Extensive Category

　有限和をもつ圏 $\cat$ の対象 $a$ および $b$ について、余積の構造射 $\morph{\iota_a}{a}{a+b}$ および $\morph{\iota_b}{b}{a+b}$ は、overcategoryの間の函手 $\func{F_a}{\overcat{\cat}{a}}{\overcat{\cat}{a+b}}$ および $\func{F_b}{\overcat{\cat}{b}}{\overcat{\cat}{a+b}}$ が誘導される。本稿では、この二つの函手が誘導する函手$\overcat{\cat}{a}\times\overcat{\cat}{b}\rightarrow\overcat{\cat}{a+b}$ を $F_{a,b}$ と書く。

インフォーマルな説明

　本節ではExtensive Categoryのインフォーマルな説明を与える。そのため内容は曖昧・不正確であるか、もしくは客観性を欠いています。
　圏 $\cat$ として $\SetCat$ や $\TopCat$ などを考える。圏 $\cat$ の射 $\morph{f}{e}{a}$ が与えられているとき、$a$ の底集合の元$x$ に対して $f$ に沿った逆像 $f\invert(x)$ を考えることができ、このようにして $a$ の元に対して $e$ の部分集合を対応させる射が得られる。このようにして $e$ を「$a$ 上のバンドル（構造物）」であると捉えることがある。このように捉えると $\overcat{\cat}{a+b}$ は「$a+b$ 上のバンドルのなす圏」に他ならず、$\cat$ がいま考えている具体的な圏の場合は $F_{a,b}$ を通して「$a$ 上のバンドルと $b$ 上のバンドルの組のなす圏」$\overcat{\cat}{a}\times\overcat{\cat}{b}$ と圏同値であることが確かめられる。この事実は、圏 $\cat$ においては $a+b$ なる対象が $a$ という対象と $b$ という対象とを「並べただけのもの」であることに由来する。
　よって、$\cat$ がextensive categoryであることは、$\cat$ において $a+b$ なる対象が $a$ と $b$ という二つの対象を「並べただけのもの」であることを、バンドルを用いて圏論的に抽象化した概念であるといえる。より正確には、「$a$ 上のバンドルと $b$ 上のバンドルの組」と「$a+b$ 上のバンドル」とが同一視できる、というある意味で集合論的な条件をみたすとき、$\cat$ をextensiveであると呼んでいる。

性質

例示