小林予想
概要
小林予想（Kobayashi conjecture）とは、複素射影空間 $\mathbb{P}^{n+1}$ の一般の超曲面で次数が十分大きいものは小林双曲的である、という小林昭七の予想であり、$\mathbb{P}^n$ から一般の超曲面を除いた空間についての対の形もある。コンパクトな場合には、超曲面に定数でない正則写像 $\mathbb{C}\to X$ がないことと言い換えられる。十分大きい次数の形は Siu の方針と Brotbek の仕事により証明され、下界は $n$ の多項式まで下がった。予想される最適な次数は一般の次元では未解決で、$n=1$ では $d\ge4$ が必要十分であり、次数 $2n-1$ 以下の超曲面は直線を含む。
前提知識: 小林擬距離と小林双曲性, 超曲面, 複素多様体, Grassmann多様体
小林予想（Kobayashi conjecture）とは、複素射影空間 $\mathbb{P}^{n+1}$ の一般の超曲面で次数が十分大きいものは小林双曲的である、という予想である。同じく、$\mathbb{P}^n$ から一般の超曲面で次数が十分大きいものを除いた空間も小林双曲的である、という対の形がある。小林昭七（Shoshichi Kobayashi）が 1970 年の著書で提出した（Dem20 §0、p. 2）。
コンパクトな場合、双曲的であることは定数でない正則写像 $\mathbb{C}\to X$（整曲線）がないことと同値である（小林擬距離と小林双曲性 の定理「Brody の定理」）。したがって予想は「次数の高い一般の超曲面には整曲線が 1 本もない」と言い換えられる。
「十分大きい次数」の形はすでに定理である。これは Siu の方針（2015 年）と Brotbek（2017 年刊行）によって証明された。一方、次数の最適な下界を問う精密な形は未解決である。 次の表にまとめる。この記事の証明は小さい次元と低い次数の場合で、一般の定理はこの記事では証明しない。
| 問い | 答え |
|---|---|
| 超曲面の形は成り立つか | 十分大きい次数で成り立つ（thm-kobc-main） |
| 補集合の形は成り立つか | 十分大きい次数で成り立つ（thm-kobc-log） |
| 次数の下界はどこまで下がるか | 2023 年の時点で $n$ の多項式まで（thm-kobc-main）。予想される最適値は未確定（conj-kobc-optimal） |
| 曲線の場合は | $d\ge4$ で双曲的で、最適（prop-kobc-curves） |
| 低い次数では | $d\le2n-1$ の超曲面は直線を含み、双曲的でない（thm-kobc-lines） |
| 「一般の」は外せるか | 外せない。Fermat 超曲面は直線を含む（ex-kobc-fermat） |
定義と予想の主張
$V_d$ を $x_0,\dots,x_{n+1}$ の $d$ 次斉次多項式の空間とする。$\mathbb{P}^{n+1}$ の $d$ 次の 超曲面 は $\mathbb{P}(V_d)$ の点で表される。ある性質が一般の（general, generic）超曲面について成り立つとは、$\mathbb{P}(V_d)$ の空でない Zariski 開集合の点について成り立つことをいい、非常に一般の（very general）超曲面について成り立つとは、$\mathbb{P}(V_d)$ の真の Zariski 閉集合の可算個の和の外の点について成り立つことをいう。文献では generic がどちらの意味でも使われるので、定理ごとに確かめる必要がある。
複素多様体 $X$ が小林双曲的、あるいは単に双曲的であるとは、小林擬距離 $k_X$ が距離であることをいう。$k_X(p,q)$ は、$p$ と $q$ を結ぶ正則な円板の鎖について Poincaré 距離の長さの和をとった下限である（小林擬距離と小林双曲性 の定義「小林擬距離」）。特異点をもつ超曲面の双曲性は扱わず、$\mathbb{P}(V_d)$ の一般の点が滑らかな超曲面であること（超曲面 の Jacobi の判定法と Fermat 超曲面の例による）だけを使う。
- 各 $n\ge1$ について $d_n$ があって、$d\ge d_n$ なら $\mathbb{P}^{n+1}$ の（非常に）一般の $d$ 次超曲面 $X$ は双曲的である。
- 各 $n\ge1$ について $d_n'$ があって、$d\ge d_n'$ なら $\mathbb{P}^n$ の（非常に）一般の $d$ 次超曲面 $H$ について $\mathbb{P}^n\setminus H$ は双曲的である。
これは Dem20 Conjecture 0.3、p. 2 の形である。2 は対数的小林予想とも呼ばれる（BD19 Conjecture 0.1、p. 1）。BK24 p. 1 は、原論文の「非常に一般」を「一般」に強めた形を掲げている。
低い次数に例外があることは下で見る。最適な下界については次のように予想されている。
- $d_1=4$ で、$n=2,3,4$ では $d_n=2n+1$、$n\ge5$ では $d_n=2n$ とできる。
- すべての $n\ge1$ で $d_n'=2n+1$ とできる。
1 は Dem20 p. 3 が「期待できる」として述べ、BK24 p. 1 が conjectured optimal bound として引く形である。2 は Zaidenberg の提案である（Dem20 pp. 2–3）。BK24（2023 年）の時点で、これらは一般の次元では証明されていない。
知られていること
低い次元の結果は次のとおりである（Bro17 p. 1）。
| 次元 | 超曲面 | 下界 |
|---|---|---|
| $n=2$ | $\mathbb{P}^3$ の（非常に）一般の曲面 | $d\ge36$（McQuillan）、$d\ge21$（Demailly–El Goul）、$d\ge18$（Păun） |
| $n=3$ | $\mathbb{P}^4$ の（非常に）一般の超曲面 | $d\ge593$（Diverio–Trapani） |
$\mathbb{P}^n$ の一般の超曲面 $D$ で十分次数の高いものについて、$\mathbb{P}^n\setminus D$ は双曲的である。
この記事では証明しない（BD19 Abstract・Conjecture 0.1、p. 1。任意の射影多様体の補集合の形で、有効な下界つきで証明されている）。
どの方法も、整曲線がみたすべき微分方程式を作ることに基づく。$k$ 次のジェット微分（$f',\dots,f^{(k)}$ の多項式で書かれる大域的な微分作用素）で豊富な直線束の逆で捩ったものは、すべての整曲線 $f$ の上で消える（Dem20 Theorem 0.9、p. 5）。この方程式を十分たくさん作り、共通零点から整曲線を締め出す。Brotbek は Wronskian からジェット微分を作り、双曲性を導く Zariski 開な条件をみたす例を 1 つ構成した（Bro17 pp. 1–2）。Euclid 位相では双曲性は開条件だが、Zariski 開であるかはわかっていないので（同 p. 2）、例を 1 つ作るだけでは「一般の」超曲面の結論は得られず、この工夫が要る。
曲線の場合
$n=1$ では予想は 一意化定理 から直ちに従い、最適な次数まで完全にわかる。
$X\subset\mathbb{P}^2$ を $d$ 次の滑らかな曲線とする。$X$ が双曲的であることと $d\ge4$ は同値である。とくに conj-kobc-main の 1 は $n=1$ で $d_1=4$ で成り立ち、これより小さくできない。
滑らかな平面曲線は連結なコンパクト Riemann 面で、種数は $g=(d-1)(d-2)/2$ である（種数公式(平面曲線)）。小林擬距離と小林双曲性 の系「Riemann 面の双曲性」により、$X$ が双曲的であることは双曲型であることと同値で、一意化定理 の系「コンパクトな面の型は種数で決まる」により $g\ge2$ と同値である。$g\ge2$ は $d\ge4$ と同値である。$\square$
$H\subset\mathbb{P}^1$ を相異なる $d$ 点の集合とする。$\mathbb{P}^1\setminus H$ が双曲的であることと $d\ge3$ は同値である。とくに $d_1'=3$ で、conj-kobc-optimal の 2 は $n=1$ で正しい。
$d\ge3$ のとき：$H$ の 3 点を除いた $\mathbb{P}^1$ は $\mathbb{C}\setminus\{0,1\}$ と双正則で、双曲型である（一意化定理 の命題「3 点を除いた球面は双曲型」）から双曲的である。$\mathbb{P}^1\setminus H$ はその連結な開集合なので双曲的である（包含写像に擬距離の縮小を使う）。$d\le2$ のとき：$\mathbb{P}^1\setminus H$ は $\mathbb{P}^1$、$\mathbb{C}$、$\mathbb{C}^\times$ のどれかで、小林擬距離は恒等的に $0$ である（小林擬距離と小林双曲性 の命題「小林擬距離が消える場合と双曲的な領域」）。$\square$
低い次数の超曲面
高い次元でも、次数が低いと超曲面は直線を含む。直線 $L\subset X$ は $\mathbb{C}\subset\mathbb{P}^1\cong L$ により整曲線を与えるので、$X$ は双曲的でない。
$n\ge1$、$1\le d\le2n-1$ とする。$\mathbb{P}^{n+1}$ の $d$ 次超曲面はすべて直線を含む。したがって滑らかな $d$ 次超曲面は双曲的でなく、conj-kobc-main の 1 の $d_n$ は $d_n\ge2n$ をみたす。
$G$ を $\mathbb{P}^{n+1}$ の直線の Grassmann 多様体とし、
$$
I:=\{([F],L)\in\mathbb{P}(V_d)\times G\mid F|_L=0\}
$$
とおく。第 2 射影は $G$ の上の射影束なので $I$ は既約な射影多様体で、第 1 射影の像 $Z$ は $\mathbb{P}(V_d)$ の既約な閉部分多様体である。$Z$ が空でない Euclid 開集合を含むことを示せば、$\mathbb{P}(V_d)$ の真の閉部分多様体は内点をもたないので、$Z=\mathbb{P}(V_d)$ となる。
$L_0:=\{x_2=\dots=x_{n+1}=0\}$ とし、$L_0$ の上で消える多項式の空間を $W\subset V_d$ とする。次の写像を考える。
$$
\mu\colon GL_{n+2}(\mathbb{C})\times W\to V_d,\qquad\mu(g,F):=F\circ g.
$$
$F\circ g$ は直線 $g^{-1}L_0$ の上で消えるので、$\mu$ の像の $0$ でない元の類は $Z$ に入る。
$\{0,1,\dots,d-1\}$ の部分集合 $A$ で $A\cup(A+1)=\{0,1,\dots,d\}$、$\lvert A\rvert=\lceil(d+1)/2\rceil$ となるものをとる（$d$ が奇数なら $\{0,\dots,d-1\}$ の偶数の全体、$d$ が偶数ならそれに $d-1$ を足したもの）。$d\le2n-1$ より $\lvert A\rvert\le n$ なので、$A$ の各元 $a$ に添字 $k(a)\in\{2,\dots,n+1\}$ を重複なく割り当て、$G_{k(a)}:=x_0^{d-1-a}x_1^{a}$ とし、残りの $k$ については $G_k:=0$ とする。$F_0:=\sum_{k=2}^{n+1}x_kG_k\in W$ は $0$ でない。
$\mu$ の $(1,F_0)$ での微分は、$(B,H)\in M_{n+2}(\mathbb{C})\times W$ を
$$
\sum_{k=0}^{n+1}\frac{\partial F_0}{\partial x_k}\cdot(Bx)_k+H
$$
に移す。これを $L_0$ に制限する。$L_0$ の上で $\partial F_0/\partial x_0=\partial F_0/\partial x_1=0$、$k\ge2$ で $\partial F_0/\partial x_k=G_k$ だから、$b_{k0}$、$b_{k1}$ を $B$ の成分として
$$
\sum_{k=2}^{n+1}G_k\cdot(b_{k0}x_0+b_{k1}x_1)
$$
を得る。$A\cup(A+1)=\{0,\dots,d\}$ により、これは $x_0,x_1$ の $d$ 次単項式をすべて張る。制限写像 $V_d\to\mathbb{C}[x_0,x_1]_d$ の核は $W$ なので、微分は全射である。よって $\mu$ の像は $F_0$ の Euclid 近傍を含み、$Z$ は空でない Euclid 開集合を含む。$\square$
$n=2$、$d=3$ は 3 次曲面が直線を含むこと、$n=3$、$d=5$ は 5 次超曲面の上の直線の場合である。$d\ge2n$ では $\dim I<\dim\mathbb{P}(V_d)$ なので、一般の超曲面は直線を含まず、この方法では $d_n\ge2n$ より強い下界は出ない。補集合の形では、$\mathbb{P}^n$ の一般の $2n$ 次超曲面の補集合は双曲的でないことを Zaidenberg が示した（Dem20 p. 2。この記事では証明しない）。
例と反例
一般性を外すと、次数が高くても予想の結論は成り立たない。
$n\ge2$、$d\ge1$ とし、$X:=\{x_0^d+x_1^d+\dots+x_{n+1}^d=0\}\subset\mathbb{P}^{n+1}$ とする。偏微分 $dx_i^{d-1}$ が同時に消える点はないので $X$ は滑らかである（満たす性質）。$\zeta^d=-1$ となる $\zeta$ をとると、点 $(s:\zeta s:t:\zeta t:0:\dots:0)$ のなす直線は $X$ に含まれる。実際 $s^d+\zeta^ds^d+t^d+\zeta^dt^d=0$ である。よって $X$ は整曲線をもち、双曲的でない（満たさない性質）。したがって、滑らかで次数が高いことから双曲性は従わず、conj-kobc-main の「一般の」は外せない。
$n\ge2$ で座標が $4$ 個以上あることを使った。$n=1$ では prop-kobc-curves のとおり次数だけで決まる。
$\mathbb{P}^n$ の $2n+1$ 枚の超平面 $\{x_0=0\}$、$\{x_i=0\}$、$\{x_i=x_0\}$（$1\le i\le n$）の和を $H$ とする。$x_0\ne0$ の座標 $z_i:=x_i/x_0$ により
$$
\mathbb{P}^n\setminus H\cong(\mathbb{C}\setminus\{0,1\})^n
$$
である。$\mathbb{C}\setminus\{0,1\}$ は双曲的で、双曲的な多様体の積は双曲的なので（小林擬距離と小林双曲性 の命題「小林擬距離が消える場合と双曲的な領域」の 3）、$\mathbb{P}^n\setminus H$ は双曲的である。$n=2$ は 5 本の直線の補集合で、Dem20 p. 9 が挙げている。
この $H$ は $2n+1$ 次で、conj-kobc-optimal の 2 の次数と一致するが、既約ではなく一般の超曲面でもない。$2n+1$ 枚の超平面が一般の位置にあるときの補集合の双曲性は Fujimoto と Green による（BD19 p. 1。この記事では証明しない）。
超曲面の形の個別の例としては、$r\ge25$、一般の $a,b\in\mathbb{C}$ について
$$
x_0^{2r}+x_1^{2r}+x_2^{2r}+x_3^{2r}+ax_0^rx_1^r+bx_0^rx_2^r=0
$$
で定まる $\mathbb{P}^3$ の曲面が双曲的である（Brody–Green。Bro17 p. 1。この記事では証明しない）。
補集合の形と超曲面の形の関係
$H=\{P=0\}\subset\mathbb{P}^n$（$n\ge1$）を $d\ge2$ 次の滑らかな超曲面とし、$X:=\{w^d=P(z)\}\subset\mathbb{P}^{n+1}$ とする。$X$ は滑らかで、$X$ が双曲的なら $\mathbb{P}^n\setminus H$ も双曲的である。
$F:=w^d-P$ の偏微分が同時に消える点では $w=0$ かつ $P$ の偏微分がすべて $0$ で、Euler の恒等式から $P=0$ である。$H$ は滑らかなので、そのような点はなく、$X$ は滑らかである。正の次元の滑らかな超曲面として $X$ は連結である。$(0:\dots:0:1)\notin X$ なので射影 $\pi\colon X\to\mathbb{P}^n$ が定まる。
$U:=X\setminus\{w=0\}$ とする。$X$ は連結な複素多様体で $\{w=0\}$ は真の解析的部分集合だから、$U$ は連結である。$B:=\mathbb{P}^n\setminus H$ の点の上の $\pi$ のファイバーは $w^d=P(z)$ の $d$ 個の解で、$P$ の局所的な $d$ 乗根の枝により $\pi|_U\colon U\to B$ は $d$ 重の正則な被覆写像である。$U$ は $X$ の連結な開集合なので双曲的である。
$p\ne q$ を $B$ の点、$\tilde p\in\pi^{-1}(p)$ とする。小林擬距離と小林双曲性 の定理「被覆写像と小林擬距離」により
$$
k_B(p,q)=\min_{\tilde q\in\pi^{-1}(q)}k_U(\tilde p,\tilde q)
$$
である。ファイバーは有限で、$\tilde q\ne\tilde p$ なので各値は正である。よって $k_B(p,q)>0$ である。$\square$
ただし $w^d=P(z)$ の形の超曲面は一般の $d$ 次超曲面ではないので、conj-kobc-main の 1 から 2 が直ちに従うわけではない。Dem20 p. 3 はこの帰着を、補集合の場合が先験的にやや易しい理由として挙げている。
Green–Griffiths–Lang 予想との関係
一般型の射影多様体 $X$ について、整曲線はすべて真の部分多様体に含まれる（その部分多様体は $X$ だけで決まる）、というのが Green–Griffiths–Lang 予想である。部分多様体が整曲線ごとに異なってよい弱い形もある（Dem20 Conjecture 0.2、p. 2）。
一方、Clemens・Ein・Voisin により、$n\ge2$ のとき $\mathbb{P}^{n+1}$ の（非常に）一般の超曲面で $d\ge2n+1$ のものについて、その正の次元の既約な部分多様体はすべて一般型である（Dem20 p. 3、Bro17 p. 1。Pacienza により $n\ge5$ で $d\ge2n$ に改良されている。この記事では証明しない）。一般型とは小平次元が次元に等しいことで（小平次元）、特異点をもつ射影多様体では特異点解消についてこれを考える。conj-kobc-optimal の 1 の根拠はこの結果である。
$X$ を連結な射影多様体で、そのすべての正の次元の既約な部分多様体（$X$ を含む）が一般型であるものとする。Green–Griffiths–Lang 予想の弱い形が正しいなら、$X$ は整曲線をもたない。$X$ が滑らかなら、$X$ は双曲的である。
$f\colon\mathbb{C}\to X$ を定数でない正則写像とし、$Y$ を $f(\mathbb{C})$ の Zariski 閉包とする。$Y=Y_1\cup Y_2$ と閉集合に分かれると、$\mathbb{C}=f^{-1}(Y_1)\cup f^{-1}(Y_2)$ で、片方は内点をもち一致の定理により全体になる。よって $Y$ は既約で、$f$ が定数でないので正の次元をもつ。$Y$ は一般型なので、弱い形により $f(\mathbb{C})$ は $Y$ の真の部分多様体に含まれる。これは $Y$ の取り方に反する。後半は Brody の定理による。$\square$
したがって Green–Griffiths–Lang 予想が正しければ、$n\ge2$、$d\ge2n+1$ の（非常に）一般の超曲面は双曲的である。これは予想からの導出であり、最適な次数の証明ではない。Riedl–Yang の結果は一般の超曲面の範囲で同じ向きの移行を行うもので、Green–Griffiths–Lang 予想が各次元 $m$ の一般の超曲面について次数 $d_m$ 以上で成り立てば、$n$ 次元の超曲面の小林予想が次数 $d_{2n-1}$ 以上で成り立つ（BK24 p. 2）。
コンパクトな双曲的多様体は、有理曲線、楕円曲線、アーベル多様体からの定数でない写像をもたず、さらに曲線の種数が次数で下から抑えられる（代数的双曲性。Dem20 Theorem 3.1、p. 16）。有理曲線と楕円曲線がないことは、$\mathbb{P}^1$ や楕円曲線 $E$ からの定数でない写像を $\mathbb{C}\subset\mathbb{P}^1$ や普遍被覆 $\mathbb{C}\to E$ と合成すると整曲線になることからわかる。
関連項目
- 前提: 小林擬距離と小林双曲性, 超曲面, 一意化定理
- 道具: Nevanlinna理論, 小平次元
- 比較: Bombieri–Lang予想, Vojta予想, Picardの小定理
参考文献
Mathpediaは寄付と、参考文献の書籍リンク（Amazonアソシエイト）の紹介料で運営されています。 支援について ／ 寄付する
