断面曲率

$R(X',Y')$ は $X',Y'$ について双線形かつ反対称なので
$$ R(X',Y')=R(aX+bY,cX+dY)=ad\,R(X,Y)+bc\,R(Y,X)=(ad-bc)R(X,Y) $$
である。次に $g(R(A,B)C,D)$ が $C,D$ について反対称であること（リーマン曲率テンソルの対称性）から $g(R(X,Y)X,X)=g(R(X,Y)Y,Y)=0$、$g(R(X,Y)X,Y)=-g(R(X,Y)Y,X)$ であり、
$$ g(R(X,Y)Y',X')=g(R(X,Y)(cX+dY),aX+bY)=ad\,g(R(X,Y)Y,X)+bc\,g(R(X,Y)X,Y)=(ad-bc)\,g(R(X,Y)Y,X) $$
である。よって分子は $g(R(X',Y')Y',X')=(ad-bc)^2g(R(X,Y)Y,X)$ となる。分母は Gram 行列式 $\det\begin{pmatrix}g(X',X')&g(X',Y')\\ g(Y',X')&g(Y',Y')\end{pmatrix}$ であり、基底の取り替え行列 $P=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}$ に対して Gram 行列は $PGP^{\mathsf T}$ と変わるので、行列式は $(ad-bc)^2$ 倍される。よって比 $K$ は不変である。$\square$

$X$ を $X+Z$ で置き換えて展開すると
$$ 0=D(X+Z,Y,X+Z,Y)=D(X,Y,X,Y)+D(X,Y,Z,Y)+D(Z,Y,X,Y)+D(Z,Y,Z,Y)=D(X,Y,Z,Y)+D(Z,Y,X,Y) $$
であり、(4) より $D(Z,Y,X,Y)=D(X,Y,Z,Y)$ なので $D(X,Y,Z,Y)=0$ がすべての $X,Y,Z$ について成り立つ。次に $Y$ を $Y+W$ で置き換えて展開すると
$$ 0=D(X,Y+W,Z,Y+W)=D(X,Y,Z,Y)+D(X,Y,Z,W)+D(X,W,Z,Y)+D(X,W,Z,W)=D(X,Y,Z,W)+D(X,W,Z,Y) $$
であり、(1) より $D(X,W,Z,Y)=-D(X,W,Y,Z)$ なので $D(X,Y,Z,W)=D(X,W,Y,Z)$ を得る。これは $D$ が後の3引数の巡回置換で不変であることを意味し、同じ式をもう一度使えば $D(X,Y,Z,W)=D(X,W,Y,Z)=D(X,Z,W,Y)$ である。したがって (3) の左辺は $3D(X,Y,Z,W)$ となり、$D(X,Y,Z,W)=0$ である。
後半は $D:=\mathrm{Rm}-\mathrm{Rm}'$ に前半を適用すればよい。$\mathrm{Rm}(X,Y,X,Y)$ は $X,Y$ が線形従属なら $0$（(1)(2) による）、線形独立なら $K(X,Y)$ に Gram 行列式を掛けたものなので、断面曲率が一致すれば $D(X,Y,X,Y)=0$ がすべての $X,Y$ で成り立つ。$\square$

$\varphi(X+aZ,Y+bW)$ を多重線形性で展開したときの $ab$ の係数は、$Z$ を第1または第3引数に、$W$ を第2または第4引数に1回ずつ入れた
$$ g(R(Z,W)X,Y)+g(R(Z,Y)X,W)+g(R(X,W)Z,Y)+g(R(X,Y)Z,W) $$
であり、$\varphi(Y+aZ,X+bW)$ の $ab$ の係数は $X$ と $Y$ を入れ替えた
$$ g(R(Z,W)Y,X)+g(R(Z,X)Y,W)+g(R(Y,W)Z,X)+g(R(Y,X)Z,W) $$
である。$\partial^2f/\partial a\partial b(0,0)$ は前者から後者を引いたものである。$T:=g(R(X,Y)Z,W)$ とおき、$g(R(A,B)C,D)$ が $(A,B)$ と $(C,D)$ についてそれぞれ反対称で対の入れ替えについて対称であること（リーマン曲率テンソル）を用いると、$g(R(Z,W)X,Y)=T$、$-g(R(Z,W)Y,X)=T$、$-g(R(Y,X)Z,W)=T$ であり、これらと $g(R(X,Y)Z,W)$ を合わせて $4T$ を得る。残りの4項は、$g(R(Z,Y)X,W)=g(R(X,W)Z,Y)$、$-g(R(Z,X)Y,W)=g(R(X,Z)Y,W)$、$-g(R(Y,W)Z,X)=g(R(X,Z)Y,W)$ により $2g(R(X,W)Z,Y)+2g(R(X,Z)Y,W)$ である。第1 Bianchi 恒等式 $g(R(X,Y)Z,W)+g(R(Y,Z)X,W)+g(R(Z,X)Y,W)=0$ に $g(R(Y,Z)X,W)=g(R(X,W)Y,Z)=-g(R(X,W)Z,Y)$ と $g(R(Z,X)Y,W)=-g(R(X,Z)Y,W)$ を代入すると $T=g(R(X,W)Z,Y)+g(R(X,Z)Y,W)$ であるから、残りの4項の和は $2T$ である。よって全体は $6T$ である。$\square$

$\mathrm{Rm}_0(X,Y,Z,W):=g(X,Z)g(Y,W)-g(X,W)g(Y,Z)$ とおく。これは $g(R_0(Z,W)Y,X)$、$R_0(X,Y)Z:=g(Y,Z)X-g(X,Z)Y$ に等しい（実際 $g(R_0(Z,W)Y,X)=g(W,Y)g(Z,X)-g(Z,Y)g(W,X)$）。$\mathrm{Rm}_0$ は thm-sec-curv-determines の対称性 (1)–(4) を満たす：(1)(2)(4) は式の形から直ちに分かり、(3) は
$$ \bigl(g(X,Z)g(Y,W)-g(X,W)g(Y,Z)\bigr)+\bigl(g(X,W)g(Z,Y)-g(X,Y)g(Z,W)\bigr)+\bigl(g(X,Y)g(W,Z)-g(X,Z)g(W,Y)\bigr)=0 $$
による。また $\mathrm{Rm}_0(X,Y,X,Y)=\|X\|^2\|Y\|^2-g(X,Y)^2$ なので、$c\,\mathrm{Rm}_0$ はすべての平面で断面曲率 $c$ を与える。よって $K_p\equiv c$ ならば thm-sec-curv-determines により $\mathrm{Rm}_p=c\,\mathrm{Rm}_0$ である。逆は $\mathrm{Rm}_0(X,Y,X,Y)$ の計算から明らかである。成分表示は $X=\partial_k$、$Y=\partial_l$、$Z=\partial_j$ を代入して得られる。$\square$

$g_{rr}=1$、$g_{\theta\theta}=f^2$、$g_{r\theta}=0$ を Christoffel 記号の公式（リーマン接続）に代入すると、$0$ でない Christoffel 記号は
$$ \Gamma^r_{\theta\theta}=-\tfrac12g^{rr}\partial_rg_{\theta\theta}=-ff',\qquad \Gamma^\theta_{r\theta}=\Gamma^\theta_{\theta r}=\tfrac12g^{\theta\theta}\partial_rg_{\theta\theta}=\frac{f'}{f} $$
だけである。曲率の成分の公式（リーマン曲率テンソル）$R^i{}_{jkl}=\partial_k\Gamma^i_{lj}-\partial_l\Gamma^i_{kj}+\Gamma^i_{ka}\Gamma^a_{lj}-\Gamma^i_{la}\Gamma^a_{kj}$ で $i=r$、$j=\theta$、$k=r$、$l=\theta$ とすると
$$ R^r{}_{\theta r\theta}=\partial_r\Gamma^r_{\theta\theta}-\partial_\theta\Gamma^r_{r\theta}+\Gamma^r_{ra}\Gamma^a_{\theta\theta}-\Gamma^r_{\theta a}\Gamma^a_{r\theta}=-(f'^2+ff'')-0+0-\Gamma^r_{\theta\theta}\Gamma^\theta_{r\theta}=-f'^2-ff''+ff'\cdot\frac{f'}{f}=-ff'' $$
である（$\Gamma^r_{ra}\Gamma^a_{\theta\theta}$ は $\Gamma^r_{rr}=\Gamma^r_{r\theta}=0$ より $0$）。よって $R_{r\theta r\theta}=g_{rr}R^r{}_{\theta r\theta}=-ff''$ であり、
$$ K=\frac{R_{r\theta r\theta}}{g_{rr}g_{\theta\theta}-g_{r\theta}^2}=\frac{-ff''}{f^2}=-\frac{f''}{f} $$
である。$\square$

def-sec-curv を基底 $\partial_1,\partial_2$ に適用すればよい。右辺が座標によらないことは prop-sec-curv-well-defined（あるいは リーマン曲率テンソルの 2 次元の場合の系）による。$\square$