構成可能層

$S'\in\mathcal S'$ をとり、$S'\subset S\in\mathcal S$ とする。包含 $S'\to S\to X$ の合成について逆像は合成と両立するので、$F|_{S'}=(F|_S)|_{S'}$ である。$F|_S$ は局所定数なので、$x\in S'$ に対して $S$ の開近傍 $V$ と加群 $M$ があり $F|_V\cong M_V$ となる。$V\cap S'$ は $x$ の $S'$ での開近傍で、定数層の制限は定数層なので $(F|_{S'})|_{V\cap S'}\cong M_{V\cap S'}$ である。よって $F|_{S'}$ は局所定数である。茎は変わらないので、有限生成性もそのまま保たれる。$\square$

制限 $i^{-1}$ は完全関手なので（茎で見ればよい）、$(\operatorname{Ker}\varphi)|_S=\operatorname{Ker}(\varphi|_S)$、$(\operatorname{Coker}\varphi)|_S=\operatorname{Coker}(\varphi|_S)$ である。よって、局所連結な空間 $S$ の上の局所定数層の射 $\psi\colon F'\to G'$ の核と余核が局所定数であることを示せばよい。
$x\in S$ をとる。$F'$ と $G'$ がそれぞれ定数になる開近傍の共通部分の中に、$x$ の連結な開近傍 $V$ をとる（$S$ が局所連結なのでとれる）。$F'|_V\cong M_V$、$G'|_V\cong N_V$ とする。$M_V$ は 1 点への写像 $a\colon V\to\{*\}$ による $M$ の逆像なので、随伴 $a^{-1}\dashv a_*$ により
$$ \operatorname{Hom}(M_V,N_V)\cong\operatorname{Hom}_A(M,\Gamma(V,N_V))=\operatorname{Hom}_A(M,N) $$
である（$V$ が連結なので $\Gamma(V,N_V)=N$）。したがって $\psi|_V$ は $A$ 線形写像 $f\colon M\to N$ から $a^{-1}$ で得られる。$a^{-1}$ は完全なので、$\operatorname{Ker}(\psi|_V)\cong(\operatorname{Ker}f)_V$、$\operatorname{Coker}(\psi|_V)\cong(\operatorname{Coker}f)_V$ であり、どちらも $V$ の上で定数である。
有限生成性について：茎は $\operatorname{Ker}(\varphi_x)\subset F_x$ と $\operatorname{Coker}(\varphi_x)$ であり、Noether 環の上の有限生成加群の部分加群と商加群は有限生成である。層の圏は Abel 圏であり（層の定理「アーベル群の層の圏はアーベル圏である」）、その充満部分圏が核と余核（と零対象・有限直和、これらは明らか）で閉じているので Abel 圏をなす。$\square$

全射：$\sigma\in F_0$ は、ある $0< \delta\le\varepsilon$ と $t\in\Gamma((-\delta,\delta),F)$ の芽である。制限 $\Gamma((0,\varepsilon),F)\to\Gamma((0,\delta),F)$ は（どちらも $V_+$ と同型なので）同型だから、$u_+\in\Gamma((0,\varepsilon),F)$ で $u_+|_{(0,\delta)}=t|_{(0,\delta)}$ となるものがある。同様に $u_-\in\Gamma((-\varepsilon,0),F)$ をとる。$(-\varepsilon,\varepsilon)$ の開被覆 $(-\delta,\delta)$、$(0,\varepsilon)$、$(-\varepsilon,0)$ の上の切断 $t,u_+,u_-$ は、共通部分 $(0,\delta)$・$(-\delta,0)$ の上で一致し（$(0,\varepsilon)\cap(-\varepsilon,0)=\emptyset$）、層の条件により $s\in\Gamma((-\varepsilon,\varepsilon),F)$ に貼り合う。$s$ の芽は $t$ の芽 $\sigma$ である。
単射：$s\in\Gamma((-\varepsilon,\varepsilon),F)$ の芽が $0$ なら、ある $\delta$ で $s|_{(-\delta,\delta)}=0$ である。$s|_{(0,\varepsilon)}$ は $(0,\delta)$ への制限が $0$ で、制限 $\Gamma((0,\varepsilon),F)\to\Gamma((0,\delta),F)$ は単射なので $s|_{(0,\varepsilon)}=0$ である。同様に $s|_{(-\varepsilon,0)}=0$ であり、3 つの開集合の上で $0$ なので $s=0$ である。$\square$

逆向きの構成。図式 $V=(V_-\xleftarrow{r_-}V_0\xrightarrow{r_+}V_+)$ に対し、開集合 $U\subset\mathbb R$ の上の関数 $s$ で、$x< 0$ なら $s(x)\in V_-$、$s(0)\in V_0$（$0\in U$ のとき）、$x>0$ なら $s(x)\in V_+$ となるもののうち、次の 2 条件を満たすものの全体を $\mathcal M(V)(U)$ とする。

1. $s$ は $U\cap\mathbb R_-$ と $U\cap\mathbb R_+$ の上で局所定数である。
2. $0\in U$ なら、ある $\delta>0$ について、$0< x< \delta$ で $s(x)=r_+(s(0))$、$-\delta< x< 0$ で $s(x)=r_-(s(0))$ である。
   どちらの条件も各点の近くだけで決まるので、制限を関数の制限として $\mathcal M(V)$ は層である。$\mathcal M(V)|_{\mathbb R_+}$ は定数層 $(V_+)_{\mathbb R_+}$ であり、$\mathcal M(V)$ は $\mathcal S_0$ に関して弱構成可能である。

$\Phi(\mathcal M(V))\cong V$。$\Gamma(\mathbb R_\pm,\mathcal M(V))$ は連結な $\mathbb R_\pm$ の上の局所定数関数なので $V_\pm$ である。条件 2 により、原点の近くの切断は $s(0)$ で決まる。逆に $v\in V_0$ に対し、$s(0)=v$、$\mathbb R_\pm$ の上で $s\equiv r_\pm(v)$ とおけば $\mathbb R$ 上の切断になる。よって原点での茎は $V_0$ であり、$\Phi$ の定義の $r_\pm$ は与えられた $r_\pm$ に一致する。図式の射 $\psi$ は、関数の値に $\psi_-,\psi_0,\psi_+$ を施すことで層の射 $\mathcal M(\psi)$ を与える。
$F\cong\mathcal M(\Phi(F))$。$F$ の各茎を図式の加群と同一視する。$x>0$ では制限 $V_+=\Gamma(\mathbb R_+,F)\to F_x$ が同型なので $F_x\cong V_+$、原点では $F_0=V_0$、$x< 0$ では $F_x\cong V_-$ である。$U$ の上の切断 $s$ に、各点での芽を並べた関数 $\theta(s)\colon x\mapsto s_x$ を対応させる。$\theta(s)$ は条件 1 を満たす：$x\in U\cap\mathbb R_+$ を含む開区間 $J\subset U\cap\mathbb R_+$ をとると、$s|_J$ は $V_+\cong\Gamma(J,F)$ のただ 1 つの元に対応し、$J$ の各点の芽はどれもその元である。条件 2 も満たす：$(-\delta,\delta)\subset U$ となる $\delta$ をとると、$r_+$ の定義により $s|_{(0,\delta)}$ は $r_+(s_0)$ に対応する。よって $\theta\colon F\to\mathcal M(\Phi(F))$ は層の射であり、各点の茎で同型（どちらの茎も同じ加群で、$\theta$ は恒等写像）なので、層の同型である（層の命題「層の射の茎による判定」）。$\theta$ は $F$ について自然である。
圏同値。以上から $\Phi$ は本質的全射である。層の射 $\varphi$ は茎の写像で決まり、茎は図式の加群と同一視されるので、$\Phi$ は忠実である。図式の射 $\psi\colon\Phi(F)\to\Phi(G)$ があれば、$\theta_G^{-1}\circ\mathcal M(\psi)\circ\theta_F\colon F\to G$ の像が $\psi$ なので、$\Phi$ は充満である。有限生成性の主張は、茎が $V_-,V_0,V_+$ のどれかであることから従う。$\square$

1. $Z$ は閉集合なので $F|_Z=i^{-1}i_*A_Z=A_Z$ は定数層であり、$F|_{\mathbb R\setminus Z}=0$ である。
2. 各層が劣解析的な層別 $\mathcal S$ に関して $F$ が弱構成可能だと仮定する。局所有限性により、ある $\delta>0$ で $(-\delta,\delta)$ と交わる層は有限個である。$\mathbb R$ の劣解析的集合の連結成分の族は局所有限なので（劣解析的集合の例「整数全体」で使う性質）、$\delta$ を小さくとり直すと、$(-\delta,\delta)$ と交わる層の連結成分も有限個 $C_1,\dots,C_m$ である。各 $C_k$ は $\mathbb R$ の連結集合なので区間か 1 点である。$C_k$ の端点と 1 点の成分のうち $(0,\delta)$ に入るものは有限個なので、それらすべてより小さい $\varepsilon\in(0,\delta)$ をとる。すると各 $C_k$ について $C_k\cap(0,\varepsilon)$ は空集合か $(0,\varepsilon)$ 全体であり、$C_k$ は $(0,\varepsilon)$ を覆って互いに交わらないので、$(0,\varepsilon)\subset C$ となる成分 $C$ がただ 1 つある。$C$ を含む層を $S$ とすると $F|_S$ は局所定数で、$(0,\varepsilon)$ は $S$ の開集合なので $F|_{(0,\varepsilon)}$ も局所定数、開区間の上なので定数層である。よって $(0,\varepsilon)$ の茎はすべて同型である。しかし $1/n\in(0,\varepsilon)$ での茎は $A\neq0$、$(0,\varepsilon)\setminus Z$ の点での茎は $0$ であり、矛盾する。o-極小構造の場合は、$\mathbb R$ の定義可能集合が有限個の点と区間の和であることから、同じ議論が成り立つ。$\square$