充満忠実関手
概要
充満忠実関手（fully faithful functor）とは、任意の二対象間のHom集合の間に誘導される写像がすべて全単射になるような関手のことをいう。忠実（faithful、単射）と充満（full、全射）という二つの独立な条件を同時に満たすものであり、もとの圏の対象・射の情報を過不足なく写し取る関手として、充満部分圏や米田埋め込みなど圏論のいたるところに現れる。
定義
関手 $F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ が忠実（faithful）であるとは、任意の対象 $X,Y\in\mathcal C$ に対し、$F$ が誘導する写像
$$
F_{X,Y}\colon\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)\longrightarrow\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(FX,FY),\qquad f\mapsto F(f)
$$
が単射であることをいう。$F$ が充満（full）であるとは、この写像 $F_{X,Y}$ がすべての $X,Y$ に対し全射であることをいう。$F$ が充満忠実（fully faithful）であるとは、$F_{X,Y}$ がすべての $X,Y$ に対し全単射であることをいう（すなわち忠実かつ充満であること）。
直感
忠実性は「$F$ が異なる射を同じ射に潰さない」という条件であり、充満性は「$\mathcal D$ 側で $FX$ から $FY$ への射は、$\mathcal C$ 側の射の像としてすべて説明される」という条件である。この二つは独立な条件であり、片方だけを満たして他方を満たさない関手が普通に存在する（後述の反例参照）。両方を満たす充満忠実関手は、$\operatorname{Hom}$ 集合のレベルでは情報を一切失わずに $\mathcal C$ を $\mathcal D$ の中へ「そっくりそのまま」写し込む関手であり、$\mathcal C$ を $\mathcal D$ の部分圏とみなすための標準的な道具になる。
米田の補題の帰結として知られる米田埋め込み $\mathcal C\to[\mathcal C^{\mathrm{op}},\mathbf{Set}]$（$X\mapsto\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(-,X)$）が充満忠実であることは、圏論的外延性——対象がそれへ向かう射の全体によって同型を除いて完全に特徴づけられること——の精密な定式化を与える。この事実の証明は米田の補題に譲る。
例
圏 $\mathcal C$ の充満部分圏（full subcategory）$\mathcal C'$（対象のクラスを制限し、射は制限された対象間のもとの射をすべて残す部分圏）からの包含関手 $\iota\colon\mathcal C'\to\mathcal C$ は、定義から直ちに充満忠実である：$\operatorname{Hom}_{\mathcal C'}(X,Y)=\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)$ がまさに充満部分圏の定義そのものだからである。実際、「充満」部分圏という名称自体がこの充満性に由来する。
忘却関手 $U\colon\mathbf{Ab}\to\mathbf{Set}$（アーベル群からその台集合への関手）は忠実である——群準同型は台集合の間の写像として一意に決まるから、異なる準同型は異なる写像に写る。しかし充満ではない：たとえば $U(\mathbb Z)=\mathbb Z$（台集合）の間の写像 $n\mapsto n+1$ は集合の写像としては存在するが、これは群準同型 $\mathbb Z\to\mathbb Z$ の像としては実現されない（群準同型は $0\mapsto0$ を満たす必要があるが、この写像は $0\mapsto1$ となり条件を満たさない）。ゆえに $U_{\mathbb Z,\mathbb Z}\colon\operatorname{Hom}_{\mathbf{Ab}}(\mathbb Z,\mathbb Z)\to\operatorname{Hom}_{\mathbf{Set}}(\mathbb Z,\mathbb Z)$ は全射でない。
性質
$F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ を充満忠実関手とし、$f\colon X\to Y$ を $\mathcal C$ の射とする。$F(f)$ が $\mathcal D$ において同型射であれば、$f$ 自身が $\mathcal C$ において同型射である。
$F(f)\colon FX\to FY$ が同型射であるとし、その逆射を $g\colon FY\to FX$ とする。$F$ は充満であるから、$F_{Y,X}\colon\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(Y,X)\to\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(FY,FX)$ は全射であり、$F(h)=g$ を満たす射 $h\colon Y\to X$ が存在する。
このとき $F(h\circ f)=F(h)\circ F(f)=g\circ F(f)=\operatorname{id}_{FX}=F(\operatorname{id}_X)$ であるから、$h\circ f$ と $\operatorname{id}_X$ はともに $F_{X,X}$ によって $\operatorname{id}_{FX}$ に写る。$F$ は忠実であるから $F_{X,X}$ は単射であり、ゆえに $h\circ f=\operatorname{id}_X$。同様に $F(f\circ h)=F(f)\circ F(h)=F(f)\circ g=\operatorname{id}_{FY}=F(\operatorname{id}_Y)$ と $F_{Y,Y}$ の単射性より $f\circ h=\operatorname{id}_Y$。ゆえに $h$ は $f$ の逆射であり、$f$ は同型射である。$\blacksquare$
$F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ を充満忠実関手とし、$X,Y\in\mathcal C$ が $FX\cong FY$（$\mathcal D$ における同型）を満たすとする。このとき $X\cong Y$（$\mathcal C$ における同型）である。
$\varphi\colon FX\to FY$ を同型射とする。$F$ は充満であるから、$F_{X,Y}\colon\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)\to\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(FX,FY)$ は全射であり、$F(f)=\varphi$ を満たす射 $f\colon X\to Y$ が存在する。$F(f)=\varphi$ は同型射であるから、prop-fully-faithful-reflects-isomorphisms（充満忠実関手は同型射を反映する）により $f$ 自身が $\mathcal C$ における同型射である。ゆえに $X\cong Y$。$\blacksquare$
