緩増加超関数とFourier変換
概要
緩増加超関数とFourier変換（tempered distributions and Fourier transform）とは、急減少する滑らかな関数のFréchet空間 $\mathcal S(\mathbb R^n)$ とその連続双対 $\mathcal S'(\mathbb R^n)$ を用いて、Fourier変換を関数から超関数へ拡張する理論である。Fourier変換は $\mathcal S$ と $\mathcal S'$ の連続線形自己同型で、微分を周波数変数の掛け算へ、座標の掛け算を周波数微分へ移す。Diracデルタ・定数・多項式・$L^p$関数を統一的に扱い、定数係数偏微分方程式とSobolev空間論の基礎を与える。
前提知識: 超関数, Fourier変換, Fréchet空間, 多重指数
概要
一般の超関数は局所的な微分には適するが、Euclid 空間全体で Fourier 変換できるとは限らない。Fourier 変換と相性のよいテスト関数として、関数自身とすべての導関数が無限遠で任意の多項式より速く減衰する Schwartz 関数を用いる。その空間 $\mathcal S(\mathbb R^n)$ の連続双対が緩増加超関数空間 $\mathcal S'(\mathbb R^n)$ である。
Fourier 変換は $\mathcal S$ の連続線形自己同型であり、双対性によって $\mathcal S'$ に拡張される。この拡張では Dirac のデルタ、定数、多項式、超関数微分を同じ枠内で変換でき、微分方程式を周波数変数の代数方程式へ移すことができる。
Schwartz空間
多重指数 $\alpha,\beta\in\mathbb Z_+^n$ に対し、滑らかな関数 $\varphi\colon\mathbb R^n\to\mathbb C$ の半ノルムを
$$
p_{\alpha,\beta}(\varphi)
:=\sup_{x\in\mathbb R^n}|x^\alpha\partial^\beta\varphi(x)|
$$
とおく。
Schwartz 空間または急減少関数空間を
$$
\mathcal S(\mathbb R^n)
:=\{\varphi\in C^\infty(\mathbb R^n):
p_{\alpha,\beta}(\varphi)<\infty\ \text{for all }\alpha,\beta\}
$$
で定める。半ノルム族 $p_{\alpha,\beta}$ が定める局所凸位相を入れる。この位相で $\varphi_j\to\varphi$ であることは、すべての $\alpha,\beta$ について
$$
p_{\alpha,\beta}(\varphi_j-\varphi)\longrightarrow0
$$
となることと同値である。$\mathcal S(\mathbb R^n)$ は Fréchet 空間であるRud91。
定義は、各導関数 $\partial^\beta\varphi$ に任意の単項式 $x^\alpha$ を掛けても有界であることを要求する。したがって Schwartz 関数は、どの固定された多項式の逆数よりも速く減衰する。
Gauss 関数 $e^{-|x|^2/2}$ と、その任意階導関数は Schwartz 関数である。コンパクトな台をもつ滑らかな関数も Schwartz 関数なので
$$
C_c^\infty(\mathbb R^n)\subset\mathcal S(\mathbb R^n).
$$
一方、$x\mapsto(1+|x|^2)^{-1}$ は滑らかで無限遠で $0$ に近づくが、十分高い次数の $x^\alpha$ を掛けると有界でなくなるので Schwartz 関数ではない。「$0$ に収束する」だけでは急減少性に足りない。
$C_c^\infty(\mathbb R^n)$ は $\mathcal S(\mathbb R^n)$ で稠密である。
$\chi\in C_c^\infty(\mathbb R^n)$ を $|x|\le1$ で $\chi(x)=1$ となるように選び、$\chi_R(x)=\chi(x/R)$ とおく。$\varphi\in\mathcal S$ に対し $\chi_R\varphi\in C_c^\infty$ である。
Leibniz 則より、$\partial^\beta((1-\chi_R)\varphi)$ は
$$
(\partial^\gamma(1-\chi_R))
(\partial^{\beta-\gamma}\varphi)
$$
の有限和である。$\gamma=0$ の項は $|x|\ge R$ に台をもち、Schwartz 性により、任意の整数 $N$ に対して
$$
|x^\alpha(1-\chi_R)\partial^\beta\varphi(x)|
\le R^{-N}\sup_x|x|^N|x^\alpha\partial^\beta\varphi(x)|
$$
と評価できる。$\gamma\ne0$ の項では $\partial^\gamma\chi_R=R^{-|\gamma|}(\partial^\gamma\chi)(x/R)$ で、台は $R\le|x|\le CR$ に含まれる。同じ急減少評価と $R^{-|\gamma|}$ により各半ノルムは $0$ に収束する。したがって $\chi_R\varphi\to\varphi$ が $\mathcal S$ で成り立つ。$\square$
緩増加超関数
$\mathbb R^n$ 上の緩増加超関数（tempered distribution）とは、Schwartz 空間上の連続線形汎関数
$$
u\colon\mathcal S(\mathbb R^n)\longrightarrow\mathbb C
$$
のことである。その全体を $\mathcal S'(\mathbb R^n)$ と書き、作用を $\langle u,\varphi\rangle$ と表す。
連続性は、ある $C>0$ と非負整数 $N$ が存在して
$$
|\langle u,\varphi\rangle|
\le C\sum_{|\alpha|,|\beta|\le N}p_{\alpha,\beta}(\varphi)
$$
がすべての $\varphi\in\mathcal S(\mathbb R^n)$ に対して成り立つことと同値である。
$C_c^\infty\hookrightarrow\mathcal S$ は連続であり、prop-compact-test-dense-schwartz により像は稠密である。したがって緩増加超関数をコンパクト台テスト関数へ制限する写像
$$
\mathcal S'(\mathbb R^n)\longrightarrow\mathcal D'(\mathbb R^n)
$$
は単射である。よって緩増加超関数は超関数の特別なクラスとみなせるが、両者を同一視してはいけない。
局所可積分関数 $f$ が、ある $C,N$ に対して
$$
|f(x)|\le C(1+|x|)^N
$$
をほとんど至る所で満たすなら、$\langle T_f,\varphi\rangle=\int f\varphi$ は緩増加超関数を定める。特に多項式、有界関数、$L^p$ 関数は標準的な仮定のもとで $\mathcal S'$ に入る。また、Dirac のデルタとその導関数は
$$
\langle\partial^\alpha\delta_a,\varphi\rangle
=(-1)^{|\alpha|}\partial^\alpha\varphi(a)
$$
によって緩増加超関数を定める。ここで $L^p$ については $1\le p\le\infty$ とし、Hölder の不等式と $\mathcal S\subset L^q$（$1/p+1/q=1$）を用いる。
1変数の局所可積分関数 $f(x)=e^{x^2}$ は正則超関数 $T_f\in\mathcal D'(\mathbb R)$ を定めるが、緩増加超関数ではない。
実際、非負で $0$ でない $\psi\in C_c^\infty((-1/2,1/2))$ を選び、$\psi_k(x)=\psi(x-k)$ とする。もし $T_f$ が $\mathcal S$ 上連続なら、ある有限個の半ノルムと定数で $|\langle T_f,\psi_k\rangle|$ を評価できる。各半ノルム $p_{\alpha,\beta}(\psi_k)$ は $k$ の多項式程度にしか増えない。一方
$$
\langle T_f,\psi_k\rangle
=\int e^{x^2}\psi(x-k)\,dx
\ge e^{(k-1/2)^2}\int\psi(x-k)\,dx
$$
は指数関数より速く増え、どの多項式評価にも反する。したがって $T_f\notin\mathcal S'(\mathbb R)$ である。
Schwartz空間上のFourier変換
本記事では正規化を
$$
\widehat\varphi(\xi)
:=(2\pi)^{-n/2}\int_{\mathbb R^n}e^{-ix\cdot\xi}\varphi(x)\,dx,
\qquad
\mathcal F^{-1}\varphi(x)
:=(2\pi)^{-n/2}\int_{\mathbb R^n}e^{ix\cdot\xi}\varphi(\xi)\,d\xi
$$
に固定する。他の正規化では $2\pi$ の位置が変わるので、公式を混用してはいけない。
$\varphi\in\mathcal S(\mathbb R^n)$ と多重指数 $\alpha$ に対して
$$
\widehat{\partial^\alpha\varphi}(\xi)
=(i\xi)^\alpha\widehat\varphi(\xi),
\qquad
\widehat{x^\alpha\varphi}(\xi)
=i^{|\alpha|}\partial_\xi^\alpha\widehat\varphi(\xi)
$$
が成り立つ。また $\widehat\varphi\in\mathcal S(\mathbb R^n)$ であり、$\mathcal F\colon\mathcal S\to\mathcal S$ は連続線形写像である。
$\varphi$ とその導関数は任意の多項式より速く減衰するため、部分積分の境界項は消える。したがって各座標について
$$
\widehat{\partial_j\varphi}(\xi)
=(2\pi)^{-n/2}\int e^{-ix\cdot\xi}\partial_j\varphi(x)\,dx
=i\xi_j\widehat\varphi(\xi).
$$
また積分記号下で微分して
$$
\partial_{\xi_j}\widehat\varphi(\xi)
=(2\pi)^{-n/2}\int(-ix_j)e^{-ix\cdot\xi}\varphi(x)\,dx
=-i\widehat{x_j\varphi}(\xi)
$$
を得る。これらを反復すれば2つの表示式が従う。
$\xi^\alpha\partial_\xi^\beta\widehat\varphi$ は、定数因子を除けば $\partial^\alpha(x^\beta\varphi)$ の Fourier 変換である。よって
$$
\sup_\xi|\xi^\alpha\partial_\xi^\beta\widehat\varphi(\xi)|
\le(2\pi)^{-n/2}\|\partial^\alpha(x^\beta\varphi)\|_{L^1}.
$$
右辺は $\varphi$ の有限個の Schwartz 半ノルムで評価できる。したがって $\widehat\varphi\in\mathcal S$ で、写像の連続性も従う。$\square$
Fourier 変換と Fourier 逆変換は $\mathcal S(\mathbb R^n)$ の互いに逆な連続線形自己同型である。特に
$$
\mathcal F^2\varphi(x)=\varphi(-x),
\qquad
\mathcal F^4\varphi=\varphi
$$
が成り立つ。
Fourier 反転、$\mathcal S$ 上の自己同型性、Plancherel の定理の証明は Rud91 Ch. 7 および Ara10 第1部を参照。本稿では緩増加超関数への拡張に必要な自己同型性を使用し、$L^1$・$L^2$ Fourier 理論の証明は既存の Fourier変換 と Plancherelの定理 の所有範囲に残す。
この正規化では
$$
g(x)=e^{-|x|^2/2}
$$
に対して $\widehat g=g$ である。Gauss 関数は空間側でも周波数側でも同じ形を保ち、熱核、不確定性原理、Fourier 反転の近似恒等式に現れる。正規化を変えると指数や定数係数も変わる。
緩増加超関数のFourier変換
$u\in\mathcal S'(\mathbb R^n)$ に対し、その Fourier 変換 $\widehat u$ と Fourier 逆変換 $\mathcal F^{-1}u$ を
$$
\langle\widehat u,\varphi\rangle
:=\langle u,\widehat\varphi\rangle,
\qquad
\langle\mathcal F^{-1}u,\varphi\rangle
:=\langle u,\mathcal F^{-1}\varphi\rangle
$$
で定める。thm-schwartz-fourier-inversion により、これらは $\mathcal S'$ の互いに逆な連続線形自己同型である。
この双対による定義は、$f\in L^1$ に対する積分表示と整合する。実際、Fubini の定理が使える場合
$$
\langle T_f,\widehat\varphi\rangle
=\int_{\mathbb R^n}\widehat f(\xi)\varphi(\xi)\,d\xi
=\langle T_{\widehat f},\varphi\rangle
$$
だから $\widehat{T_f}=T_{\widehat f}$ である。
$u\in\mathcal S'(\mathbb R^n)$ と多重指数 $\alpha$ に対して
$$
\widehat{\partial^\alpha u}
=(i\xi)^\alpha\widehat u,
\qquad
\widehat{x^\alpha u}
=i^{|\alpha|}\partial_\xi^\alpha\widehat u
$$
が成り立つ。
$|\alpha|=1$ の場合を示せば反復により一般の場合が従う。$u$ の微分の定義と prop-schwartz-fourier-identities より
$$
\begin{aligned}
\langle\widehat{\partial_j u},\varphi\rangle
&=\langle\partial_j u,\widehat\varphi\rangle
=-\langle u,\partial_j\widehat\varphi\rangle\\
&=-\langle u,-i\widehat{\xi_j\varphi}\rangle
=\langle i\xi_j\widehat u,\varphi\rangle.
\end{aligned}
$$
よって $\widehat{\partial_j u}=i\xi_j\widehat u$ である。また
$$
\begin{aligned}
\langle\widehat{x_j u},\varphi\rangle
&=\langle u,x_j\widehat\varphi\rangle\\
&=-i\langle u,\widehat{\partial_j\varphi}\rangle\\
&=-i\langle\widehat u,\partial_j\varphi\rangle
=i\langle\partial_j\widehat u,\varphi\rangle.
\end{aligned}
$$
ここでは $\widehat{\partial_j\varphi}(x)=ix_j\widehat\varphi(x)$、したがって $x_j\widehat\varphi=-i\widehat{\partial_j\varphi}$ を用いた。よって $\widehat{x_j u}=i\partial_j\widehat u$ である。$\square$
対称正規化のもとで
$$
\widehat{\delta_0}=(2\pi)^{-n/2}\,1,
\qquad
\widehat 1=(2\pi)^{n/2}\delta_0
$$
である。第1式は
$$
\langle\widehat{\delta_0},\varphi\rangle
=\widehat\varphi(0)
=(2\pi)^{-n/2}\int\varphi(x)\,dx
$$
から従う。第2式は Fourier 変換をもう一度施し、$\mathcal F^2u=u(-\,\cdot)$ を使えば得られる。空間全体に一様に広がる定数と、1点に集中するデルタが Fourier 変換で入れ替わる。
$L^2$理論との関係
Fourier 変換は $\mathcal S$ 上で内積を保ち、稠密性により $L^2(\mathbb R^n)$ のユニタリ作用素へ一意に延長される。これが Plancherel の定理である。この $L^2$ Fourier 変換と、$L^2\subset\mathcal S'$ とみなした後の緩増加超関数 Fourier 変換は一致するAra10。
ただし、$L^2$ の元はほとんど至る所の同値類なので、Fourier 変換を各点の積分として定義できるとは限らない。一方 $\mathcal S'$ での等式はすべて Schwartz 関数との対合として解釈する。この区別は、$\widehat{\partial_j u}=i\xi_j\widehat u$ を偏微分方程式に適用するときに重要である。
関連項目
参考文献
Mathpediaは寄付と、参考文献の書籍リンク（Amazonアソシエイト）の紹介料で運営されています。 支援について ／ 寄付する
