単体圏Δ

(ii) 単射 $\iota\colon[k]\to[n]$ は、$[k]$ から像への順序を保つ全単射と包含の合成であり、順序を保つ全単射は定義の直後に述べたとおり一意なので、$\iota$ は像で決まる。全射 $p\colon[m]\to[k]$ は順序を保つので $p(0)=0$ であり、各 $x$ で $p(x+1)-p(x)\in\{0,1\}$ である（差が $2$ 以上なら間の値がとられず全射でない）。よって $p(x+1)=p(x)$ となるのは $x\in T(p)$ のときだけで、それ以外では $p(x+1)=p(x)+1$ である。これで $p$ の値が $x=0,1,\ldots$ の順に $T(p)$ から決まる。
(i) $S=\alpha([m])$ の元の個数を $k+1$ とし、$\iota\colon[k]\to[n]$ を $S$ への順序を保つ全単射と包含の合成、$p=\iota^{-1}\circ\alpha\colon[m]\to[k]$ とすれば $\alpha=\iota\circ p$ で、$p$ は順序を保つ全射である。一意性：$\alpha=\iota'\circ p'$ と分解すれば、$p'$ が全射なので $\iota'$ の像は $S$ に等しく、(ii) により $\iota'=\iota$ であり、$\iota$ が単射なので $p'=p$ である。
(iii) 分解 $\alpha=\iota\circ p$ で $\iota$ は単射なので $T(\alpha)=T(p)$、また $\alpha$ の像は $\iota$ の像である。よって (ii) により $\alpha$ の $2$ つの成分はどちらも $(\alpha([m]),T(\alpha))$ で決まる。$\blacksquare$

lem-sc-image-collapse の (iii) により、各式の両辺について像とつぶれる位置の集合が一致することを確かめればよい。以下、$\delta^i$ は値 $i$ を飛ばし、$\sigma^j$ は $j$ と $j+1$ を同じ値 $j$ に送り、$y>j$ では $\sigma^j(y)=y-1$ であることと、つぶれる位置の合成則を使う。

(i) 単射なら、左から消去できるのでモノ射である。単射でなければ、ある $x$ で $\alpha(x)=\alpha(x+1)$ となる。$[0]$ から $[m]$ への $2$ つの射 $0\mapsto x$、$0\mapsto x+1$ は異なるが、$\alpha$ との合成は等しいので、$\alpha$ はモノ射でない。
(ii) 全射なら、右から消去できるのでエピ射である。全射でなければ、ある $y\in[n]$ が値にとられない。$f,g\colon[n]\to[1]$ を
$$ f(z)=\begin{cases}0&(z< y)\\1&(z\ge y)\end{cases},\qquad g(z)=\begin{cases}0&(z\le y)\\1&(z>y)\end{cases} $$
と定めると、どちらも順序を保ち、$f\ne g$（$f(y)=1\ne0=g(y)$）だが、$f$ と $g$ は $y$ 以外で一致するので $f\circ\alpha=g\circ\alpha$ である。よって $\alpha$ はエピ射でない。
(iii) 同型射は全単射なので $m=n$ であり、$[n]$ から $[n]$ への順序を保つ全単射は恒等写像だけである（定義の直後の注意）。$\blacksquare$

(i) $s$ についての帰納法。$s=0$ は恒等写像である。$\iota'=\delta^{i_2}\cdots\delta^{i_s}\colon[n-s]\to[n-1]$ は帰納法の仮定により単射で、像の補集合は $\{i_2,\ldots,i_s\}$ である。$\delta^{i_1}$ は単射で値 $i_1$ だけを飛ばすので、$\delta^{i_1}\iota'$ は単射で、像の補集合は $\{i_1\}\cup\delta^{i_1}(\{i_2,\ldots,i_s\})$ である。$i_l< i_1$（$l\ge2$）なので $\delta^{i_1}(i_l)=i_l$ であり、補集合は $\{i_1,\ldots,i_s\}$ になる。
(ii) $t$ についての帰納法。$t=0$ は恒等写像である。$\beta'=\sigma^{j_2}\cdots\sigma^{j_t}$ とおく。各 $\sigma^{j}$ は $j$ 以下の点を動かさず、$\sigma^j(y)\le y$ なので、$\beta'$ は $j_2$ 以下の点を動かさず（$t=1$ なら $\beta'$ は恒等写像）、すべての $x$ で $\beta'(x)\le x$ である。帰納法の仮定により $\beta'$ は全射で $T(\beta')=\{j_2,\ldots,j_t\}$ である。つぶれる位置の合成則により
$$ T(\sigma^{j_1}\beta')=T(\beta')\cup\{x\mid\beta'(x)=j_1,\ \beta'(x+1)=j_1+1\}. $$
$x=j_1$ は $j_1+1\le j_2$ なので条件を満たす。逆に $\beta'(x)=j_1$ なら、$x>j_2$ では $\beta'(x)\ge\beta'(j_2)=j_2>j_1$ となるので $x\le j_2$ で、そこでは $\beta'(x)=x$ だから $x=j_1$ である。よって $T(\sigma^{j_1}\beta')=\{j_1,\ldots,j_t\}$ であり、全射の合成なので全射である。$\blacksquare$

存在：lem-sc-image-collapse により $\alpha=\iota\circ p$（$p\colon[m]\to[k]$ は全射、$\iota\colon[k]\to[n]$ は単射）と分解する。$[n]\setminus\iota([k])$ の元を大きい順に $i_1>\cdots>i_s$、$T(p)$ の元を小さい順に $j_1<\cdots< j_t$ と並べる。lem-sc-monotone-words により、$\delta^{i_1}\cdots\delta^{i_s}$ は $\iota$ と同じ像をもつ単射、$\sigma^{j_1}\cdots\sigma^{j_t}$ は $p$ と同じつぶれる位置をもつ全射なので、lem-sc-image-collapse の (ii) によりそれぞれ $\iota$、$p$ に等しい。
一意性：上の形の合成は、lem-sc-monotone-words により「全射のあとに単射」の形であり、像の補集合が $\{i_1,\ldots,i_s\}$、つぶれる位置の集合が $\{j_1,\ldots,j_t\}$ である。これらは $\alpha$ だけで決まる（$[n]\setminus\alpha([m])$ と $T(\alpha)$）ので、添字の列は $\alpha$ から一意に決まる。元の個数を数えると $k=m-t$、$k=n-s$ である。$\blacksquare$

$\Phi$ は対象の上で全単射であり、thm-sc-normal-form により射の上で全射である。単射性を示すには、次の主張を示せば十分である。
主張：$\mathcal P$ の任意の語は、関係式を使って 標準の語 $\mathsf d^{i_1}\cdots\mathsf d^{i_s}\mathsf s^{j_1}\cdots\mathsf s^{j_t}$（$i_1>\cdots>i_s$、$j_1<\cdots< j_t$）に書き換えられる。
主張を認めると、$\Phi(w)=\Phi(w')$ となる語 $w,w'$ はそれぞれ標準の語 $u,u'$ に等しく、$\Phi(u)=\Phi(w)=\Phi(w')=\Phi(u')$ である。thm-sc-normal-form の一意性により $u$ と $u'$ は同じ語なので、$\mathcal P$ で $w=u=u'=w'$ となる。
主張の証明は 3 段である。
段 1（$\mathsf s$ を右へ）．語 $w$ の中で、$\mathsf s$ の文字が $\mathsf d$ の文字より左にある組の数を $N(w)$ とする。$N(w)>0$ なら、隣り合う $\mathsf s^j\mathsf d^i$ がある。これを余単体的恒等式の後半 3 式で $\mathsf d\,\mathsf s$ の形の $2$ 文字か空の語に置き換える。前者ではその組だけが解消されて他の組の位置関係は変わらないので $N$ はちょうど $1$ 減り、後者では $2$ 文字が消えて $N$ は $1$ 以上減る。$N$ は負にならないので、有限回で $N=0$、つまり $w=(\mathsf d\text{ だけの語})(\mathsf s\text{ だけの語})$ の形になる。
段 2（$\mathsf d$ だけの語）．$\mathsf d$ だけの語が標準の語（添字が左から真に減少）に書き換えられることを、語の長さ $\ell$ の帰納法で示す。$\ell\le1$ では正しい。$w=\mathsf d^a w'$ とし、帰納法の仮定で $w'=\mathsf d^{i_1}\cdots\mathsf d^{i_s}$（$i_1>\cdots>i_s$）とする。$a>i_1$ なら終わり。$a\le i_1$ なら、第 1 式（$i=a$、$j=i_1+1$）により $\mathsf d^a\mathsf d^{i_1}=\mathsf d^{i_1+1}\mathsf d^a$ なので
$$ w=\mathsf d^{i_1+1}\,(\mathsf d^a\mathsf d^{i_2}\cdots\mathsf d^{i_s}) $$
である。括弧の中は長さ $\ell-1$ なので、帰納法の仮定で標準の語 $\mathsf d^{c_1}\cdots\mathsf d^{c_s}$ に書き換えられる。lem-sc-monotone-words の (i) により $\{c_1,\ldots,c_s\}$ は括弧の中の語が $\Phi$ で写る単射の像の補集合で、それは $\{a\}\cup\delta^a(\{i_2,\ldots,i_s\})$ である。$a\le i_1$ であり、$i_l< i_1$ から $\delta^a(i_l)\le i_l+1\le i_1$ なので、$c_1=\max\{c_l\}\le i_1< i_1+1$ である。よって $w=\mathsf d^{i_1+1}\mathsf d^{c_1}\cdots\mathsf d^{c_s}$ は標準の語である。
段 3（$\mathsf s$ だけの語）．同様に長さの帰納法で示す。$w=\mathsf s^b w'$、$w'=\mathsf s^{j_1}\cdots\mathsf s^{j_t}$（$j_1<\cdots< j_t$）とする。$b< j_1$ なら終わり。$b\ge j_1$ なら、第 2 式（$i=j_1$、$j=b$）により $\mathsf s^b\mathsf s^{j_1}=\mathsf s^{j_1}\mathsf s^{b+1}$ なので $w=\mathsf s^{j_1}(\mathsf s^{b+1}\mathsf s^{j_2}\cdots\mathsf s^{j_t})$ である。括弧の中を帰納法の仮定で標準の語 $\mathsf s^{e_1}\cdots\mathsf s^{e_t}$ に書き換える。$\{e_1,\ldots,e_t\}$ は括弧の中の語が写る全射のつぶれる位置の集合で、$\beta=\sigma^{j_2}\cdots\sigma^{j_t}$ とおけば $T(\beta)\cup\{x\mid\beta(x)=b+1,\ \beta(x+1)=b+2\}$ である。$T(\beta)$ の元は $j_1$ より大きく、$\beta(x)\le x$ なので $\beta(x)=b+1$ となる $x$ は $b+1>j_1$ 以上である。よって $e_1>j_1$ で、$w=\mathsf s^{j_1}\mathsf s^{e_1}\cdots\mathsf s^{e_t}$ は標準の語である。
段 1〜3 を続けて行えば、任意の語は標準の語に書き換えられる。$\blacksquare$

thm-sc-presentation により、関手 $\Delta^{\mathrm{op}}\to\mathcal C$ は、関手 $\mathcal P^{\mathrm{op}}\to\mathcal C$ と同じものである。表示された圏からの関手は、生成元の行き先を、関係式を満たすように決めることと $1$ 対 $1$ に対応する（語の行き先は文字の行き先の合成で決まり、関係式を満たせば同値な語は同じ射に行く）。反対圏では合成の順が逆になるので、余単体的恒等式 $\delta^j\delta^i=\delta^i\delta^{j-1}$ は $X(\delta^i)X(\delta^j)=X(\delta^{j-1})X(\delta^i)$、つまり $d_id_j=d_{j-1}d_i$ になる。他の $4$ 式も同様に、上の $5$ 式にそれぞれ移る。逆向きは、関手 $X$ が余単体的恒等式を上の式に写すことによる。$\blacksquare$