcup_{r\in\mathbb{Q},\,r>0}\{f>r\}\times(0,r) $$
であり、$U$ は可測長方形の可算個の和として $\mathcal{S}\otimes\mathcal{B}$（$\mathcal{B}$ は $(0,\infty)$ の Borel 集合全体）に属する。$x$ を固定すると $U_x=(0,f(x))$ で $\lambda(U_x)=f(x)$、$t$ を固定すると $U^t=\{f>t\}$ である。$1_U$ に Tonelli の定理を当てればよい。

この等式は σ-有限性を仮定しなくても成り立ち（層ケーキ表示の記事の定理「層ケーキ表示」）、$\int f^p\,d\mu=\int_0^\infty pt^{p-1}\mu(\{f>t\})\,dt$ のような重み付きの形もある。$L^p$ ノルムを分布関数で表すこの等式は、補間定理や極大関数の評価で使われる。同様に、$L^1(\mathbb{R}^n)$ の 2 つの関数の畳み込みがほとんど至るところ定義されることも、Tonelli の定理を $\lvert f(x-y)\rvert\lvert g(y)\rvert$ に当てて示される（同記事の命題「定義可能性と$L^1$版Young不等式」）。

反例

仮定を 1 つ外すと、2 つの累次積分が一致しなくなることがある。

外す条件	反例	成り立たなくなること
$f\ge0$	$e^{-xy}-2e^{-2xy}$（$(0,\infty)\times(0,1]$ の上）	2 つの累次積分の一致
σ-有限性	$[0,1]$ 上の Lebesgue 測度と数え上げ測度、対角線	非負関数の 2 つの累次積分の一致
$\mathcal{S}\otimes\mathcal{T}$-可測性	連続体仮説のもとで作る $[0,1]^2$ の部分集合	非負関数の 2 つの累次積分の一致

反例：符号の変わる関数

$X=(0,\infty)$、$Y=(0,1]$ に Lebesgue 測度を入れ、$f(x,y):=e^{-xy}-2e^{-2xy}$ とおく。$f$ は連続で、2 つの累次積分はどちらも有限だが
$$ \int_0^1\Bigl(\int_0^\infty f(x,y)\,dx\Bigr)dy=0,\qquad\int_0^\infty\Bigl(\int_0^1f(x,y)\,dy\Bigr)dx=-\log2 $$
となり、一致しない。

確かめる

$y\in(0,1]$ を固定すると、$\int_0^\infty e^{-xy}\,dx=\frac1y$、$\int_0^\infty2e^{-2xy}\,dx=\frac1y$ なので、内側の積分は $0$ である。$x>0$ を固定すると、$\int_0^1e^{-xy}\,dy=\frac{1-e^{-x}}{x}$、$\int_0^12e^{-2xy}\,dy=\frac{1-e^{-2x}}{x}$ なので、内側の積分は $\frac{e^{-2x}-e^{-x}}{x}$ である。これは $(0,\infty)$ の上で負で、ex-tonelli-frullani によりその積分は $-\log2$ である。

$f$ は σ-有限な測度空間の積の上の可測関数だが、非負でない。満たさない性質は Tonelli の定理の仮定 $f\ge0$、破る含意は「各切り口が可積分で、2 つの累次積分がどちらも有限なら、それらは一致する」である。累次積分が一致しないので、Fubiniの定理の対偶により $\int\lvert f\rvert\,d(\lambda\otimes\lambda)=\infty$ でもある。

反例：σ-有限でない測度

$X=Y=[0,1]$ とし、$\mathcal{S}=\mathcal{T}$ を $[0,1]$ の Borel 集合全体、$\mu$ を Lebesgue 測度、$\nu$ を数え上げ測度とする。対角線 $D:=\{(x,x)\mid x\in[0,1]\}$ は、$I_{k,i}:=[\frac ik,\frac{i+1}k]$ を使って
$$ D=\bigcap_{k\ge1}\ \bigcup_{i=0}^{k-1}I_{k,i}\times I_{k,i} $$
と書けるので $\mathcal{S}\otimes\mathcal{T}$ に属する（$x\neq y$ なら、$\frac1k<\lvert x-y\rvert$ となる $k$ で $x,y$ は長さ $\frac1k$ の同じ区間 $I_{k,i}$ に入らない）。切り口は $D_x=\{x\}$、$D^y=\{y\}$ なので
$$ \int_X\nu(D_x)\,d\mu(x)=\int_{[0,1]}1\,d\mu=1,\qquad\int_Y\mu(D^y)\,d\nu(y)=\int_{[0,1]}0\,d\nu=0 $$
であり、非負関数 $1_D$ の 2 つの累次積分が一致しない（Axler20 5.30）。満たさない性質は $\nu$ の σ-有限性（有限集合の可算個の和は可算集合で、$[0,1]$ を覆えない）、破る含意は「非負の可測関数の累次積分は順序によらない」である。

反例：積σ-代数について可測でない集合

連続体仮説を仮定すると、$[0,1]$ と最小の非可算順序数 $\omega_1$ の間の全単射により、$[0,1]$ の上に、各元より前にある元が高々可算個しかない整列順序 $\prec$ がとれる。$E:=\{(x,y)\in[0,1]^2\mid x\prec y\}$ とおき、両方の因子に Lebesgue 測度を入れる。各 $y$ で切り口 $E^y$ は可算集合なので測度 $0$、各 $x$ で $E_x$ は補集合が可算なので測度 $1$ であり、2 つの累次積分は $0$ と $1$ になる。したがって thm-tonelli-main により $E$ は $\mathcal{B}_1\otimes\mathcal{B}_1$ に属さない（Tao11 Remark 1.7.20）。満たさない性質は積 σ-代数についての可測性、破る含意は「切り口がすべて可測で、2 つの累次積分がともに存在するなら一致する」である。この例は連続体仮説に依存する。

補足

Fubini の定理との関係：符号の変わる $\mathcal{S}\otimes\mathcal{T}$-可測関数 $f$ は、$\int\lvert f\rvert\,d(\mu\otimes\nu)<\infty$ ならば、ほとんどすべての切り口が可積分で、2 つの累次積分が全体の積分に等しい（Fubiniの定理）。その仮定 $\int\lvert f\rvert\,d(\mu\otimes\nu)<\infty$ は、Tonelli の定理により「$\lvert f\rvert$ の累次積分のどちらか一方が有限」と同値である。Bre11 Theorem 4.4（p. 91）は、この判定法の形（$\lvert F\rvert$ の累次積分が有限なら $F$ は積測度について可積分）を Tonelli の定理と呼んでいる。
零集合の判定：Tonelli の定理を $1_E$ に当てると、$E\in\mathcal{S}\otimes\mathcal{T}$ が $\mu\otimes\nu$-零集合であることと、ほとんどすべての $x$ で $\nu(E_x)=0$ であることが同値になる（Fubiniの定理の記事の系「零集合の切り口による判定」）。
歴史：符号の変わる関数についての定理は Fubini が 1907 年に、非負関数についての定理は Tonelli が 1909 年に示した（Axler20 5B 節の欄外の注、p. 131）。