半局所環

1. $i\neq j$ なら $\mathfrak{m}_i+\mathfrak{m}_j$ は $\mathfrak{m}_i$ を含むイデアルであり、$\mathfrak{m}_i\neq\mathfrak{m}_j$ なので $\mathfrak{m}_j\not\subset\mathfrak{m}_i$（包含があれば極大性から等号になる）、したがって $\mathfrak{m}_i$ を真に含む。$\mathfrak{m}_i$ は極大なので $\mathfrak{m}_i+\mathfrak{m}_j=A$ であり、$\mathfrak{m}_1,\dots,\mathfrak{m}_r$ は対ごとに互いに素である。互いに素 の記事の定理「剰余環の直積への分解」の 3 により、$\mathfrak{m}_1\cap\cdots\cap\mathfrak{m}_r=\mathfrak{m}_1\cdots\mathfrak{m}_r$ であり、$a\mapsto(a+\mathfrak{m}_i)_i$ は同型 $A/(\mathfrak{m}_1\cap\cdots\cap\mathfrak{m}_r)\cong\prod_iA/\mathfrak{m}_i$ を引き起こす。$J=\mathfrak{m}_1\cap\cdots\cap\mathfrak{m}_r$ であり、各 $A/\mathfrak{m}_i$ は体である（極大イデアル の記事の命題「剰余環が体であることとの同値」）。
2. $A$ のすべての極大イデアルは $J$ を含む。剰余環 の記事の定理「イデアルの対応定理」により、$J$ を含む $A$ のイデアル $I$ と $A/J$ のイデアル $I/J$ は包含を保って一対一に対応するので、$A$ の極大イデアルと $A/J$ の極大イデアルは $\mathfrak{m}\mapsto\mathfrak{m}/J$ で一対一に対応する。一方、体 $K_1,\dots,K_s$ の直積環 $K_1\times\cdots\times K_s$ の極大イデアルは、直積環 の記事の命題「有限個の環の直積の素イデアル」により、第 $i$ 成分が $0$ である元の全体（$i=1,\dots,s$）のちょうど $s$ 個である（体の極大イデアルは $\{0\}$ だけである）。環の同型は極大イデアルを極大イデアルに対応させるので、$A$ の極大イデアルはちょうど $s$ 個であり、有限個である。$A$ は零環でないので半局所環である。

$I\neq A$ なので $A/I$ は零環でない。剰余環 の記事の定理「イデアルの対応定理」により、$A/I$ のイデアルは $I$ を含む $A$ のイデアル $K$ に対する $K/I$ と包含を保って一対一に対応し、$A/I$ 自身は $A$ に対応する。包含を保つ全単射は極大な真のイデアルどうしを対応させるので、$A/I$ の極大イデアルは $I$ を含む $A$ の極大イデアル $\mathfrak{m}$ に対する $\mathfrak{m}/I$ であり、その個数は $A$ の極大イデアルの個数以下で、有限である。

$r$ についての帰納法で示す。$r=1$ なら明らかである。$r\ge2$ とし、$r-1$ 個の素イデアルについては主張が正しいとする。結論を否定して、すべての $i$ で $I\not\subset\mathfrak{p}_i$ と仮定する。各 $i$ について、$\mathfrak{p}_i$ を除いた $r-1$ 個の素イデアルに帰納法の仮定を使うと、$I\not\subset\bigcup_{j\neq i}\mathfrak{p}_j$ である。そこで $x_i\in I$ で、$j\neq i$ となるどの $\mathfrak{p}_j$ にも属さないものをとる。$I\subset\bigcup_j\mathfrak{p}_j$ なので $x_i\in\mathfrak{p}_i$ である。
$$ y:=x_1+x_2x_3\cdots x_r $$
とおくと $y\in I$ である。$j\ge2$ なら $x_j\notin\mathfrak{p}_1$ であり、$\mathfrak{p}_1$ は素イデアルなので $x_2\cdots x_r\notin\mathfrak{p}_1$ である。$x_1\in\mathfrak{p}_1$ なので $y\notin\mathfrak{p}_1$ である。$j\ge2$ なら $x_j\in\mathfrak{p}_j$ から $x_2\cdots x_r\in\mathfrak{p}_j$ であり、$x_1\notin\mathfrak{p}_j$ なので $y\notin\mathfrak{p}_j$ である。よって $y\notin\mathfrak{p}_1\cup\cdots\cup\mathfrak{p}_r$ となり、$I\subset\bigcup_j\mathfrak{p}_j$ に反する。

$1$ はどの $\mathfrak{p}_i$ にも属さないので $1\in S$ である。$s,t\in S$ なら、各 $\mathfrak{p}_i$ は素イデアルなので $st\notin\mathfrak{p}_i$ であり、$st\in S$ である。$0$ はすべての $\mathfrak{p}_i$ に属するので $0\notin S$ であり、$S^{-1}A$ は零環でない（$1/1=0$ なら $u\cdot1=0$ となる $u\in S$ があるが、$0\notin S$ である）。
局所化 の記事の定理「素イデアルの対応」により、$\mathfrak{q}\mapsto S^{-1}\mathfrak{q}$ は、$S$ と交わらない $A$ の素イデアル全体から $S^{-1}A$ の素イデアル全体への、包含を保つ全単射で、逆写像も包含を保つ。素イデアル $\mathfrak{q}$ が $S$ と交わらないことは $\mathfrak{q}\subset\mathfrak{p}_1\cup\cdots\cup\mathfrak{p}_r$ と同値であり、lem-semilocal-ring-prime-avoidance によりこれは「ある $i$ で $\mathfrak{q}\subset\mathfrak{p}_i$」と同値である。
$S^{-1}A$ の極大イデアルは、素イデアルの中で包含について極大なものにほかならない。実際、極大イデアルは素イデアルであり、極大イデアルより真に大きい真のイデアルはない。逆に、素イデアルの中で極大な $\mathfrak{P}$ は、それを含む極大イデアル（極大イデアル の記事の定理「真イデアルを含む極大イデアルの存在」）が素イデアルなので、それに等しい。
したがって $S^{-1}A$ の極大イデアルは、集合 $\Sigma:=\{\mathfrak{q}\in\operatorname{Spec}A\mid\text{ある }i\text{ で }\mathfrak{q}\subset\mathfrak{p}_i\}$ の包含についての極大元 $\mathfrak{q}$ に対する $S^{-1}\mathfrak{q}$ である。各 $\mathfrak{p}_i$ は $\Sigma$ に属し、$\Sigma$ の元はどれかの $\mathfrak{p}_i$ に含まれるので、$\Sigma$ の極大元は $\mathfrak{p}_1,\dots,\mathfrak{p}_r$ のうちで包含について極大なものにちょうど一致する。その個数は $1$ 以上 $r$ 以下なので、$S^{-1}A$ は半局所環である。

$B$ は $A$ 上有限生成な加群なので $A$ 上整拡大であり、整拡大 $A\subset B$ では、$B$ の素イデアル $\mathfrak{n}$ が極大であることと $\mathfrak{n}\cap A$ が $A$ の極大イデアルであることは同値である（AM69 Chapter 5）。$A$ の極大イデアルは $\mathfrak{m}$ だけなので、$B$ の極大イデアル $\mathfrak{n}$ はすべて $\mathfrak{n}\cap A=\mathfrak{m}$ を満たし、したがって $\mathfrak{m}B\subset\mathfrak{n}$ である。$B\neq0$（$1\neq0$ が $A\subset B$ で成り立つ）なので $B$ は極大イデアルをもち、$\mathfrak{m}B\neq B$ である。
剰余環 の記事の定理「イデアルの対応定理」により、$\mathfrak{m}B$ を含む $B$ の極大イデアルと $B/\mathfrak{m}B$ の極大イデアルは $\mathfrak{n}\mapsto\mathfrak{n}/\mathfrak{m}B$ で一対一に対応し、上で見たように $B$ のすべての極大イデアルは $\mathfrak{m}B$ を含む。$B/\mathfrak{m}B$ は体 $k:=A/\mathfrak{m}$ 上の加群とみなせ（$\mathfrak{m}$ は $B/\mathfrak{m}B$ に $0$ として作用する）、$B$ の $A$ 上の生成元の像が $k$ 上これを生成するので、$B/\mathfrak{m}B$ は $k$ 上有限次元の零環でない可換 $k$ 代数である。これは Artin環であり（Artin環 の記事の例「体上有限次元の代数」）、極大イデアルは有限個である（同記事の命題「極大イデアルは有限個」）。よって $B$ の極大イデアルも有限個であり、$B$ は半局所環である。

Artin環が Noether環であることは Artin環 の記事の定理「Noether性と次元による特徴づけ」、極大イデアルが有限個であることは同記事の命題「極大イデアルは有限個」、Jacobson根基が冪零であることは同記事の命題「Jacobson根基は冪零」による。
逆に、$A$ が Noether環かつ半局所環で、$\operatorname{Jac}(A)^k=0$ とする。極大イデアルを $\mathfrak{m}_1,\dots,\mathfrak{m}_r$ とすると、prop-semilocal-ring-characterization の 1 により $\mathfrak{m}_1\cdots\mathfrak{m}_r=\operatorname{Jac}(A)$ なので、
$$ (\mathfrak{m}_1\cdots\mathfrak{m}_r)^k=\operatorname{Jac}(A)^k=0 $$
である。すなわち零イデアルは（重複を許した）有限個の極大イデアルの積である。このような環では、Noether環であることと Artin環であることは同値である（AM69 Chapter 6。零イデアルに至る列 $A\supset\mathfrak{m}_1\supset\mathfrak{m}_1\mathfrak{m}_2\supset\cdots\supset0$ の隣り合う商は剰余体上のベクトル空間で、Noether性から有限次元になり、したがって降鎖条件も満たす）。よって $A$ は Artin環である。