円周角の定理（高校数学）

方針：$\cos\angle APB$ を内積で表し、それが $\cos(\operatorname{Arg}w_P)$ に等しいことを示す。
段 1（記号）。$u:=a-p=u_1+u_2i$、$v:=b-p=v_1+v_2i$ とおく（$u_1,u_2,v_1,v_2$ は実数）。$u,v$ は $\overrightarrow{PA}$、$\overrightarrow{PB}$ の成分 $(u_1,u_2)$、$(v_1,v_2)$ を表す。
段 2（$v\bar u$ を計算する）。$\bar u=u_1-u_2i$ なので
$$ v\bar u=(v_1+v_2i)(u_1-u_2i)=(u_1v_1+u_2v_2)+(u_1v_2-u_2v_1)i $$
である。実部 $u_1v_1+u_2v_2$ は内積 $\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}$ に等しい。
段 3（$w_P$ と $v\bar u$ の偏角は同じ）。$u\bar u=|u|^2$ なので $w_P=\dfrac vu=\dfrac{v\bar u}{u\bar u}=\dfrac{v\bar u}{|u|^2}$ である。正の実数 $|u|^2$ で割っても偏角は変わらないので、$\psi:=\operatorname{Arg}w_P$ は $v\bar u$ の偏角でもある。また $|v\bar u|=|v|\,|u|$ である。
段 4（余弦を比べる）。段 2・段 3 から
$$ \cos\psi=\frac{\operatorname{Re}(v\bar u)}{|v\bar u|}=\frac{\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{PA}|\,|\overrightarrow{PB}|}=\cos\angle APB $$
である。$|\psi|$ と $\angle APB$ はどちらも $0^\circ$ 以上 $180^\circ$ 以下で、この範囲では余弦の値から角がただ 1 つに決まる。$\cos|\psi|=\cos\psi$ なので、$\angle APB=|\psi|$ である。
段 5（回る向き）。$w_P=|w_P|(\cos\psi+i\sin\psi)$ なので、$w_P$ の虚部の符号は $\sin\psi$ の符号と同じである。$v=w_Pu$ であり、$w_P$ を掛けることは偏角 $\psi$ の回転と拡大である。$\sin\psi>0$ なら $0^\circ<\psi<180^\circ$ で反時計回り、$\sin\psi<0$ なら $-180^\circ<\psi<0^\circ$ で時計回りである。$\square$

方針：両端の角の平均 $\dfrac{\xi+\varphi}2$ の分だけ回したものをくくり出し、残りを正弦で表す。
段 1（くくり出す）。$m:=\dfrac{\xi+\varphi}2$、$h:=\dfrac{\xi-\varphi}2$ とおくと、$\xi=m+h$、$\varphi=m-h$ である。偏角の足し算（$e^{i(s+t)}=e^{is}e^{it}$、加法定理と同じ内容）により
$$ e^{i\xi}-e^{i\varphi}=e^{im}e^{ih}-e^{im}e^{-ih}=e^{im}\left(e^{ih}-e^{-ih}\right) $$
である。
段 2（括弧の中）。$e^{ih}=\cos h+i\sin h$、$e^{-ih}=\cos h-i\sin h$ なので、$e^{ih}-e^{-ih}=2i\sin h$ である。段 1 に代入して $e^{i\xi}-e^{i\varphi}=2\sin h\cdot i\,e^{im}$ を得る。これが示す等式である。
段 3（向き）。$P\ne X$ なので左辺は $0$ でなく、$2\sin h$ は $0$ でない実数である。$i=e^{i\cdot90^\circ}$ なので $i\,e^{im}=e^{i(m+90^\circ)}$ である。したがって $x-p$ は、偏角 $m+90^\circ$ の単位ベクトルの $2\sin h$ 倍であり、$\sin h>0$ なら同じ向き、$\sin h<0$ なら逆向きである。$\square$

方針：$b-p$ と $a-p$ を lem-iah-chord で書き、割り算で共通の因数を消す。残る実数 $k$ の符号を、角の範囲から決める。
段 1（分子と分母）。lem-iah-chord により
$$ b-p=2\sin\frac{\beta-\varphi}2\cdot i\,e^{i(\beta+\varphi)/2},\qquad a-p=2\sin\frac{\alpha-\varphi}2\cdot i\,e^{i(\alpha+\varphi)/2} $$
である。$P\ne A$ なので $a-p\ne0$、したがって $\sin\dfrac{\alpha-\varphi}2\ne0$ である。同じく $P\ne B$ から $\sin\dfrac{\beta-\varphi}2\ne0$ である。
段 2（割る）。$2i$ が約分され、偏角は引き算になるので
$$ w_P=\frac{\sin\dfrac{\beta-\varphi}2}{\sin\dfrac{\alpha-\varphi}2}\cdot e^{i\left(\frac{\beta+\varphi}2-\frac{\alpha+\varphi}2\right)}=\frac{\sin\dfrac{\beta-\varphi}2}{\sin\dfrac{\alpha-\varphi}2}\cdot e^{i(\beta-\alpha)/2} $$
である。$\sin(-x)=-\sin x$ を分子と分母に使うと、係数は $\dfrac{\sin\frac{\varphi-\beta}2}{\sin\frac{\varphi-\alpha}2}=k$ に等しい。段 1 により $k$ は $0$ でない実数である。
段 3（$P$ が $\widehat{AB}$ の上にないとき）。$P$ を表す角 $\varphi$ は $360^\circ$ の差を除いて決まるので、$\beta<\varphi<\alpha+360^\circ$ の範囲にとれる。このとき
$$ 0<\frac{\varphi-\beta}2<\frac{\alpha+360^\circ-\beta}2<180^\circ,\qquad 0<\frac{\beta-\alpha}2<\frac{\varphi-\alpha}2<180^\circ $$
である（1 つ目の最後の不等号は $\alpha<\beta$ から、2 つ目の最後の不等号は $\varphi<\alpha+360^\circ$ から）。$0^\circ$ と $180^\circ$ の間の角の正弦は正なので、$k>0$ である。
段 4（$P$ が $\widehat{AB}$ の上にあるとき）。$\alpha<\varphi<\beta$ にとれる。このとき
$$ -180^\circ<\frac{\alpha-\beta}2<\frac{\varphi-\beta}2<0,\qquad 0<\frac{\varphi-\alpha}2<\frac{\beta-\alpha}2<180^\circ $$
である（$\beta-\alpha<360^\circ$ を使った）。分子の正弦は負、分母の正弦は正なので、$k<0$ である。
段 5（角を読む）。$0<\dfrac\theta2<180^\circ$ である。$k>0$ なら、$w_P$ は偏角 $\dfrac\theta2$ の複素数の正の数倍なので $\operatorname{Arg}w_P=\dfrac\theta2$ であり、lem-iah-angle-arg により $\angle APB=\dfrac\theta2$ である。$k<0$ なら、$-1=e^{i\cdot180^\circ}$ により $w_P=|k|\,e^{i(\theta/2-180^\circ)}$ で、$-180^\circ<\dfrac\theta2-180^\circ<0^\circ$ なので $\operatorname{Arg}w_P=\dfrac\theta2-180^\circ$ である。lem-iah-angle-arg により $\angle APB=180^\circ-\dfrac\theta2$ である。$\square$

方針：thm-iah-main の 1 を $P$ に、2 を $Q$ に使う。
必要なら $A$ と $B$ の名前を入れ替え、rem-iah-general-circle により単位円で考えて、$Q$ が $\widehat{AB}$ の上に、$P$ が $\widehat{AB}$ の上にないようにできる。$\theta$ を $\widehat{AB}$ の中心角とすると、thm-iah-main の 1 により $\angle APB=\dfrac\theta2$、2 により $\angle AQB=180^\circ-\dfrac\theta2$ である。足すと $180^\circ$ である。$\square$

方針：thm-iah-main の等式 $w_P=k\,e^{i(\beta-\alpha)/2}$ を、$180^\circ$ の差を除いて読む。
段 1（角のとり方）。$A,B$ を表す角は $360^\circ$ の差を除いて決まるので、$\alpha<\beta<\alpha+360^\circ$ となるように選び直す。$\beta$ に $360^\circ$ の整数倍 $360^\circ n$ を足すと $\dfrac{\beta-\alpha}2$ は $180^\circ n$ だけ変わるので、主張の右辺は選び直しによって $180^\circ$ の差を除いて変わらない。$\alpha$ についても同じである。
段 2（読む）。thm-iah-main により $w_P=k\,e^{i(\beta-\alpha)/2}$ で、$k$ は $0$ でない実数である。$k>0$ なら $w_P$ の偏角は $\dfrac{\beta-\alpha}2$、$k<0$ なら $\dfrac{\beta-\alpha}2+180^\circ$ である。どちらの場合も、$180^\circ$ の差を除いて $\dfrac{\beta-\alpha}2$ に等しい。$w_P=\dfrac{b-p}{a-p}$ の偏角は $\measuredangle APB$ を表すので（def-iah-directed で $u=a-p$、$v=b-p$ とする）、主張が成り立つ。$\square$

方針：lem-iah-chord で $\varphi=\alpha$、$\xi=\beta$ とし、$ia$ で割る。
lem-iah-chord により $b-a=2\sin\dfrac{\beta-\alpha}2\cdot i\,e^{i(\alpha+\beta)/2}$ である。$ia=i\,e^{i\alpha}$ で割ると、$i$ が約分され、偏角は $\dfrac{\alpha+\beta}2-\alpha=\dfrac{\beta-\alpha}2$ になるので、1 つ目の等式を得る。$A\ne B$ なので $2\sin\dfrac{\beta-\alpha}2$ は $0$ でない実数であり、$\dfrac{b-a}{ia}$ の偏角は $180^\circ$ の差を除いて $\dfrac{\beta-\alpha}2$ である。$ia$ は $t_A$ の向き、$b-a$ は直線 $AB$ の向きを表すので、2 つ目の式が成り立つ。最後の主張は thm-iah-directed と合わせて得られる。$\square$

方針：直線 $AB$ の点を $a+s(b-a)$（$s$ は実数）と書き、両方向を計算で確かめる。
段 1（直線上なら実数）。$p=a+s(b-a)$ とすると、$b-p=(1-s)(b-a)$、$a-p=-s(b-a)$ である。$P\ne A$ なので $s\ne0$ であり、$w_P=\dfrac{1-s}{-s}=\dfrac{s-1}{s}$ は実数である。
段 2（実数なら直線上）。$w_P=t$（$t$ は実数）とすると $b-p=t(a-p)$ である。$a\ne b$ なので $t\ne1$ である（$t=1$ なら $b-p=a-p$ となる）。式を $p$ について解くと $(t-1)p=ta-b$、つまり
$$ p=\frac{ta-b}{t-1}=a+\frac{1}{1-t}(b-a) $$
である（右辺を通分すると $\dfrac{(1-t)a+b-a}{1-t}=\dfrac{b-ta}{1-t}$ で、左の式と等しい）。$\dfrac1{1-t}$ は実数なので、$P$ は直線 $AB$ の上にある。$\square$

方針：$L$ の点を $a+sd$（$s$ は実数）と書き、$|a+sd|^2=1$ を $s$ の 2 次方程式として解く。
段 1（方程式）。$|z|^2=z\bar z$ と $|a|=1$ を使うと
$$ |a+sd|^2=(a+sd)(\bar a+s\bar d)=|a|^2+s(a\bar d+\bar ad)+s^2|d|^2=1+2s\operatorname{Re}(\bar ad)+s^2|d|^2 $$
である（$a\bar d=\overline{\bar ad}$ なので $a\bar d+\bar ad=2\operatorname{Re}(\bar ad)$）。これが $1$ に等しい条件は $s\bigl(s|d|^2+2\operatorname{Re}(\bar ad)\bigr)=0$ である。
段 2（解）。解は $s=0$（点 $A$）と $s=-\dfrac{2\operatorname{Re}(\bar ad)}{|d|^2}$ である。2 つ目の解が $0$ と異なるのは $\operatorname{Re}(\bar ad)\ne0$ のときである。
段 3（接線の場合）。$\operatorname{Re}(\bar ad)=0$ は、$\bar ad$ が純虚数、つまり $\bar ad=ci$（$c$ は実数）であることと同じである。$a\bar a=1$ なので、これは $d=cia$ と同じである。$d\ne0$ なので $c\ne0$ であり、このとき $L$ は $A$ における接線（向き $ia$）である。$\square$

方針：2 ⇒ 1 は thm-iah-directed と lem-iah-real-line から出る。1 ⇒ 2 は、$z_1,z_2,z_3$ を通る円 $\Gamma$ をとり、直線 $z_1z_4$ が $\Gamma$ と交わるもう 1 つの点が $z_4$ そのものであることを示す。記号を $w_p:=\dfrac{z_2-p}{z_1-p}$ とすると、def-iah-cross-ratio により複比は $\dfrac{w_{z_4}}{w_{z_3}}$ である。
段 1（2 ⇒ 1、直線の場合）。4 点が 1 本の直線の上にあれば、lem-iah-real-line（$A=z_1$、$B=z_2$）により $w_{z_3}$ と $w_{z_4}$ は $0$ でない実数であり、その比である複比も実数である。
段 2（2 ⇒ 1、円の場合）。4 点が 1 つの円の上にあれば、thm-iah-directed（$A=z_1$、$B=z_2$）により $w_{z_3}$ と $w_{z_4}$ の偏角は $180^\circ$ の差を除いて等しい。したがって比 $\dfrac{w_{z_4}}{w_{z_3}}$ の偏角は $180^\circ$ の整数倍であり、複比は実数である。
段 3（1 ⇒ 2、$z_1,z_2,z_3$ が一直線上の場合）。lem-iah-real-line により $w_{z_3}$ は実数である。複比が実数なので $w_{z_4}=(\text{複比})\cdot w_{z_3}$ も実数で、lem-iah-real-line により $z_4$ も直線 $z_1z_2$ の上にある。4 点は 1 本の直線の上にある。
段 4（1 ⇒ 2、準備）。以下、$z_1,z_2,z_3$ は一直線上にないとする。このとき 3 点を通る円 $\Gamma$ がただ 1 つある（3 辺の垂直二等分線の交点が中心になる。三角形の外心）。複比は、すべての点を $z\mapsto\dfrac{z-c}r$（$c$ は $\Gamma$ の中心、$r$ は半径）で移しても変わらない（各差が $\dfrac1r$ 倍になり、分子と分母で約分される）。そこで $\Gamma$ を単位円とし、$z_1=e^{i\alpha}$、$z_2=e^{i\beta}$ とする。thm-iah-directed により $w_{z_3}$ の偏角は $180^\circ$ の差を除いて $\dfrac{\beta-\alpha}2$ であり、複比が実数なので $w_{z_4}$ の偏角も同じである。
段 5（$z_4$ は直線 $z_1z_2$ の上にない）。もし $z_4$ が直線 $z_1z_2$ の上にあれば、lem-iah-real-line により $w_{z_4}$ は実数で、複比が実数だから $w_{z_3}=\dfrac{w_{z_4}}{(\text{複比})}$ も実数になり、$z_3$ が直線 $z_1z_2$ の上にあることになる。これは段 4 の仮定に反する。よって $z_1,z_2,z_4$ は一直線上にない。
段 6（直線 $z_1z_4$ は接線でない）。直線 $L:=z_1z_4$ が $z_1$ における接線だとする。すると $z_4-z_1$ は $iz_1$ の実数倍で、$\measuredangle(L,z_4z_2)$、つまり $\dfrac{z_2-z_4}{z_1-z_4}=w_{z_4}$ の偏角は、$180^\circ$ の差を除いて「$iz_1$ から $z_2-z_4$ への回転角」に等しい。段 4 によりこれは $\dfrac{\beta-\alpha}2$ である。一方 lem-iah-tangent により、$iz_1$ から $z_2-z_1$ への回転角も $180^\circ$ の差を除いて $\dfrac{\beta-\alpha}2$ である。よって $z_2-z_4$ と $z_2-z_1$ は互いに実数倍であり、$z_4$ は直線 $z_1z_2$ の上にある。これは段 5 に反する。
段 7（もう 1 つの交点）。段 6 と lem-iah-second-point により、$L$ は $\Gamma$ と $z_1$ のほかにちょうど 1 点 $u$ で交わる。$u\ne z_2$ である（$u=z_2$ なら $z_2$ が直線 $z_1z_4$ の上にあり、段 5 に反する）。$u$ は $\Gamma$ の上の $z_1,z_2$ と異なる点なので、thm-iah-directed により $w_u$ の偏角は $180^\circ$ の差を除いて $\dfrac{\beta-\alpha}2$ で、段 4 により $w_{z_4}$ の偏角と等しい。したがって $\dfrac{w_{z_4}}{w_u}=\dfrac{z_2-z_4}{z_2-u}\cdot\dfrac{z_1-u}{z_1-z_4}$ は実数である。$u$ と $z_4$ はどちらも $L$ の上にあるので $\dfrac{z_1-u}{z_1-z_4}$ は $0$ でない実数である。よって $\dfrac{z_2-z_4}{z_2-u}$ も実数であり、$u$ は直線 $z_2z_4$ の上にある。
段 8（まとめ）。$u$ は直線 $z_1z_4$ と直線 $z_2z_4$ の両方の上にある。段 5 によりこの 2 直線は異なり、共有点は $z_4$ だけである。よって $u=z_4$ であり、$z_4$ は $\Gamma$ の上にある。4 点は 1 つの円の上にある。$\square$

方針：同じ側にあることから $w_P$ と $w_C$ の虚部の符号がそろうことを示し、角が等しいことと合わせて偏角が等しいことを出す。そうすると複比が正の実数になる。
段 1（虚部の符号と側）。$w_P=\dfrac{b-p}{a-p}=\dfrac{(b-p)\overline{(a-p)}}{|a-p|^2}$ なので、$w_P$ の虚部の符号は $\overline{(a-p)}(b-p)$ の虚部の符号と同じである。展開して整理すると、恒等式
$$ \operatorname{Im}\bigl(\overline{(a-p)}(b-p)\bigr)=\operatorname{Im}\bigl(\overline{(b-a)}(p-a)\bigr) $$
が成り立つ（$a=a_1+a_2i$ などと成分で書くと、左辺は $(a_1-p_1)(b_2-p_2)-(a_2-p_2)(b_1-p_1)$、右辺は $(b_1-a_1)(p_2-a_2)-(b_2-a_2)(p_1-a_1)$ で、どちらも展開すると $a_1b_2-a_2b_1+b_1p_2-b_2p_1+p_1a_2-p_2a_1$ になる）。右辺の符号は $\dfrac{p-a}{b-a}=\dfrac{\overline{(b-a)}(p-a)}{|b-a|^2}$ の虚部の符号、つまり $P$ が $A\to B$ の左右どちらにあるかを表す。$C$ についても同じである。
段 2（偏角が等しい）。$P$ と $C$ は同じ側にあるので、段 1 により $w_P$ と $w_C$ の虚部は同じ符号で、どちらも $0$ でない。lem-iah-angle-arg により $|\operatorname{Arg}w_P|=\angle APB=\angle ACB=|\operatorname{Arg}w_C|$ であり、$\operatorname{Arg}$ の符号は虚部の符号と同じなので、$\operatorname{Arg}w_P=\operatorname{Arg}w_C$ である。
段 3（複比）。$A=z_1$、$B=z_2$、$C=z_3$、$P=z_4$ とすると、$w$ の定義が prf-iah-cross-ratio の $w_p=\dfrac{z_2-p}{z_1-p}$ と同じなので、複比は $\dfrac{w_P}{w_C}$ である。段 2 によりこれは正の実数である。thm-iah-cross-ratio により 4 点は 1 つの円か 1 本の直線の上にある。$A,B,C$ は一直線上にないので直線ではなく、4 点は円の上にある。3 点を通る円はただ 1 つなので、それは $A,B,C$ を通る円である。$\square$

方針：複比に現れる 4 つの差 $z_j-z_k$ が、変換でそれぞれ何倍になるかを調べる。
段 1（$T$ の場合）。$T(z_j)-T(z_k)=(az_j+b)-(az_k+b)=a(z_j-z_k)$ である。複比の分子の 2 つの差と分母の 2 つの差がどれも $a$ 倍になるので、分子は $a^2$ 倍、分母も $a^2$ 倍になり、複比は変わらない。
段 2（$S$ の場合の差）。通分すると
$$ \frac1{z_j}-\frac1{z_k}=\frac{z_k-z_j}{z_jz_k}=-\frac{z_j-z_k}{z_jz_k} $$
である。
段 3（$S$ の場合の複比）。段 2 を複比の 4 つの差に使うと、符号 $-1$ は分子に 2 つ、分母に 2 つ出て消えるので
$$ (S(z_1),S(z_2);S(z_3),S(z_4))=\frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_1-z_4)(z_2-z_3)}\cdot\frac{z_1z_4\cdot z_2z_3}{z_1z_3\cdot z_2z_4} $$
である。2 つ目の分数は、分子と分母がどちらも $z_1z_2z_3z_4$ なので $1$ である。よって複比は変わらない。$\square$

方針：像の 3 点を固定し、そこを通る円か直線 $K'$ を決める。4 点目の像も $K'$ に乗ることを、複比で示す。
段 1（$K'$ を決める）。$K$ の上に $0$ でない相異なる 3 点 $z_1,z_2,z_3$ をとる（$K$ には無数の点がある）。$w_j:=\dfrac1{z_j}$ は相異なる（$\dfrac1{z_j}=\dfrac1{z_k}$ なら $z_j=z_k$）。$w_1,w_2,w_3$ が一直線上にあればその直線を、そうでなければ 3 点を通るただ 1 つの円を $K'$ とする。
段 2（4 点目）。$z$ を $K$ の上の $0$ でない点で $z_1,z_2,z_3$ と異なるものとする。4 点 $z_1,z_2,z_3,z$ は $K$ の上にあるので、thm-iah-cross-ratio（2 ⇒ 1）により $(z_1,z_2;z_3,z)$ は実数である。prop-iah-invariance の 2 により $(w_1,w_2;w_3,\tfrac1z)$ も同じ実数である。thm-iah-cross-ratio（1 ⇒ 2）により、$w_1,w_2,w_3,\dfrac1z$ は 1 つの円か 1 本の直線 $K''$ の上にある。
段 3（$K''=K'$）。$w_1,w_2,w_3$ が一直線上にあれば、$K''$ は円ではありえない（prf-iah-cross-ratio 段 4 と同じく $z\mapsto\dfrac{z-c}r$ で円 $K''$ を単位円に移すと lem-iah-second-point が使えて、直線と円の共有点は 2 個以下である）ので、$K''$ はその直線 $K'$ である。一直線上になければ $K''$ は直線ではありえず、3 点を通る円はただ 1 つなので $K''=K'$ である。どちらの場合も $\dfrac1z$ は $K'$ の上にある。$\square$