Extensive Category

余積を $A+B=(\{0\}\times A)\cup(\{1\}\times B)$ とし、構造射を $a\mapsto(0,a)$、$b\mapsto(1,b)$ とする。$f\colon E\to A+B$ に対し、$E_A:=f^{-1}(\{0\}\times A)$、$E_B:=f^{-1}(\{1\}\times B)$ とおく。$E_A\to A$ と $E_B\to B$ は、$f$ の値からそれぞれのタグを外して定める。$A+B$ 上の射 $h\colon E\to E'$ は $E_A$ を $E'_A$ へ、$E_B$ を $E'_B$ へ送るので、制限の組 $(h|_{E_A},h|_{E_B})$ を取れる。制限は恒等射と合成を保ち、これで関手 $G_{A,B}$ が定まる。$F_{A,B}G_{A,B}(f)\to f$ は、$(0,e)$ と $(1,e)$ をそれぞれ $e$ へ送る写像である。これは $A+B$ 上の全単射であり、$h(e)$ を計算すれば射 $h$ に関して自然であるとわかる。逆向きには、$p\colon X\to A$、$q\colon Y\to B$ に対して、$x\mapsto(0,x)$ と $y\mapsto(1,y)$ が $(p,q)\to G_{A,B}F_{A,B}(p,q)$ を与える。これらも各基底の上の全単射であり、$(u,v)$ に関して自然である。したがって2つの自然同型が得られ、$F_{A,B}$ は圏同値である。$A$、$B$、$E$ のいずれかが空でも、同じ構成と写像が使える。$\square$

$A+B$ に直和位相を入れ、集合の場合と同じ $E_A,E_B$ に $E$ の部分空間位相を入れる。直和の両成分は開かつ閉集合なので、連続写像 $f\colon E\to A+B$ の逆像 $E_A,E_B$ も $E$ で開かつ閉である。制限してタグを外した $E_A\to A$ と $E_B\to B$ は連続であり、基底の上の連続写像 $h$ の各側への制限も連続である。従って、集合の場合と同じ式で関手 $G_{A,B}$ が得られる。タグを外す写像 $\varepsilon_f\colon E_A+E_B\to E$ は、両成分での包含が連続なので、直和の普遍性によって連続である。さらに、$U_A\subset E_A$ と $U_B\subset E_B$ がそれぞれ開なら、その像 $U_A\cup U_B$ は $E$ で開である（$E_A,E_B$ が $E$ で開だから）。よって $\varepsilon_f$ は開写像でもある全単射なので、同相写像である。$(p,q)\to G_{A,B}F_{A,B}(p,q)$ の成分も、直和の一つの成分へのタグ付き写像なので同相である。自然性は集合の場合と同じ等式であり、全ての構成写像が連続であることから、$\mathbf{Top}$ のスライス圏でも2つの自然同型を得る。空の成分の場合も証明は変わらず、$F_{A,B}$ は圏同値である。$\square$

$0$ を始対象とし、$\mathcal{D}:=\mathcal{C}/0$、$z:=\mathrm{id}_0$ とおく。$z$ はスライス圏の終対象であり、$0$ からの射の一意性により始対象でもある。$0+0\cong0$ で後合成した比較関手を $H\colon\mathcal{D}\times\mathcal{D}\to\mathcal{D}$ とすると、$H$ は圏同値、従って充満忠実（充満忠実関手）である。任意の射 $f\colon X\to0$ を $\mathcal{D}$ の対象 $x$ とみなす。$(x,z)$ から $(z,x)$ への射はただ一つであり、その成分は $f\colon X\to0$ と唯一の射 $!\colon0\to X$ である。余積の単位同型 $X+0\cong X\cong0+X$ で同一視すると、この射の $H$ による像は $!\circ f\colon X\to X$ である。$H$ の充満性から $X$ の恒等射もこの唯一の射の像でなければならず、$!\circ f=\mathrm{id}_X$ となる。一方、始対象の一意性から $f\circ!=\mathrm{id}_0$ なので、$f$ は同型射である。$\square$

二項条件を仮定すると、prop-extensive-category-strict-initial から全ての射 $f\colon X\to0$ が同型となる。唯一の関手 $\mathcal{C}/0\to\mathbf{1}$ を擬逆に取り、各対象 $f\colon X\to0$ から $\mathrm{id}_0$ への射 $f$ を自然同型の成分とする。その自然性は、スライス圏の射 $u\colon(X,f)\to(Y,g)$ に対する等式 $g\circ u=f$ そのものである。一項の比較は恒等関手であり、$m\ge2$ 個の対象については最初の $m-1$ 個と最後の一個に分ける。帰納法の比較関手と最後の二項比較を合成し、余積の構造射を保つ同型で括り方を調整すれば、$m$ 項の比較も圏同値となる。逆に、任意の有限族で比較が圏同値なら、二対象の族に適用して二項条件を得る。$\square$

以下、$0$ が始対象なので $X+0\cong X$、$0+X\cong X$ であり、その同型は $\iota_X$ で与えられることを用いる。
(1 ⇒ 2) $F:=F_{A,B}$ が圏同値、特に充満忠実であるとする。
$\iota_A$ がモノ射であること：$u,v\colon X\to A$ が $\iota_A\circ u=\iota_A\circ v$ を満たすとする。$(\mathcal{C}/A)\times(\mathcal{C}/B)$ の対象 $(u,!_B)$、$(v,!_B)$（$!_B\colon0\to B$）の $F$ による像はともに射 $\iota_A\circ u=\iota_A\circ v\colon X+0\to A+B$（$X+0$ を $X$ と同一視）であり、同じ対象である。充満性により、$\mathcal{C}/(A+B)$ の恒等射 $\mathrm{id}_{X+0}$ は $(u,!_B)\to(v,!_B)$ のある射 $(w,\mathrm{id}_0)$ の像 $w+\mathrm{id}_0$ である。$w+\mathrm{id}_0=\mathrm{id}_{X+0}$ を $\iota_X$ と合成すると $\iota_X\circ w=\iota_X$ となり、$\iota_X\colon X\to X+0$ は同型射だから $w=\mathrm{id}_X$ である。$(w,\mathrm{id}_0)$ がスライス圏の射であることから $v\circ w=u$、よって $u=v$ である。$\iota_B$ についても同様である。
$\iota_A,\iota_B$ の引き戻しが始対象であること：$a\colon X\to A$、$b\colon X\to B$ が $\iota_A\circ a=\iota_B\circ b$ を満たすとする。対象 $(a,!_B)$ と $(!_A,b)$ の $F$ による像はそれぞれ $\iota_A\circ a\colon X+0\to A+B$ と $\iota_B\circ b\colon0+X\to A+B$ であり、同型 $X+0\cong X\cong0+X$ はこの2つの対象の間の $\mathcal{C}/(A+B)$ における同型射である。充満忠実な関手は同型射を反映する（充満忠実関手）ので、$(a,!_B)\cong(!_A,b)$ であり、その第2成分は $\mathcal{C}/B$ における同型 $0\cong X$ を与える。ゆえに $X$ は始対象である。特に、始対象 $0$ と唯一の射 $0\to A$、$0\to B$ が $\iota_A,\iota_B$ の引き戻しになる（任意の錐 $(X,a,b)$ から $0$ への射は、$X$ が始対象なのでただ一つである）。
余積が普遍であること：$f\colon X\to A+B$ を任意の射とする。$F$ は本質的全射なので、$p\colon Y\to A$、$q\colon Z\to B$ と、$\mathcal{C}/(A+B)$ における同型 $\varphi\colon Y+Z\to X$（$f\circ\varphi=[p,q]$）が存在する。$j_Y:=\varphi\circ\iota_Y\colon Y\to X$ とおき、四角形 $f\circ j_Y=\iota_A\circ p$ が引き戻しであることを示す。$t\colon T\to X$、$a\colon T\to A$ が $f\circ t=\iota_A\circ a$ を満たすとする。$\varphi^{-1}\circ t\colon T\to Y+Z$ は $\mathcal{C}/(A+B)$ における $\iota_A\circ a\colon T+0\to A+B$（$T+0$ を $T$ と同一視）から $[p,q]$ への射であり、これらは $F(a,!_B)$ と $F(p,q)$ だから、充満性により、ある射 $(s,!_Z)\colon(a,!_B)\to(p,q)$ の像 $s+!_Z\colon T+0\to Y+Z$ に等しい。$\iota_T$ と合成すると $\varphi^{-1}\circ t=\iota_Y\circ s$、すなわち $t=j_Y\circ s$ であり、$p\circ s=a$ である。$s$ の一意性は $j_Y$ がモノ射（同型射と $\iota_Y$ の合成）であることから従う。よって $X_A=Y$ であり、同様に $X_B=Z$ である。誘導される射 $X_A+X_B=Y+Z\to X$ は $[j_Y,j_Z]=\varphi$ なので同型射である。
(2 ⇒ 1) 余積が非交かつ普遍であるとする。まず始対象 $0$ が strict であることを示す。$w\colon W\to0$ を任意の射とする。$0+0$ は始対象なので $0+0=0$ ととれ、構造射はともに $\mathrm{id}_0$ である。$w$ に沿った引き戻し $W\times_00$ は $W$ 自身（射影 $\mathrm{id}_W$）なので、普遍性により $[\mathrm{id}_W,\mathrm{id}_W]\colon W+W\to W$ は同型射である。$\iota_1,\iota_2\colon W\to W+W$ はともにこの同型射の切断なので $\iota_1=\iota_2$ である。非交性により $\iota_1,\iota_2$ の引き戻しは $0$ であり、$(W,\mathrm{id}_W,\mathrm{id}_W)$ は $\iota_1\circ\mathrm{id}_W=\iota_2\circ\mathrm{id}_W$ を満たす錐なので、$W\to0\to W$ が $\mathrm{id}_W$ に等しい射 $W\to0$ が存在する。$0\to W\to0$ は始対象の性質により $\mathrm{id}_0$ だから $W\cong0$ であり、$W$ は始対象である。始対象の間の射は同型射なので $w$ は同型射である。
次に、$A\times_{A+B}A$（$\iota_A$ の $\iota_A$ に沿った引き戻し）は $A$ 自身であること（$\iota_A$ がモノ射であることから直ちに従う）と、任意の $q\colon Z\to B$ に対し $Z\times_{A+B}A$ が始対象であることに注意する。後者は、引き戻しの貼り合わせ（引き戻し）により $Z\times_{A+B}A\cong Z\times_B(B\times_{A+B}A)=Z\times_B0$ であり、これは $0$ への射をもつので strict 性により始対象である。
擬逆 $G\colon\mathcal{C}/(A+B)\to(\mathcal{C}/A)\times(\mathcal{C}/B)$ を、対象 $f\colon X\to A+B$ に対し引き戻し $(X_A\to A,\ X_B\to B)$ を対応させ、射 $h\colon(X,f)\to(X',f')$ に対し引き戻しの普遍性で誘導される射の組 $(h_A,h_B)$ を対応させて定める。引き戻しの普遍性による一意性から $G$ は関手である。普遍性の仮定そのものが、自然同型 $FG(f)=[X_A\to A,X_B\to B]\cong f$ を与える（各 $f$ で同型 $X_A+X_B\to X$ をとり、その自然性は、引き戻しの射影と $h$ の可換性 $h\circ(X_A\to X)=(X'_A\to X')\circ h_A$ から従う）。逆に $(p\colon Y\to A,q\colon Z\to B)$ に対し、$GF(p,q)$ の第1成分は $(Y+Z)\times_{A+B}A$ である。この引き戻しの対象を $Y'$ とし、普遍性を射 $Y'\to Y+Z$ に適用すると $Y'\cong Y'_Y+Y'_Z$ であり、貼り合わせにより $Y'_Y=Y\times_{A+B}A$、$Y'_Z=Z\times_{A+B}A$ である。前段落により $Y'_Y\cong Y$（$\iota_A\circ p$ に沿った $\iota_A$ の引き戻しは、$\iota_A$ がモノ射なので $Y$ と $p$）、$Y'_Z\cong0$ だから $Y'\cong Y+0\cong Y$ であり、この同型は $A$ 上の射である。第2成分も同様で、これらの同型の自然性は引き戻しの一意性から従う。よって $GF\cong\mathrm{id}$ であり、$F$ は圏同値である。$\square$

$A,B,C$ を対象とし、射影 $\pi\colon A\times(B+C)\to B+C$ を考える。thm-extensive-category-disjoint-universal により、$\iota_B$ の $\pi$ に沿った引き戻し $P_B$ と $\iota_C$ の引き戻し $P_C$ が存在し、$P_B+P_C\to A\times(B+C)$ は同型射である。ここで $P_B=A\times B$、射影は $\mathrm{id}_A\times\iota_B$ にとれる。実際、$t\colon T\to A\times(B+C)$、$b\colon T\to B$ が $\pi\circ t=\iota_B\circ b$ を満たすとすると、$t=(a,\iota_B\circ b)=(\mathrm{id}_A\times\iota_B)\circ(a,b)$（$a$ は $t$ の $A$ 成分）であり、$(a,b)\colon T\to A\times B$ はこの条件を満たす唯一の射である。同様に $P_C=A\times C$ であり、誘導される同型射は $[\mathrm{id}_A\times\iota_B,\mathrm{id}_A\times\iota_C]\colon A\times B+A\times C\to A\times(B+C)$ である。$\square$