充満忠実関手

同義語：忠実関手充満関手充満忠実

概要

前提知識: 圏, 関手, 米田の補題

充満忠実関手とは、関手 $F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ であって、どの対象の組 $X,Y$ についても、$F$ が誘導する $\mathcal C$ の射の集合 $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)$ から $\mathcal D$ の射の集合 $\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(FX,FY)$ への写像が全単射になるものである。おおまかには、射の集合のレベルでは情報を失わずに $\mathcal C$ を $\mathcal D$ の中へ写し込む関手であり、たとえばアーベル群の圏から群の圏への包含関手がそうである。

定義

忠実関手・充満関手・充満忠実関手

関手 $F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ が忠実（faithful）であるとは、任意の対象（圏） $X,Y\in\mathcal C$ に対し、$F$ が誘導する写像
$$ F_{X,Y}\colon\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)\longrightarrow\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(FX,FY),\qquad f\mapsto F(f) $$
が単射であることをいう。$F$ が充満（full）であるとは、この写像 $F_{X,Y}$ がすべての $X,Y$ に対し全射であることをいう。$F$ が充満忠実（fully faithful）であるとは、$F_{X,Y}$ がすべての $X,Y$ に対し全単射であることをいう（すなわち忠実かつ充満であること）。

この定義は Mac98 Chapter I §3（pp. 14–15）、Rie16 Definition 1.5.7（p. 33）による。条件はどれも「対象の組ごとの Hom 集合の写像」についての条件であり、対象の上の写像 $X\mapsto FX$ には何も要求しない。このため充満忠実関手でも、異なる対象を同じ対象へ送ることがあり、$\mathcal D$ の対象の多くが像に現れないこともある（後の反例）。

直感

忠実性は「$F$ が異なる射を同じ射に潰さない」という条件であり、充満性は「$\mathcal D$ 側で $FX$ から $FY$ への射は、$\mathcal C$ 側の射の像としてすべて説明される」という条件である。この二つは独立な条件であり、片方だけを満たして他方を満たさない関手が普通に存在する（後述の反例参照）。両方を満たす充満忠実関手は、$\operatorname{Hom}$ 集合のレベルでは情報を一切失わずに $\mathcal C$ を $\mathcal D$ の中へ写し込む関手であり、$\mathcal C$ を $\mathcal D$ の充満部分圏と圏同値なものとみなすための標準的な道具になる。
米田の補題の帰結として知られる米田埋め込み $\mathcal C\to[\mathcal C^{\mathrm{op}},\mathbf{Set}]$（$X\mapsto\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(-,X)$）が充満忠実であることは、圏論的外延性——対象がそれへ向かう射の全体によって同型を除いて完全に特徴づけられること——の精密な定式化を与える。

例

充満部分圏の包含関手

圏 $\mathcal C$ の充満部分圏（full subcategory）$\mathcal C'$（対象のクラスを制限し、射は制限された対象間のもとの射をすべて残す部分圏（充満部分圏））からの包含関手 $\iota\colon\mathcal C'\to\mathcal C$ は、定義から直ちに充満忠実である：$\operatorname{Hom}_{\mathcal C'}(X,Y)=\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)$ がまさに充満部分圏の定義そのものだからである。たとえばアーベル群の圏 $\mathbf{Ab}$ は群の圏 $\mathbf{Grp}$ の充満部分圏であり、包含 $\mathbf{Ab}\hookrightarrow\mathbf{Grp}$ は充満忠実である。

表現可能前層への埋め込み

局所小圏 $\mathcal C$ に対し、$X\mapsto\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(-,X)$、$f\mapsto f\circ-$ で定まる関手 $\mathcal C\to[\mathcal C^{\mathrm{op}},\mathbf{Set}]$ は充満忠実である。これは米田の補題の系「米田埋め込みの充満忠実性」を反対圏 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ に当てはめたもの（米田埋め込みの定理「米田埋め込みは充満忠実」）であり、米田の補題を表現可能関手 $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(-,Y)$ に当てはめて得られる。

行列と線形写像

体 $k$ に対し、対象を非負整数、$n$ から $m$ への射を $m\times n$ 行列とする圏 $\mathsf{Mat}_k$ を考える。$n\mapsto k^n$、$A\mapsto(v\mapsto Av)$ は有限次元ベクトル空間の圏への関手である。$k^n$ から $k^m$ への線形写像 $L$ は、標準基底の像 $L(e_1),\dots,L(e_n)$ を列に並べた行列 $A$ でちょうど $L=(v\mapsto Av)$ と表され、その $A$ は一つに決まるので、この関手は充満忠実である。$n=0$ または $m=0$ の場合には空の行列が唯一の線形写像に対応する。どの有限次元ベクトル空間もある $k^n$ と同型なので、これは圏同値にもなる（圏同値の例「行列の圏と有限次元ベクトル空間」）。

一対象圏と前順序

モノイドの準同型 $\varphi\colon M\to N$ を一対象圏の間の関手とみなすと、Hom 集合は $M$ と $N$ そのものなので、関手が忠実であることは $\varphi$ が単射であること、充満であることは全射であることと同じである。したがって充満忠実であることは $\varphi$ がモノイドの同型であることと同値である。
前順序集合 $P,Q$ を圏とみなすと、単調写像 $f\colon P\to Q$ は関手であり、平行な射が高々一つなので常に忠実である。充満であることは「$f(x)\leq f(y)$ なら $x\leq y$」という順序の反映と同値である。たとえば離散順序の二点集合 $\{a,b\}$ から二元鎖 $a\leq b$ への恒等写像は単調だが充満でない。

反例

反例：忠実だが充満でない関手

忘却関手 $U\colon\mathbf{Ab}\to\mathbf{Set}$（アーベル群からその台集合への関手）は忠実である——群準同型は台集合の間の写像として一意に決まるから、異なる準同型は異なる写像に写る。しかし充満ではない：たとえば $U(\mathbb Z)=\mathbb Z$（台集合）の間の写像 $n\mapsto n+1$ は集合の写像としては存在するが、これは群準同型 $\mathbb Z\to\mathbb Z$ の像としては実現されない（群準同型は $0\mapsto0$ を満たす必要があるが、この写像は $0\mapsto1$ となり条件を満たさない）。ゆえに $U_{\mathbb Z,\mathbb Z}\colon\operatorname{Hom}_{\mathbf{Ab}}(\mathbb Z,\mathbb Z)\to\operatorname{Hom}_{\mathbf{Set}}(\mathbb Z,\mathbb Z)$ は全射でない。

充満だが忠実でない関手

非自明な群 $G$ を一つの対象 $*$ を持つ圏とみなす（$\operatorname{Hom}(*,*)=G$）。自明圏 $\mathbf 1$（対象一つ、恒等射のみからなる圏）への唯一の関手 $F\colon G\to\mathbf 1$ を考えると、$F_{*,*}\colon\operatorname{Hom}(*,*)=G\to\operatorname{Hom}(*,*)=\{\operatorname{id}\}$ は終域が一点だけなので全射であり、$F$ は充満である。しかし $G$ が非自明なら $F_{*,*}$ は単射ではなく、$F$ は忠実ではない。

反例：対象の上で単射でない充満忠実関手

二つの対象 $0,1$ と、互いに逆な同型 $u\colon0\to1$、$u^{-1}\colon1\to0$、および恒等射だけからなる圏 $\mathbb I$ を考える。各 Hom 集合はちょうど一元からなる。自明圏 $\mathbf 1$ への唯一の関手 $\mathbb I\to\mathbf 1$ は、一元集合から一元集合への写像しか誘導しないので充満忠実であるが、二つの対象を一つに送る。したがって充満忠実関手は対象の上の単射とは限らず、充満部分圏の包含と同じものではない。ただし次の命題により、同型でない対象を同じ対象（さらには同型な対象）へ送ることはない。

反例の表

外す条件	反例	成り立たなくなること
充満性	忘却関手 $\mathbf{Ab}\to\mathbf{Set}$	充満忠実（$FX$ から $FY$ への射がすべて像になること）
忠実性	非自明な群の一対象圏から $\mathbf 1$ への関手	充満忠実（異なる射が異なる射へ移ること）
本質的全射	包含 $\mathbf{Ab}\hookrightarrow\mathbf{Grp}$	充満忠実なら圏同値（$S_3$ はどのアーベル群とも同型でない）
充満性（忠実・本質的全射は保つ）	忘却関手 $\mathbf{Top}\to\mathbf{Set}$	圏同値（どの集合も離散位相の台集合だが、連続でない写像がある）
対象の単射性（充満忠実は保つ）	$\mathbb I\to\mathbf 1$	充満部分圏への同型

性質

充満忠実関手は同型射を反映する

$F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ を充満忠実関手とし、$f\colon X\to Y$ を $\mathcal C$ の射とする。$F(f)$ が $\mathcal D$ において同型射であれば、$f$ 自身が $\mathcal C$ において同型射である。

$F(f)\colon FX\to FY$ が同型射であるとし、その逆射を $g\colon FY\to FX$ とする。$F$ は充満であるから、$F_{Y,X}\colon\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(Y,X)\to\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(FY,FX)$ は全射であり、$F(h)=g$ を満たす射 $h\colon Y\to X$ が存在する。
このとき $F(h\circ f)=F(h)\circ F(f)=g\circ F(f)=\operatorname{id}_{FX}=F(\operatorname{id}_X)$ であるから、$h\circ f$ と $\operatorname{id}_X$ はともに $F_{X,X}$ によって $\operatorname{id}_{FX}$ に写る。$F$ は忠実であるから $F_{X,X}$ は単射であり、ゆえに $h\circ f=\operatorname{id}_X$。同様に $F(f\circ h)=F(f)\circ F(h)=F(f)\circ g=\operatorname{id}_{FY}=F(\operatorname{id}_Y)$ と $F_{Y,Y}$ の単射性より $f\circ h=\operatorname{id}_Y$。ゆえに $h$ は $f$ の逆射であり、$f$ は同型射である。$\square$

充満忠実関手は同型類上単射である

$F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ を充満忠実関手とし、$X,Y\in\mathcal C$ が $FX\cong FY$（$\mathcal D$ における同型）を満たすとする。このとき $X\cong Y$（$\mathcal C$ における同型）である。

$\varphi\colon FX\to FY$ を同型射とする。$F$ は充満であるから、$F_{X,Y}\colon\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)\to\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(FX,FY)$ は全射であり、$F(f)=\varphi$ を満たす射 $f\colon X\to Y$ が存在する。$F(f)=\varphi$ は同型射であるから、prop-fully-faithful-reflects-isomorphisms（充満忠実関手は同型射を反映する）により $f$ 自身が $\mathcal C$ における同型射である。ゆえに $X\cong Y$。$\square$

忠実性だけでは同型の反映は得られない。$\mathbf{Top}$ から $\mathbf{Set}$ への忘却関手は忠実だが、離散位相の $\mathbb R$ から通常の位相の $\mathbb R$ への恒等写像は台集合で全単射なのに同型でない（関手の注意「反例：位相空間の忘却関手は同型を反映しない」）。上の証明で充満性は、逆射 $g$ を $\mathcal C$ の射へ持ち上げる箇所で使われている。

自己射のモノイドと自己同型群

$F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ を充満忠実関手とする。各対象 $X$ について、$F_{X,X}\colon\operatorname{End}_{\mathcal C}(X)\to\operatorname{End}_{\mathcal D}(FX)$ はモノイドの同型であり、自己同型群の同型 $\operatorname{Aut}_{\mathcal C}(X)\cong\operatorname{Aut}_{\mathcal D}(FX)$ を引き起こす。

関手は合成と恒等射を保つので、$F_{X,X}(u\circ v)=F(u)\circ F(v)$、$F_{X,X}(\operatorname{id}_X)=\operatorname{id}_{FX}$ であり、$F_{X,X}$ はモノイドの準同型である。充満忠実性から $F_{X,X}$ は全単射であり、全単射なモノイド準同型の逆写像も積と単位元を保つ（$F_{X,X}(u)=a$、$F_{X,X}(v)=b$ なら $F_{X,X}(u\circ v)=a\circ b$）ので、$F_{X,X}$ はモノイドの同型である。モノイドの同型は可逆元どうしを対応させるので、自己同型群も同型になる。$\square$

たとえば包含 $\mathbf{Ab}\hookrightarrow\mathbf{Grp}$ では、アーベル群 $A$ の自己準同型は群としての自己準同型と同じものである。一方、忠実なだけの忘却関手 $\mathbf{Ab}\to\mathbf{Set}$ では、$\operatorname{End}(\mathbb Z)\cong\mathbb Z$（乗法モノイド）が $\mathbb Z$ から $\mathbb Z$ への写像全体の中の小さな部分モノイドにしかならない。
射の性質については、忠実関手はモノ射とエピ射を反映する（具体圏の命題「忠実関手はモノ射とエピ射を反映する」）。また、充満忠実関手の合成は充満忠実であり、$G$ と $G\circ F$ が充満忠実なら $F$ も充満忠実である。充満忠実関手は極限を反映する。この二つは、充満忠実関手(豊穣圏) の命題「合成と消去」「充満忠実関手は極限を反映する」で基礎圏を $\mathbf{Set}$ とした場合である。

圏同値との関係

圏同値の特徴づけ

選択公理のもとで、小圏の間の関手が圏同値を与えることと、充満忠実かつ本質的全射であることは同値である。

必要条件と十分条件

充満忠実関手に本質的全射性（$\mathcal D$ のすべての対象がある $FX$ と同型になること）を加えると、圏同値が特徴づけられる。圏同値を与える関手が充満忠実かつ本質的全射であることは圏同値の命題「圏同値の必要条件」、逆に選択公理のもとで小圏の間の充満忠実かつ本質的全射な関手が圏同値を与えることは同じ記事の命題「圏同値の十分条件」である（Mac98 Chapter IV §4, Theorem 1、p. 93）。

選択公理のもとで小圏を考えると、本質的全射を仮定しない場合でも、充満忠実関手 $F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ は、$\mathcal D$ のうち何らかの $FX$ と同型な対象全体のなす充満部分圏（本質的像）との圏同値を与える（充満部分圏の命題「充満忠実関手は本質的像との圏同値を与える」）。この意味で、充満忠実関手は「充満部分圏の包含を、圏同値を除いて言い換えたもの」である。反例の表の $\mathbb I\to\mathbf 1$ はその典型で、$\mathbb I$ は一点の充満部分圏と圏同値だが同型ではない。

随伴と充満忠実性

随伴の片側が充満忠実になるのは、単位または余単位が同型のときであり、しかもそのときに限る。これは部分圏への「最良の近似」を与える随伴（反射的部分圏）を扱うときの基本の判定法である。

右随伴が充満忠実であることの判定

関手 $F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ が $G\colon\mathcal D\to\mathcal C$ の左随伴であり、$\eta$、$\varepsilon$ をその単位・余単位とする（随伴関手）。このとき $G$ が充満忠実であることと、余単位のすべての成分 $\varepsilon_Y\colon FGY\to Y$ が同型射であることは同値である。双対に、$F$ が充満忠実であることと、単位のすべての成分 $\eta_X$ が同型射であることは同値である（Rie16 Lemma 4.5.11、p. 161、Mac98 Chapter IV §3, Theorem 1、p. 90）。

随伴の全単射を $\Phi\colon\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(FX,Y)\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,GY)$ とし、随伴関手の命題「随伴から単位・余単位を取り出す」の公式 $\Phi(h)=G(h)\circ\eta_X$ と三角恒等式 $G(\varepsilon_Y)\circ\eta_{GY}=\operatorname{id}_{GY}$ を使う。対象 $Y,Y'$ を固定し、写像
$$ \operatorname{Hom}_{\mathcal D}(Y,Y')\xrightarrow{\ -\circ\varepsilon_Y\ }\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(FGY,Y')\xrightarrow{\ \Phi\ }\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(GY,GY') $$
の合成を計算すると、$g\colon Y\to Y'$ に対し
$$ \Phi(g\circ\varepsilon_Y)=G(g)\circ G(\varepsilon_Y)\circ\eta_{GY}=G(g) $$
となる。したがって $G_{Y,Y'}=\Phi\circ(-\circ\varepsilon_Y)$ であり、$\Phi$ は全単射なので、$G_{Y,Y'}$ が全単射であることと、前合成 $-\circ\varepsilon_Y\colon\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(Y,Y')\to\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(FGY,Y')$ が全単射であることは同値である。
よって $G$ が充満忠実であることは、各 $Y$ について前合成 $-\circ\varepsilon_Y$ がすべての $Y'$ で全単射であることと同値である。残りは、これが $\varepsilon_Y$ が同型射であることと同値だと示せばよい。
$\varepsilon_Y$ が同型なら、前合成 $-\circ\varepsilon_Y$ の逆写像は $-\circ\varepsilon_Y^{-1}$ である。逆に、前合成がすべての $Y'$ で全単射だとする。$Y'=FGY$ での全射性から、$s\circ\varepsilon_Y=\operatorname{id}_{FGY}$ となる $s\colon Y\to FGY$ が取れる。すると
$$ (\varepsilon_Y\circ s)\circ\varepsilon_Y=\varepsilon_Y\circ(s\circ\varepsilon_Y)=\varepsilon_Y=\operatorname{id}_Y\circ\varepsilon_Y $$
であり、$Y'=Y$ での前合成の単射性から $\varepsilon_Y\circ s=\operatorname{id}_Y$ を得る。よって $s$ は $\varepsilon_Y$ の逆射である。単位についての主張は、この議論を反対圏で行えば得られる（$F^{\mathrm{op}}$ は $G^{\mathrm{op}}$ の右随伴で、その余単位は $\eta^{\mathrm{op}}$ である）。$\square$

アーベル化

包含 $G\colon\mathbf{Ab}\hookrightarrow\mathbf{Grp}$ は充満忠実であり、アーベル化 $F(H)=H/[H,H]$ がその左随伴である（群準同型 $H\to A$ でアーベル群 $A$ へ向かうものは交換子部分群 $[H,H]$ を潰し、$H/[H,H]\to A$ と一対一に対応する）。上の命題により、余単位 $\varepsilon_A\colon A/[A,A]\to A$ はアーベル群 $A$ で同型であり、実際 $A$ がアーベル群なら $[A,A]$ は自明である。一方、単位 $\eta_H\colon H\to H/[H,H]$ は $H=S_3$ で同型でなく、$F$ は充満忠実でない。