Extensive Category

概要

 本稿ではExtensive categoryの定義を述べ、インフォーマルな説明を与える。

 本稿ではExtensive categoryの定義を述べ、インフォーマルな説明を与える。

 有限和をもつ圏 C の対象 a および b について、余積の構造射 ιa:aa+b および ιb:ba+b は、overcategoryの間の函手 Fa:\overcatCa\overcatCa+b および Fb:\overcatCb\overcatCa+b が誘導される。本稿では、この二つの函手が誘導する函手\overcatCa×\overcatCb\overcatCa+bFa,b と書く。

Extensive category

 有限和をもつ圏 C が extensive であるとは、C の任意の対象 a および b について、Fa,b が圏同値であることをいう。

インフォーマルな説明

 本節ではExtensive Categoryのインフォーマルな説明を与える。そのため内容は曖昧・不正確であるか、もしくは客観性を欠いています。
 圏 C として \SetCat\TopCat などを考える。圏 C の射 f:ea が与えられているとき、a の底集合の元x に対して f に沿った逆像 f\invert(x) を考えることができ、このようにして a の元に対して e の部分集合を対応させる射が得られる。このようにして e を「a 上のバンドル(構造物)」であると捉えることがある。このように捉えると \overcatCa+b は「a+b 上のバンドルのなす圏」に他ならず、C がいま考えている具体的な圏の場合は Fa,b を通して「a 上のバンドルと b 上のバンドルの組のなす圏」\overcatCa×\overcatCb と圏同値であることが確かめられる。この事実は、圏 C においては a+b なる対象が a という対象と b という対象とを「並べただけのもの」であることに由来する。
 よって、C がextensive categoryであることは、C において a+b なる対象が ab という二つの対象を「並べただけのもの」であることを、バンドルを用いて圏論的に抽象化した概念であるといえる。より正確には、「a 上のバンドルと b 上のバンドルの組」と「a+b 上のバンドル」とが同一視できる、というある意味で集合論的な条件をみたすとき、C をextensiveであると呼んでいる。

性質

C の対象 x がstrictであるとは、任意の射 f:ax が同型射であることをいう。

Extensive category C において、始対象はstrictである。

例示

Extensive categoryの例:集合の圏

集合の圏 \SetCat は extensive である。

Extensive categoryの例:位相空間の圏

位相空間の圏 \TopCat は extensive である。

Extensive categoryでない例:加群の圏

R を零でない環とするとき、R 上の左加群のなす圏 \ModCatR は extensive でない。
実際、この圏は零対象と R とを含み、仮定より 0:R0 は同型ではない。

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Extensive Category
  1. 概要
  2. 性質
  3. 例示