入射加群

1 ⇒ 2． $\mathrm{id}_E\colon E\to E$ を、単射 $u$ で $E$ を部分加群とみなした $M$ 全体へ延ばしたものが $r$ である。$m\mapsto(r(m),m-u(r(m)))$ により $M\cong E\oplus\ker r$ となる。
2 ⇒ 1． 加群の圏は十分な入射対象をもつ（十分な入射対象 の定理「加群の圏は十分な入射対象をもつ」）ので、入射加群 $I$ と単射 $u\colon E\to I$ がある。2 により $r\circ u=\mathrm{id}_E$ となる $r\colon I\to E$ がある。部分加群 $A\subset B$ と $f\colon A\to E$ が与えられたとき、$u\circ f\colon A\to I$ を $I$ の入射性で $g\colon B\to I$ に延ばすと、$r\circ g$ は $A$ 上で $r\circ u\circ f=f$ に一致する。よって $E$ は入射的である。
1 ⇒ 3． 入射加群に対して $\operatorname{Ext}^n_R(M,E)=0$（$n\ge1$）である（Ext関手 の命題「入射対象に対する消滅」。$0\to E\to E\to0$ が $E$ の入射分解である）。
3 ⇒ 4． $M=R/\mathfrak a$ とすればよい。
4 ⇒ 1． 短完全列 $0\to\mathfrak a\to R\to R/\mathfrak a\to0$ に Ext関手 の命題「長完全列」の後半（第 1 変数の長完全列）を当てると、
$$ \operatorname{Hom}_R(R,E)\longrightarrow\operatorname{Hom}_R(\mathfrak a,E)\longrightarrow\operatorname{Ext}^1_R(R/\mathfrak a,E)=0 $$
は完全である。すなわち $\mathfrak a$ からの準同型はすべて $R$ に延びる。Baer の判定法により $E$ は入射的である。$\square$

1． $S$ 加群 $N$ を $\varphi$ で $R$ 加群とみなす。写像
$$ \operatorname{Hom}_S\bigl(N,\operatorname{Hom}_R(S,E)\bigr)\longrightarrow\operatorname{Hom}_R(N,E),\qquad g\longmapsto\bigl(n\mapsto g(n)(1)\bigr) $$
は同型で、逆写像は $h\mapsto\bigl(n\mapsto(t\mapsto h(tn))\bigr)$ である。実際、$g$ が $S$ 線形なら $g(n)(t)=(t\cdot g(n))(1)=g(tn)(1)$ であり、逆に $h$ から作った写像は $(s\cdot g(n))(t)=h(tsn)=g(sn)(t)$ により $S$ 線形である。この同型は $N$ について自然である。$S$ 加群の単射 $N'\to N$ は $R$ 加群の単射でもあるので、$E$ の入射性により $\operatorname{Hom}_R(N,E)\to\operatorname{Hom}_R(N',E)$ は全射であり、自然性から $\operatorname{Hom}_S(N,\operatorname{Hom}_R(S,E))\to\operatorname{Hom}_S(N',\operatorname{Hom}_R(S,E))$ も全射である。後半は $S=R/I$ の場合で、$h\mapsto h(1)$ が $\operatorname{Hom}_R(R/I,E)\cong(0:_EI)$ を与える。
2． テンソル積と Hom の随伴（内部Hom の命題「加群のテンソルと Hom の随伴」）により、$R$ 加群 $N$ について自然な同型 $\operatorname{Hom}_R(N,\operatorname{Hom}_R(F,E))\cong\operatorname{Hom}_R(N\otimes_RF,E)$ がある。単射 $N'\to N$ について、$F$ が平坦なので $N'\otimes_RF\to N\otimes_RF$ は単射であり、$E$ が入射的なので $\operatorname{Hom}_R(N\otimes_RF,E)\to\operatorname{Hom}_R(N'\otimes_RF,E)$ は全射である。よって $\operatorname{Hom}_R(F,E)$ は入射的である。
3． $g\mapsto\bigl(n\otimes m\mapsto g(n)(m)\bigr)$ で与えられる随伴（2 と同じ形）により $\operatorname{Hom}_R(N,M^\vee)\cong\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(N\otimes_RM,\mathbb Q/\mathbb Z)$ が $N$ について自然に成り立つ。$M$ が平坦なら、$\mathbb Q/\mathbb Z$ が入射的アーベル群であること（ex-injmod-examples の 2）から、2 と同じ議論で $M^\vee$ は入射的である。逆に $M^\vee$ が入射的とし、単射 $N'\to N$ をとって $u\colon N'\otimes_RM\to N\otimes_RM$ とおく。仮定から $u^\vee=\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(u,\mathbb Q/\mathbb Z)$ は全射である。$\mathbb Q/\mathbb Z$ はアーベル群の圏の入射的余生成子であり、$u^\vee$ が全射なら $u$ は単射である（余生成子 の定理「入射的余生成子は完全性を判定する」の 3）。よって $M$ は平坦である。$\square$

必要性は thm-injmod-equivalent の 1 ⇒ 3 である。十分性を示す。有限生成 $R$ 加群 $N$ について $\operatorname{Ext}^1_R(N,E)=0$ を示せば、$N=R/\mathfrak a$ として thm-injmod-equivalent の 4 ⇒ 1 により $E$ は入射的である。$R$ は Noether なので、$N$ には部分加群の列
$$ 0=N_0\subset N_1\subset\cdots\subset N_r=N,\qquad N_i/N_{i-1}\cong R/\mathfrak p_i\quad(\mathfrak p_i\text{ は素イデアル}) $$
がある（付随素イデアル の定理「有限素因子列」）。$i$ についての帰納法で $\operatorname{Ext}^1_R(N_i,E)=0$ を示す。$i=0$ では明らかである。短完全列 $0\to N_{i-1}\to N_i\to R/\mathfrak p_i\to0$ に第 1 変数の長完全列（Ext関手 の命題「長完全列」）を当てると
$$ \operatorname{Ext}^1_R(R/\mathfrak p_i,E)\longrightarrow\operatorname{Ext}^1_R(N_i,E)\longrightarrow\operatorname{Ext}^1_R(N_{i-1},E) $$
が完全であり、両端は仮定と帰納法の仮定により $0$ なので、中央も $0$ である。$\square$

$S^{-1}R$ 加群として． $S^{-1}R$ のイデアル $\mathfrak b$ は、$\mathfrak a=\{r\in R\mid r/1\in\mathfrak b\}$ とおくと $\mathfrak b=S^{-1}\mathfrak a$ である（$r/s\in\mathfrak b$ なら $r/1=s\cdot(r/s)\in\mathfrak b$）。Baer の判定法により、制限写像 $\operatorname{Hom}_{S^{-1}R}(S^{-1}R,S^{-1}E)\to\operatorname{Hom}_{S^{-1}R}(S^{-1}\mathfrak a,S^{-1}E)$ が全射であることを示せばよい。$R$ は Noether なので $\mathfrak a$ と $R$ は有限表示加群であり、有限表示加群 の命題「局所化と Hom の交換」により、自然な同型 $S^{-1}\operatorname{Hom}_R(P,E)\cong\operatorname{Hom}_{S^{-1}R}(S^{-1}P,S^{-1}E)$（$P=R,\mathfrak a$）がある。これらは制限写像と両立するので、示すべきことは $S^{-1}\operatorname{Hom}_R(R,E)\to S^{-1}\operatorname{Hom}_R(\mathfrak a,E)$ の全射性になる。$E$ は入射的なので $\operatorname{Hom}_R(R,E)\to\operatorname{Hom}_R(\mathfrak a,E)$ は全射であり、局所化は完全なので、その局所化も全射である。
$R$ 加群として． $R$ 加群の単射 $N'\to N$ と $f\colon N'\to S^{-1}E$ をとる。$S^{-1}E$ では $S$ の元が可逆に作用するので、$f$ は $S^{-1}N'\to S^{-1}E$ を一意に経由する。局所化は完全なので $S^{-1}N'\to S^{-1}N$ は単射であり、前段により $S^{-1}N\to S^{-1}E$ へ延びる。これと $N\to S^{-1}N$ の合成が $f$ の延長である。$\square$