誤差関数

1：$e^{-t^2}$ は偶関数なので、置換 $t=-s$ により $\int_0^{-x}e^{-t^2}\,dt=-\int_0^xe^{-s^2}\,ds$ である。$\operatorname{erfc}$ の式は $\operatorname{erfc}(-x)=1+\operatorname{erf}x=2-\operatorname{erfc}x$ による。
2：微分積分学の基本定理による。極限は定義の直後に述べたことと 1 による。狭義単調増加なので、$-1< \operatorname{erf}x<1$ であり、連続性と 中間値の定理 により $(-1,1)$ のすべての値をとる。
3：2 の式をもう一度微分すればよい。$x>0$ では $\operatorname{erf}''x<0$ なので $\operatorname{erf}'$ は $[0,\infty)$ で狭義減少し、$0< t\le x$ で $\operatorname{erf}'t< \operatorname{erf}'0=\frac2{\sqrt\pi}$ だから、$\operatorname{erf}x=\int_0^x\operatorname{erf}'t\,dt< \frac{2x}{\sqrt\pi}$ である。
4：被積分関数は $0$ 以上なので、Fubiniの定理 の記事の定理「Tonelliの定理」により積分の順序を交換できて
$$ \int_0^\infty\operatorname{erfc}x\,dx=\frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^\infty\!\!\int_0^\infty\mathbf 1_{\{t>x\}}e^{-t^2}\,dt\,dx=\frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^\infty te^{-t^2}\,dt=\frac{2}{\sqrt\pi}\cdot\frac12=\frac1{\sqrt\pi} $$
である。

置換 $s=\sqrt2\,t$ により
$$ \Phi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-s^2/2}\,ds=\frac{1}{\sqrt\pi}\int_{-\infty}^{x/\sqrt2}e^{-t^2}\,dt=\frac1{\sqrt\pi}\int_{-\infty}^0e^{-t^2}\,dt+\frac1{\sqrt\pi}\int_0^{x/\sqrt2}e^{-t^2}\,dt=\frac12+\frac12\operatorname{erf}\frac{x}{\sqrt2} $$
である（$\int_{-\infty}^0e^{-t^2}\,dt=\sqrt\pi/2$）。2 つ目の等号は $1+\operatorname{erf}y=1-\operatorname{erf}(-y)=\operatorname{erfc}(-y)$ による。$Z:=(X-\mu)/\sigma\sim N(0,1)$（正規分布 の記事の定理「1 次変換で正規分布は保たれる」）について
$$ P(|X-\mu|\le k\sigma)=P(-k\le Z\le k)=\Phi(k)-\Phi(-k)=\frac12\Bigl(\operatorname{erf}\frac{k}{\sqrt2}-\operatorname{erf}\frac{-k}{\sqrt2}\Bigr)=\operatorname{erf}\frac{k}{\sqrt2} $$
である。

比較の補題。 微分積分学の基本定理により $M'(x)=2xM(x)-1$ である。$C^1$ 級の関数 $L$ について $D:=M-L$、$E_L:=2xL-1-L'$ とおくと
$$ \bigl(e^{-x^2}D\bigr)'=e^{-x^2}(D'-2xD)=e^{-x^2}\bigl(2xM-1-L'-2xM+2xL\bigr)=e^{-x^2}E_L $$
である。以下の $L$ は $x\to\infty$ で有界なので、$e^{-x^2}D(x)=\int_x^\infty e^{-t^2}\,dt-e^{-x^2}L(x)\to0$ である。よって
$$ e^{-x^2}D(x)=-\int_x^\infty e^{-t^2}E_L(t)\,dt $$
が成り立つ。したがって、$(x,\infty)$ の上で $E_L<0$ なら $M(x)>L(x)$、$E_L>0$ なら $M(x)< L(x)$ である。
1。 $s:=\sqrt{x^2+2}$ とおくと $(s-x)(s+x)=2$ なので $L(x):=\frac1{x+s}=\frac{s-x}{2}$ であり、$s'=x/s$ より $L'=\frac12\bigl(\frac xs-1\bigr)$ である。よって
$$ 2s\,E_L=2s\Bigl(x(s-x)-1-\frac{x}{2s}+\frac12\Bigr)=2x(x^2+2)-2x^2s-s-x=(2x^3+3x)-s(2x^2+1) $$
である。ここで
$$ s^2(2x^2+1)^2=(x^2+2)(4x^4+4x^2+1)=4x^6+12x^4+9x^2+2>(2x^3+3x)^2 $$
であり、$s(2x^2+1)>0$ だから $s(2x^2+1)>|2x^3+3x|\ge2x^3+3x$ となる。よってすべての実数で $E_L<0$ であり、比較の補題により $M>L$ である。
2。 $s:=\sqrt{x^2+1}$ とおくと $L(x):=\frac1{x+s}=s-x$、$L'=\frac xs-1$ であり、
$$ s\,E_L=s\Bigl(2x(s-x)-1-\frac xs+1\Bigr)=2x(x^2+1)-2x^2s-x=x\bigl(2x^2+1-2xs\bigr) $$
である。$x>0$ なら $(2x^2+1)^2=4x^4+4x^2+1>4x^2(x^2+1)=(2xs)^2$ なので $2x^2+1>2xs$ であり、$E_L>0$ となる。$x\ge0$ について $(x,\infty)$ の上で $E_L>0$ なので、比較の補題により $M(x)< L(x)$ である。
3。 $h(x):=e^{-x^2}-\operatorname{erfc}x$ とおくと $h(0)=0$、$\lim_{x\to\infty}h(x)=0$ であり、
$$ h'(x)=-2xe^{-x^2}+\frac2{\sqrt\pi}e^{-x^2}=2e^{-x^2}\Bigl(\frac1{\sqrt\pi}-x\Bigr) $$
である。$h$ は $[0,1/\sqrt\pi]$ で狭義増加なので、$0< x\le1/\sqrt\pi$ で $h(x)>h(0)=0$ である。$[1/\sqrt\pi,\infty)$ では狭義減少で極限が $0$ なので、$x\ge1/\sqrt\pi$ で $h(x)>0$ である。よって $x>0$ で $h(x)>0$ である。

係数を $a_n:=\frac{(-1)^n}{n!(2n+1)}$ とおくと、$|a_n|\le\frac1{n!}$ なので、どんな $R>0$ についても $\sum_n|a_n|R^{2n+1}\le R\sum_n\frac{R^{2n}}{n!}=Re^{R^2}< \infty$ であり、収束半径は $\infty$ である。この冪級数の和を $F(z)$ とおくと、$F$ は整関数で、項別に微分して（整関数 の記事の命題「整関数と全平面で収束する冪級数」、冪級数 の記事の注意「複素数の冪級数」）
$$ F'(z)=\frac2{\sqrt\pi}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nz^{2n}}{n!}=\frac2{\sqrt\pi}e^{-z^2} $$
を得る。$F(0)=0$ なので、$F$ は定義の節で述べた原始関数であり、実数 $x$ については微分積分学の基本定理により $F(x)=\frac2{\sqrt\pi}\int_0^xe^{-t^2}\,dt=\operatorname{erf}x$ である。原始関数は定数の差を除いて一意で、$F(0)=0$ で定数が決まるので、複素数での $\operatorname{erf}$ も $F$ に等しい。係数が実数で $z$ の奇数乗だけなので、$F(-z)=-F(z)$、$F(\bar z)=\overline{F(z)}$ である。

$G(z):=e^{z^2}\operatorname{erf}z$ は整関数で、$G(0)=0$、
$$ G'(z)=2ze^{z^2}\operatorname{erf}z+e^{z^2}\cdot\frac{2}{\sqrt\pi}e^{-z^2}=2zG(z)+\frac2{\sqrt\pi} $$
を満たす。$G(z)=\sum_{k\ge0}c_kz^k$ と Taylor 展開する（整関数なので全平面で収束する）。両辺の $z^k$ の係数を比べると
$$ c_1=\frac2{\sqrt\pi},\qquad(k+1)c_{k+1}=2c_{k-1}\quad(k\ge1) $$
であり、$c_0=G(0)=0$ である。$c_0=0$ から帰納的に偶数番目の係数はすべて $0$ であり、奇数番目は $c_{2n+1}=\frac{2}{2n+1}c_{2n-1}$ なので
$$ c_{2n+1}=\frac{2}{\sqrt\pi}\cdot\frac{2^n}{3\cdot5\cdots(2n+1)} $$
である。$G=\sum c_{2n+1}z^{2n+1}$ に $e^{-z^2}$ を掛けると求める式になる。

thm-erf-taylor に $z=iy$ を代入すると、$i^{2n+1}=(-1)^ni$ なので
$$ \operatorname{erf}(iy)=\frac{2}{\sqrt\pi}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n(-1)^ni\,y^{2n+1}}{n!(2n+1)}=\frac{2i}{\sqrt\pi}\sum_{n=0}^\infty\frac{y^{2n+1}}{n!(2n+1)}=\frac{2i}{\sqrt\pi}\int_0^ye^{s^2}\,ds $$
である（最後は $e^{s^2}=\sum s^{2n}/n!$ を $[0,y]$ で項別に積分した。冪級数は有界閉区間で一様収束する）。$y\ge1$ なら $0\le s\le y$ で $s/y\le1$ なので $\int_0^ye^{s^2}\,ds\ge\int_0^y\frac sye^{s^2}\,ds=\frac{e^{y^2}-1}{2y}$ である。

2 つ目の等号は、prop-erf-normal と同じく、置換 $y=2\sqrt t\,s$ と $\int_{-\infty}^0e^{-s^2}\,ds=\frac{\sqrt\pi}{2}$ による。$\xi:=\frac{x}{2\sqrt t}$ とおくと、$\operatorname{erf}'=\frac2{\sqrt\pi}e^{-\xi^2}$ と連鎖律により
$$ u_x=\frac1{\sqrt\pi}e^{-\xi^2}\cdot\frac1{2\sqrt t}=\frac{e^{-x^2/(4t)}}{2\sqrt{\pi t}},\qquad u_{xx}=-\frac{x}{2t}\cdot\frac{e^{-x^2/(4t)}}{2\sqrt{\pi t}}=-\frac{x\,e^{-x^2/(4t)}}{4\sqrt\pi\,t^{3/2}} $$
であり、$\partial_t\xi=-\frac{x}{4t^{3/2}}$ なので
$$ u_t=\frac1{\sqrt\pi}e^{-\xi^2}\cdot\Bigl(-\frac{x}{4t^{3/2}}\Bigr)=-\frac{x\,e^{-x^2/(4t)}}{4\sqrt\pi\,t^{3/2}}=u_{xx} $$
である。$t\to+0$ のとき $x>0$ なら $\xi\to+\infty$、$x<0$ なら $\xi\to-\infty$ なので、prop-erf-basic の 2 により極限は $1$ と $0$ である。