有限和をもつ圏 の対象 および について、余積の構造射 および は、overcategoryの間の函手 および が誘導される。本稿では、この二つの函手が誘導する函手 を と書く。
Extensive category
有限和をもつ圏 が extensive であるとは、 の任意の対象 および について、 が圏同値であることをいう。
インフォーマルな説明
本節ではExtensive Categoryのインフォーマルな説明を与える。そのため内容は曖昧・不正確であるか、もしくは客観性を欠いています。
圏 として や などを考える。圏 の射 が与えられているとき、 の底集合の元 に対して に沿った逆像 を考えることができ、このようにして の元に対して の部分集合を対応させる射が得られる。このようにして を「 上のバンドル（構造物）」であると捉えることがある。このように捉えると は「 上のバンドルのなす圏」に他ならず、 がいま考えている具体的な圏の場合は を通して「 上のバンドルと 上のバンドルの組のなす圏」 と圏同値であることが確かめられる。この事実は、圏 においては なる対象が という対象と という対象とを「並べただけのもの」であることに由来する。
よって、 がextensive categoryであることは、 において なる対象が と という二つの対象を「並べただけのもの」であることを、バンドルを用いて圏論的に抽象化した概念であるといえる。より正確には、「 上のバンドルと 上のバンドルの組」と「 上のバンドル」とが同一視できる、というある意味で集合論的な条件をみたすとき、 をextensiveであると呼んでいる。
性質
圏 の対象 がstrictであるとは、任意の射 が同型射であることをいう。
Extensive category において、始対象はstrictである。
例示
Extensive categoryの例：集合の圏
Extensive categoryの例：位相空間の圏
Extensive categoryでない例：加群の圏
を零でない環とするとき、 上の左加群のなす圏 は extensive でない。
実際、この圏は零対象と とを含み、仮定より は同型ではない。
