三角形（高校数学）

同義語：triangle (high school mathematics)

概要

前提知識: 直線の方程式と点と直線の距離, 平行線公準（高校数学）, 余弦定理（高校数学）

高校での出発点：3 つの点を結ぶ

平面に 3 つの点をとり、線分で結ぶと、ふつうは三角形ができる。しかし 3 点が 1 本の直線の上に並んでいると、線分は重なってしまい、三角形にならない。どちらになるかは、座標で計算すれば分かる。

三角形になる 3 点と、ならない 3 点

$A(0,0)$、$B(4,0)$、$C(1,3)$。$\overrightarrow{AB}=(4,0)$、$\overrightarrow{AC}=(1,3)$ で、$4\cdot3-1\cdot0=12\ne0$ である。後の prop-trh-collinear により 3 点は一直線上になく、三角形 $ABC$ ができる。3 辺の長さは $AB=4$、$BC=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt2$、$CA=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$ である。
$A(0,0)$、$B(2,1)$、$C(6,3)$。$\overrightarrow{AB}=(2,1)$、$\overrightarrow{AC}=(6,3)$ で、$2\cdot3-6\cdot1=0$ である。実際 $\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AB}$ で、3 点は直線 $y=\dfrac12x$ の上に並ぶ。三角形はできない。

角の大きさで見る 3 つの三角形

$A(0,0)$、$B(4,0)$、$C(1,3)$（ex-trh-start の (1)）の角は約 $71.57^\circ$、$45^\circ$、約 $63.43^\circ$ で、3 つとも $90^\circ$ より小さい。
$A(0,0)$、$B(3,0)$、$C(0,4)$ では、$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$ なので $\angle A=90^\circ$ である。残りの 2 つの角は $\cos B=\dfrac35$、$\cos C=\dfrac45$ で、どちらも $90^\circ$ より小さい。
$A(0,0)$、$B(4,0)$、$C(-1,2)$ では、$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-4<0$ なので $\angle A>90^\circ$（約 $116.57^\circ$）である。ほかの 2 つの角は、$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=(-4)(-5)+0\cdot2=20>0$、$\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=(1)(5)+(-2)(-2)=9>0$ なので $90^\circ$ より小さい。
どの例でも、$90^\circ$ 以上の角は多くて 1 つしかない。これは偶然ではない（thm-trh-acute）。

この記事で答える問いは次の 4 つである。

3 点が三角形をつくるのは、どんなときか。→ prop-trh-collinear
直線が三角形を横切るとき、何本の辺と交わるか。→ thm-trh-pasch
三角形の角は、どう分類できるか。→ thm-trh-acute、def-trh-kinds

三角形についての定理は、どこで扱うか。→ 節「三角形についての定理の地図」
この記事は座標平面から出発し、前提を rem-trh-premises にまとめる。角については、平行線公準を使わない中立幾何の事実だけを認める。

中学・高校の言葉	この記事の言葉	大学の言葉
3 点を結んだ図形	一直線上にない 3 点と 3 本の線分（def-trh-triangle）	2 次元の単体
3 点が一直線上にある	成分の式 $D=0$（prop-trh-collinear）	ベクトルの 1 次従属
直線が三角形を横切る	Pasch の定理（thm-trh-pasch）	Hilbert の公理系の Pasch の公理
鋭角・直角・鈍角三角形	最大の角による分類（def-trh-kinds）	余弦の符号、内積の符号

三角形の定義と記号

この記事の前提

この記事で前提にすること

(P1) 座標平面：点は実数の組 $(x,y)$ で、2 点 $(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$ の距離は $\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$ である。直線は、$(a,b)\ne(0,0)$ のときの方程式 $ax+by+c=0$ を満たす点の全体である（直線の方程式と点と直線の距離の定義「直線の一般形」）。
(P2) 2 点 $P$、$Q$ を結ぶ線分 $PQ$ は、点 $(1-t)P+tQ$（$0\le t\le1$）の全体である。$0< t<1$ の点を、$P$ と $Q$ の 間にある 点という。
(P3) 相異なる 3 点 $O$、$X$、$Y$ について、角 $\angle XOY$ は、$\cos\angle XOY=\dfrac{\overrightarrow{OX}\cdot\overrightarrow{OY}}{\lvert\overrightarrow{OX}\rvert\,\lvert\overrightarrow{OY}\rvert}$ を満たす $0^\circ$ 以上 $180^\circ$ 以下の角である。
(P4) 角についての中立幾何の事実（平行線公準（高校数学）の注意「中立幾何で使う事実」）。座標平面はこれを満たす。

三角形

平面の 3 点 $A$、$B$、$C$ が 1 本の直線の上にないとき、3 本の線分 $AB$、$BC$、$CA$ を合わせた図形を 三角形 $ABC$ といい、$\triangle ABC$ と書く。

3 点 $A$、$B$、$C$ を頂点、3 本の線分を辺という。
$\angle BAC$、$\angle ABC$、$\angle BCA$ を内角といい、それぞれ $A$、$B$、$C$ とも書く。
頂点 $A$ の向かいの辺 $BC$ の長さを $a$、$B$ の向かいの辺 $CA$ の長さを $b$、$C$ の向かいの辺 $AB$ の長さを $c$ と書く。

3 点が一直線上にないので、3 点は相異なり、どの内角も $0^\circ$ と $180^\circ$ の間にある（$0^\circ$ や $180^\circ$ になるのは、3 点が一直線上にあるときだけである）。3 本の辺で囲まれた部分を三角形の内部といい、三角形を内部も含めた図形として扱うこともある。内部を係数の条件で表すことは点の存在範囲と凸結合で扱う。

3 点が一直線上にある条件

3 点 $A$、$B$、$C$ について、$\overrightarrow{AB}=(p,q)$、$\overrightarrow{AC}=(r,s)$ とおき、$D:=ps-qr$ とする。このとき
$$ A,\ B,\ C\ \text{が 1 本の直線の上にある}\iff D=0 $$
である。したがって、三角形 $ABC$ ができるのは $D\ne0$ のときで、そのとき面積は $\dfrac12\lvert D\rvert$ である。

直線 AB の方程式に代入する

方針：$A\ne B$ なら直線 $AB$ の方程式を書き、$C$ を代入した値が $-D$ になることを見る。
段 1（$A=B$ の場合）。$p=q=0$ なので $D=0$ である。一方、$A=B$ と $C$ を通る直線（$A=C$ ならどの直線でもよい）が 3 点を含むので、3 点は一直線上にある。両辺とも成り立つ。
段 2（$A\ne B$ の場合の直線 $AB$）。$A=(x_1,y_1)$ とする。直線
$$ \ell\colon\ q(x-x_1)-p(y-y_1)=0 $$
は、$(q,-p)\ne(0,0)$ なので直線であり、$A$ を通り、$B=(x_1+p,\ y_1+q)$ も通る（$qp-pq=0$）。2 点を通る直線はただ 1 本なので、$\ell$ が直線 $AB$ である。
段 3（$C$ を代入する）。$C=(x_1+r,\ y_1+s)$ を $\ell$ の左辺に入れると $qr-ps=-D$ である。$A\ne B$ のとき、3 点を含む直線は直線 $AB$ しかないので、3 点が一直線上にあることは $C$ が $\ell$ の上にあること、つまり $D=0$ と同値である。
段 4（面積）。$D\ne0$ のとき、三角形 $ABC$ を $A$ が原点にくるように平行移動すると、$B$、$C$ は $(p,q)$、$(r,s)$ に移り、面積は $\dfrac12\lvert ps-rq\rvert=\dfrac12\lvert D\rvert$ である（三角形の面積の公式の命題「座標による面積の公式」）。$\square$

公式を使って判定する

$A(1,2)$、$B(4,3)$、$C(7,4)$：$\overrightarrow{AB}=(3,1)$、$\overrightarrow{AC}=(6,2)$ で $D=3\cdot2-1\cdot6=0$。3 点は直線 $y=\dfrac13x+\dfrac53$ の上にあり、三角形にならない。
$A(1,2)$、$B(4,3)$、$C(7,5)$：$\overrightarrow{AC}=(6,3)$ で $D=3\cdot3-1\cdot6=3\ne0$。三角形ができ、面積は $\dfrac32$ である。$C$ を $(7,4)$ から $1$ だけ上にずらしただけで、三角形になった。

辺による分類

3 辺がすべて等しい三角形を 正三角形、2 辺が等しい三角形を 二等辺三角形 という。日本の中学校では、正三角形も二等辺三角形の特別な場合に数える。Euclid『原論』第 I 巻の定義 20 は、二等辺三角形を「2 辺だけが等しいもの」とし、3 辺がすべて違う 不等辺三角形 と並べて分類している（Hea56 p. 154）。言葉の決め方が違うだけで、どちらの流儀でも数学の中身は変わらない。二等辺三角形の性質は二等辺三角形の底角定理で扱う。

主定理 1：直線は三角形のちょうど 2 辺と交わる

三角形を 1 本の直線で切ると、直線は三角形の中に入り、別の辺から出ていく。このことを正確に述べたのが次の定理である。

Pasch の定理

三角形 $ABC$ と、どの頂点も通らない直線 $\ell$ がある。$\ell$ が辺 $AB$ と交わるならば、$\ell$ は辺 $BC$ と辺 $CA$ のうちちょうど一方と交わる。
したがって、どの頂点も通らない直線が三角形の辺と交わるとき、交わる辺はちょうど 2 本である。

1 次式の符号で数える

方針：$\ell$ の方程式の左辺を $f$ とし、3 つの頂点での $f$ の値の符号を比べる。線分が $\ell$ と交わるかどうかは、両端での $f$ の符号で決まる。
段 1（使う事実）。$\ell\colon ax+by+c=0$ とし、$f(x,y)=ax+by+c$ とおく。$\ell$ の上にない 2 点 $P$、$Q$ について、線分 $PQ$ が $\ell$ と交わることは、$f(P)$ と $f(Q)$ が異符号であることと同値である（直線の方程式と点と直線の距離の命題「直線の両側と 1 次式の符号」の 2）。理由をくり返すと、線分の点 $(1-t)P+tQ$ での値は $(1-t)f(P)+tf(Q)$ で、$t$ の 1 次関数だから、$t=0$ と $t=1$ での値が異符号のときに限って、途中で $0$ になる。
段 2（3 つの符号）。$\ell$ はどの頂点も通らないので、$f(A)$、$f(B)$、$f(C)$ はどれも $0$ でない。$\ell$ が辺 $AB$ と交わるので、段 1 により $f(A)$ と $f(B)$ は異符号である。
段 3（$f(C)$ の符号）。$f(C)$ は正か負なので、$f(A)$ と $f(B)$ のちょうど一方と同符号で、他方と異符号である。

$f(C)$ が $f(A)$ と同符号なら、$f(B)$ とは異符号で、段 1 により $\ell$ は辺 $BC$ と交わり、辺 $CA$ とは交わらない。
$f(C)$ が $f(B)$ と同符号なら、同じく $\ell$ は辺 $CA$ と交わり、辺 $BC$ とは交わらない。
どちらの場合も、$\ell$ は辺 $BC$ と辺 $CA$ のちょうど一方と交わる。
段 4（後半）。$\ell$ がある辺と交わるとき、その辺を $AB$ と呼ぶように頂点の名前を付け替えれば、前半から交わる辺は $AB$ ともう 1 本の、ちょうど 2 本である。$\square$

三角形 A(0,0)、B(4,0)、C(1,3) を、直線 y = 1（左）と直線 x + y = 2（右）で切る。どちらの直線も、ちょうど 2 本の辺と交わる

三角形を 2 本の直線で切る

ex-trh-start の三角形 $A(0,0)$、$B(4,0)$、$C(1,3)$ で確かめる（図 1）。
(1) $\ell\colon y=1$、$f=y-1$ とすると、$f(A)=-1$、$f(B)=-1$、$f(C)=2$ である。$f(A)$ と $f(B)$ は同符号なので辺 $AB$ とは交わらず、$f(C)$ はどちらとも異符号なので辺 $BC$ と辺 $CA$ の両方と交わる。交点は、辺 $CA$ の点 $(t,3t)$ で $t=\dfrac13$ の $\left(\dfrac13,1\right)$、辺 $BC$ の点 $(4-3t,\ 3t)$ で $t=\dfrac13$ の $(3,1)$ である。
(2) $\ell\colon x+y=2$、$f=x+y-2$ とすると、$f(A)=-2$、$f(B)=2$、$f(C)=2$ である。辺 $AB$ とは $(2,0)$ で、辺 $CA$ とは $\left(\dfrac12,\dfrac32\right)$ で交わり、$f(B)$ と $f(C)$ が同符号なので辺 $BC$ とは交わらない。

公理として置く流儀

この記事では座標平面から出発したので、thm-trh-pasch は 1 次式の計算で証明できる定理になった。座標を使わずに平面幾何を公理から組み立てる Hilbertの公理系では、この主張（の「どちらか一方と交わる」の部分）は証明せずに認める公理として置かれ、Pasch の公理とよばれる。直線が平面を 2 つの側に分けることは、その公理系ではこの公理から導かれる。

主定理 2：鋭角は少なくとも 2 つある

ex-trh-start-kinds では、$90^\circ$ 以上の角はどの三角形でも多くて 1 つだった。

三角形の鋭角の個数

どの三角形にも、$90^\circ$ より小さい内角（鋭角）が少なくとも 2 つある。したがって、$90^\circ$ 以上の内角は多くて 1 つである。

2 つの角の和から

方針：「三角形のどの 2 つの内角の和も $180^\circ$ より小さい」ことを使う。これは平行線公準を使わずに示せる（平行線公準（高校数学）の系「三角形の 2 つの角の和」）。
段 1（背理法の仮定）。三角形 $ABC$ に $90^\circ$ 以上の内角が 2 つあったとする。名前を付け替えて $A\ge90^\circ$、$B\ge90^\circ$ としてよい。
段 2（矛盾）。$A+B\ge90^\circ+90^\circ=180^\circ$ となり、2 つの内角の和が $180^\circ$ より小さいことに反する。
段 3（結論）。よって $90^\circ$ 以上の内角は多くて 1 つで、残りの少なくとも 2 つは $90^\circ$ より小さい。$\square$

内角の和が $180^\circ$ であること（三角形の内角の和）を使えば、段 2 はすぐ分かる。上の証明は、それより弱い「2 つの角の和は $180^\circ$ より小さい」だけを使っているので、平行線公準を使わない。
thm-trh-acute により、次の分類では、どの三角形もちょうど 1 つの種類に入る。

鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形

3 つの内角がすべて $90^\circ$ より小さい三角形を 鋭角三角形、内角の 1 つが $90^\circ$ の三角形を 直角三角形、内角の 1 つが $90^\circ$ より大きい三角形を 鈍角三角形 という。直角三角形の直角の向かいの辺を斜辺という。

どの種類かは、最も大きい角で決まる。最も大きい角は最も長い辺の向かいにある（三角形の辺と角の大小の系「最も長い辺と最も大きい角」）。そこで、最も長い辺を $a$ とすると、$b^2+c^2$ と $a^2$ の大小で種類が分かる。$b^2+c^2>a^2$ なら鋭角三角形、$b^2+c^2=a^2$ なら直角三角形、$b^2+c^2< a^2$ なら鈍角三角形である（余弦定理（高校数学）の系「鋭角・直角・鈍角の判定」）。

3 辺の長さで種類を判定する

3 辺	最も長い辺 $a$	$b^2+c^2$	$a^2$	種類
$4,5,6$	$6$	$16+25=41$	$36$	鋭角三角形
$5,12,13$	$13$	$25+144=169$	$169$	直角三角形
$3,5,7$	$7$	$9+25=34$	$49$	鈍角三角形

$3,5,7$ の三角形では、最も大きい角の余弦は $\dfrac{34-49}{2\cdot3\cdot5}=-\dfrac12$ で、角は $120^\circ$ である。$4,5,6$ の三角形では最も大きい角の余弦が $\dfrac{41-36}{2\cdot4\cdot5}=\dfrac18$ で、約 $82.82^\circ$ である。最も長い辺でない辺で比べると、たとえば $3,5,7$ で $a=5$ とすると $9+49=58>25$ となり、鈍角三角形を鋭角と見誤る。

三角形についての定理の地図

三角形については、高校までに多くの定理を学ぶ。それぞれの定理を主題にした記事は次のとおりである。

何についての定理か	主な定理	記事
角の和	内角の和は $180^\circ$、外角の定理	三角形の内角の和
形が決まる条件	合同条件（3 辺、2 辺とその間の角、1 辺とその両端の角）	三角形の合同条件
形が同じになる条件	相似条件	三角形の相似条件
3 辺の長さ	成立条件 $\lvert b-c\rvert< a< b+c$	三角形の成立条件
辺と角の大小	大きい辺の向かいに大きい角がある	三角形の辺と角の大小
二等辺三角形	底角は等しい	二等辺三角形の底角定理
辺と角の計算	正弦定理、余弦定理	正弦定理（高校数学）、余弦定理（高校数学）
面積	2 辺と間の角、Heron の公式、座標の公式	三角形の面積の公式
特別な点	重心・外心・内心・垂心	三角形の重心（高校数学）、三角形の外心、三角形の内心と傍心、三角形の垂心

このうち、内角の和・外心の存在・三平方の定理などは平行線公準を使う。3 辺、2 辺とその間の角、1 辺とその両端の角による合同条件と、辺と角の大小、thm-trh-acute は平行線公準を使わない（平行線公準（高校数学）、三角形の合同条件）。

例と反例：どの条件が効いているか

外す条件	反例	成り立たなくなること
3 点が一直線上にない	ex-trh-cx-collinear	どの 2 辺の和も残りの 1 辺より長い
直線がどの頂点も通らない	ex-trh-cx-vertex	辺 $BC$ と辺 $CA$ のちょうど一方と交わる（thm-trh-pasch）
図形が三角形である（四角形にする）	ex-trh-cx-dart	1 辺と交わる直線は、残りのちょうど 1 辺と交わる
平面の上にある（球面にする）	ex-trh-cx-sphere	鋭角が少なくとも 2 つある（thm-trh-acute）

反例：一直線上に並んだ 3 点

$A(0,0)$、$B(1,0)$、$C(3,0)$ は $x$ 軸の上に並び、prop-trh-collinear の $D$ は $1\cdot0-0\cdot3=0$ である。3 本の線分の長さは $AB=1$、$BC=2$、$CA=3$ で、$AB+BC=CA$ となり、「2 辺の和は残りの 1 辺より長い」が等号になって成り立たない（三角形の成立条件の例「反例：等号を許すとつぶれる」）。3 本の線分は重なり、囲まれる部分がない。

反例：頂点を通る直線

ex-trh-start の三角形 $A(0,0)$、$B(4,0)$、$C(1,3)$ と、$C$ と辺 $AB$ の点 $(2,0)$ を通る直線 $\ell\colon 3x+y=6$ を考える。$\ell$ は辺 $AB$ と $(2,0)$ で交わるが、頂点 $C$ は辺 $BC$ と辺 $CA$ の両方の端なので、$\ell$ は辺 $BC$ とも辺 $CA$ とも $C$ で交わる。「ちょうど一方」が成り立たない。prf-trh-pasch では $f(C)=0$ となり、段 3 の符号の議論が使えない。

反例：四角形を横切る直線

4 点 $A(0,0)$、$B(2,1)$、$C(4,0)$、$D(2,3)$ を順に結ぶ四角形 $ABCD$ を考える（矢じりの形で、$B$ の内側の角が $180^\circ$ より大きい。図 2）。どの 3 点も一直線上になく、向かい合う辺は交わらない。直線 $y=\dfrac12$ はどの頂点も通らず、4 本の辺すべてと交わる。

辺 $AB$ の点 $(2t,\ t)$：$t=\dfrac12$ で $\left(1,\dfrac12\right)$
辺 $BC$ の点 $(2+2t,\ 1-t)$：$t=\dfrac12$ で $\left(3,\dfrac12\right)$
辺 $CD$ の点 $(4-2t,\ 3t)$：$t=\dfrac16$ で $\left(\dfrac{11}3,\dfrac12\right)$
辺 $DA$ の点 $(2-2t,\ 3-3t)$：$t=\dfrac56$ で $\left(\dfrac13,\dfrac12\right)$
辺 $AB$ と交わる直線が、残りの 3 辺のうち 1 本ではなく 3 本と交わっている。prf-trh-pasch は、頂点が 3 つで、$f(C)$ の符号が $f(A)$ と $f(B)$ のちょうど一方に一致することを使った。頂点が 4 つあると、符号の変わる辺の数は $0$、$2$、$4$ のどれにもなりうる。

矢じりの形の四角形 ABCD と直線 y = 1/2。直線は 4 本の辺すべてと交わる

反例：直角が 3 つある球面の三角形

半径 $1$ の球面の 3 点 $X(1,0,0)$、$Y(0,1,0)$、$Z(0,0,1)$ を大円の弧で結んだ三角形は、3 つの角がすべて $90^\circ$ である（三角形の内角の和の例「反例：球面の上の直角が 3 つある三角形」）。鋭角は 1 つもない。球面では 2 つの角の和が $180^\circ$ 以上になりうるので、prf-trh-acute が使えない。

さらに先へ

三角形の内部を、頂点の位置ベクトルの係数の条件 $s>0$、$t>0$、$s+t<1$ で表すことは点の存在範囲と凸結合で扱う。3 つの係数で平面の点を表す方法は重心座標へ続く。
三角形の形と大きさが何で決まるかは三角形の合同条件と三角形の決定と解の個数で扱う。
三角形を空間の 4 点に広げたものが四面体である。6 本の辺の長さから四面体ができる条件は四面体の成立条件で扱う。