入射包

要点：1 と 2 は部分加群の交わりを順にたどるだけで、3 は恒等写像を入射性で延長した引き込みから従う。

存在． 加群の圏は十分な入射対象をもつので（入射対象 の記事の定理「加群の圏は十分な入射対象をもつ」）、$M$ を入射加群 $I$ の部分加群とみなせる。$I$ の部分加群 $H$ で $M\subset H$ が本質的なもの全体を包含で順序づける。$M$ 自身が属するので空でなく、lem-ihull-essential-basic の 2 により鎖の和集合も属する。Zorn の補題により極大元 $H$ がある。$H$ が入射的であることを示す。
$H\cap K=0$ となる $I$ の部分加群 $K$ のうち極大なものを Zorn の補題で取る（$K=0$ が属し、鎖の和集合も条件を保つ）。商写像 $\pi\colon I\to I/K$ は $H$ 上で単射である。$\pi(H)\subset I/K$ は本質的である：$L/K$（$K\subsetneq L\subset I$）が $\pi(H)=(H+K)/K$ と $0$ で交わるとすると $L\cap(H+K)=K$ なので $L\cap H\subset K\cap H=0$ となり、$K$ の極大性に反する。
$H\to I$ の包含を $I$ の入射性で $I/K\supset\pi(H)$ から延長し、$\varphi\colon I/K\to I$、$\varphi(\pi(h))=h$ を得る。$\ker\varphi\cap\pi(H)=0$ なので本質性から $\ker\varphi=0$ である。よって $\varphi$ は $I/K$ と $\varphi(I/K)$ の同型で、$\pi(H)\subset I/K$ が本質的だから $H\subset\varphi(I/K)$ も本質的である。lem-ihull-essential-basic の 1 により $M\subset\varphi(I/K)$ は本質的で、$H$ の極大性から $\varphi(I/K)=H$ となる。すると $\varphi\circ\pi\colon I\to H$ は $H$ 上で恒等であり、$I=H\oplus\ker(\varphi\circ\pi)$ と分かれる。入射加群の直和因子は入射的なので（射影で写像を延長すればよい）、$H$ は入射的であり、$M\subset H$ は入射包である。
一意性． 包含 $M\to E'$ を $E'$ の入射性で $f\colon E\to E'$ に延長する。$\ker f\cap M=0$ なので本質性から $\ker f=0$ である。$f(E)\cong E$ は入射的なので lem-ihull-essential-basic の 3 により $E'=f(E)\oplus C$ と分かれる。$M=f(M)\subset f(E)$ なので $C\cap M=0$ であり、$M\subset E'$ の本質性から $C=0$ である。よって $f$ は $M$ 上で恒等な同型である。
最大性． $M\subset L$ が本質的なら、包含 $M\to E$ を $L\to E$ に延長すると、核は $M$ と交わらないので零である。$E\subset L'$ で $M\subset L'$ が本質的なら、lem-ihull-essential-basic の 1 により $E\subset L'$ も本質的であり、同じ補題の 3 により $L'=E$ である。
最小性． $M\subset J$ で $J$ が入射的なら、包含 $M\to J$ を $g\colon E\to J$ に延長する。一意性の証明と同じく $g$ は単射で、$g(E)$ は $M$ を含む入射部分加群、$M\subset g(E)$ は本質的なので入射包である。lem-ihull-essential-basic の 3 により $g(E)$ は $J$ の直和因子である。$\square$

要点：1 は非零成分の個数についての帰納法、3 は Noether 環のイデアルが有限生成なので写像の像が有限個の成分に収まることによる。

1：$N_1,N_2\subset E$ が零でなければ、本質性から $N_i\cap(A/P)$ は整域 $A/P$ の零でないイデアル $J_i$ である。$J_1J_2\neq0$ は $J_1\cap J_2\subset N_1\cap N_2$ に含まれる。$E\neq0$（$A/P\neq0$）なので $E$ は直既約である。
2：$x\notin P$ なら $x$ 倍の核は $A/P$ と $0$ で交わる（$A/P$ は整域で $x$ の像は零でない）ので、本質性から核は零である。像は $E$ と同型なので入射的で、lem-ihull-essential-basic の 3 により $E$ の直和因子である。像は零でないので、1 により像は $E$ 全体である。$x\in P$ なら $x\cdot(1+P)=0$ なので $x$ 倍は単射でない。
3：$N$ を直既約な入射加群とする。$N\neq0$ で $A$ は Noether なので $\operatorname{Ass}N\neq\emptyset$ であり（随伴素イデアル の記事の定理「随伴素の存在」）、$P\in\operatorname{Ass}N$ について $A/P\cong A\xi\subset N$ となる。thm-ihull-existence の 3 により $N$ は $A\xi$ の入射包を直和因子として含み、$N$ は直既約なので $N\cong E(A\xi)\cong E(A/P)$ である。$E(A/P)\cong E(A/P')$ で $P\neq P'$ なら、たとえば $x\in P\setminus P'$ を取ると（逆の包含なら役割を替える）、2 により $x$ 倍は $E(A/P')$ では単射、$E(A/P)$ では単射でなく、矛盾する。
4：$Q\in\operatorname{Ass}E$ なら $A/Q\cong A\xi\subset E$ で、3 の証明と同じく $E\cong E(A/Q)$ となるので、3 の一意性から $Q=P$ である。$0\neq\xi\in E$ とすると、$A\xi\cong A/\operatorname{ann}\xi$ の随伴素は $\operatorname{Ass}E=\{P\}$ に含まれ、空でない。$A\xi$ の支持 $V(\operatorname{ann}\xi)$ の極小元は随伴素なので（随伴素イデアル の記事の命題「支持と随伴素の極小元」）、$\operatorname{ann}\xi$ を含む極小な素イデアルは $P$ だけであり、$\sqrt{\operatorname{ann}\xi}=P$ である。$P$ は有限生成なので、生成元 $p_1,\dots,p_s$ の冪 $p_i^{e}$ がすべて $\operatorname{ann}\xi$ に入る $e$ を取れば、$v=s(e-1)+1$ について $P^v\subset\operatorname{ann}\xi$ となる。$\xi=0$ なら $v=1$ でよい。
5：$A\setminus P\subset A\setminus Q$ なので、2 により $s\in A\setminus P$ は $E(A/Q)$ に可逆に作用し、$(a/s)\xi:=s^{-1}(a\xi)$ で $E(A/Q)$ は $A_P$ 加群になる。$A_P$ 加群のあいだの $A$ 線形写像 $f$ は自動的に $A_P$ 線形である（$sf(s^{-1}u)=f(u)$ による）。したがって $A_P$ 加群 $N\subset L$ と $A_P$ 線形写像 $N\to E(A/Q)$ は、$A$ 線形写像として $L$ に延長でき、それは $A_P$ 線形である。よって $E(A/Q)$ は $A_P$ 上入射的である。包含 $A/Q\to E(A/Q)$ は $A_P/QA_P=(A/Q)_P\to E(A/Q)$、$\bar a/s\mapsto s^{-1}\bar a$ に延び、これは単射である（$s^{-1}\bar a=0$ なら $\bar a=0$）。$E(A/Q)$ の零でない $A_P$ 部分加群は $A$ 部分加群として $A/Q$ と零でなく交わるので、$(A/Q)_P\subset E(A/Q)$ は本質的である。
6：$x\in Q\setminus P$ を取る。4 により $E(A/Q)$ の各元 $\xi$ はある $Q^v$、したがって $x^v$ で消える。$x^v$ は $A_P$ で単元なので $\xi/1=0$ である。$\square$

分解の存在． $I$ の部分加群の族で、各成員がある $E(A/P)$ と同型な入射部分加群であり、成員たちの和が直和になっているもの（有限個ずつ見て直和であるもの）全体を包含で順序づける。空族が属し、鎖の和集合も条件を保つ（直和であることは有限個の成員で判定され、有限個の成員は鎖のある 1 つの族に入る）ので、Zorn の補題により極大な族 $\mathcal F$ がある。その和 $N=\bigoplus_{F\in\mathcal F}F$ は prop-ihull-direct-sum の 3 により入射的なので、lem-ihull-essential-basic の 3 により $I=N\oplus N'$ と分かれる。$N'\neq0$ とすると、$N'$ は入射的で、$P\in\operatorname{Ass}N'$ について $A/P\subset N'$ となり、thm-ihull-existence の 3 により $N'$ は $E(A/P)$ と同型な部分加群 $F'$ を含む。$\mathcal F\cup\{F'\}$ は条件を満たす族で、$\mathcal F$ の極大性に反する。よって $N'=0$、$I=N$ である。
重複度． $I=\bigoplus_\lambda E_\lambda$、$E_\lambda\cong E(A/P_\lambda)$ を任意の分解とする。局所化は直和と交換するので、thm-ihull-indecomposable の 5・6 により
$$I_P\cong\bigoplus_{P_\lambda\subset P}E_{A_P}(A_P/P_\lambda A_P)$$
である。$\kappa(P)$ は巡回 $A_P$ 加群なので、そこからの写像の像は有限個の成分に入り、$\operatorname{Hom}_{A_P}(\kappa(P),-)$ はこの直和と交換する。$P_\lambda\subsetneq P$ の成分では、$x\in P\setminus P_\lambda$ が自己同型として働く（thm-ihull-indecomposable の 2）のに $\kappa(P)$ を消すので、$\kappa(P)$ からの写像は零である。$P_\lambda=P$ の成分 $E'=E_{A_P}(\kappa(P))$ では、$\operatorname{Hom}(\kappa(P),E')$ は $PA_P$ で消える元の全体 $S$ と同一視できる。$S$ は $\kappa(P)$ 上のベクトル空間で、その 1 次元部分空間は単純部分加群なので本質的な $\kappa(P)\subset E'$ と交わり、$\kappa(P)$ に含まれる。よって $S=\kappa(P)$ は 1 次元である。以上から $\operatorname{Hom}_{A_P}(\kappa(P),I_P)$ は、$P_\lambda=P$ となる $\lambda$ を添字とする $\kappa(P)$ の直和と同型であり、その次元は分解によらない（ベクトル空間の基底の濃度は一意である）。$\square$

要点：1 では $\operatorname{ann}(t\xi)$ を Noether 性で極大にして分母の影響を消し、有限生成なイデアル $\{a:a\eta\in N\}$ の生成元のどれかが局所化後も生き残ることを示す。2・3 は入射加群の局所化が入射的であることと 1 から従う。