四面体の外接球と内接球

方針：点 $\mathrm X$ について $\mathrm{XP}^2-\mathrm{XQ}^2$ を計算すると、$\mathrm X$ の 1 次式になる。それが $0$ という条件が平面の方程式である。
段 1（展開する）。原点を $\mathrm O$ とし、$\vec x=\overrightarrow{\mathrm{OX}}$、$\vec p=\overrightarrow{\mathrm{OP}}$、$\vec q=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ とおく。内積の計算規則（ベクトルの内積（高校数学））により
$$ \mathrm{XP}^2-\mathrm{XQ}^2=\lvert\vec x-\vec p\rvert^2-\lvert\vec x-\vec q\rvert^2=\bigl(\lvert\vec x\rvert^2-2\vec x\cdot\vec p+\lvert\vec p\rvert^2\bigr)-\bigl(\lvert\vec x\rvert^2-2\vec x\cdot\vec q+\lvert\vec q\rvert^2\bigr) $$
で、$\lvert\vec x\rvert^2$ が打ち消し合うので $2\vec x\cdot(\vec q-\vec p)+\lvert\vec p\rvert^2-\lvert\vec q\rvert^2$ である。
段 2（中点を使って書き直す）。$\vec m=\dfrac{\vec p+\vec q}2$ とおくと、$\lvert\vec p\rvert^2-\lvert\vec q\rvert^2=(\vec p+\vec q)\cdot(\vec p-\vec q)=-2\vec m\cdot(\vec q-\vec p)$ である。よって
$$ \mathrm{XP}^2-\mathrm{XQ}^2=2(\vec x-\vec m)\cdot(\vec q-\vec p) $$
である。
段 3（まとめ）。$\mathrm{XP}=\mathrm{XQ}$ と $\mathrm{XP}^2-\mathrm{XQ}^2=0$ は同値（長さは $0$ 以上）なので、段 2 から、$\mathrm X$ が 2 点から等距離であることと $(\vec x-\vec m)\cdot\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=0$ は同値である。$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\ne\vec 0$ なので、これは $\mathrm M$ を通り法線ベクトルが $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ の平面の方程式である（空間の平面と法線ベクトル）。$\square$

方針：まず $\mathrm A$、$\mathrm B$、$\mathrm C$ から等距離の点が、三角形 $\mathrm{ABC}$ の外心を通って平面 $\mathrm{ABC}$ に垂直な直線 $\ell$ の上の点であることを示す。次に、$\ell$ の上で $\mathrm D$ まで等距離になる点が、ちょうど 1 つあることを示す。
段 1（三角形 $\mathrm{ABC}$）。$\mathrm A$、$\mathrm B$、$\mathrm C$、$\mathrm D$ が同じ平面の上にないので、$\mathrm A$、$\mathrm B$、$\mathrm C$ は一直線上にない（一直線上にあれば、その直線と $\mathrm D$ を含む平面が 4 点を含んでしまう）。平面 $\alpha=$ 平面 $\mathrm{ABC}$ の中で、三角形 $\mathrm{ABC}$ の外心 $\mathrm K_0$ がただ 1 つある。$\alpha$ の中の点で $\mathrm A$、$\mathrm B$、$\mathrm C$ から等距離の点は $\mathrm K_0$ だけである（三角形の外心 の定理「3 辺の垂直二等分線は 1 点で交わる」）。$\alpha$ の法線ベクトルを $\vec n$ とし、$\ell$ を $\mathrm K_0$ を通り方向が $\vec n$ の直線とする。
段 2（$\ell$ の上の点は $\mathrm A$、$\mathrm B$、$\mathrm C$ から等距離）。$\ell$ の上の点 $\mathrm X$ について、$\overrightarrow{\mathrm{K_0X}}$ は $\vec n$ の実数倍で、$\overrightarrow{\mathrm{K_0A}}$ は $\alpha$ の中の向きなので、2 つは垂直である。三平方の定理から $\mathrm{XA}^2=\mathrm{XK_0}^2+\mathrm{K_0A}^2$ で、$\mathrm{XB}^2$、$\mathrm{XC}^2$ も同じ形である。$\mathrm{K_0A}=\mathrm{K_0B}=\mathrm{K_0C}$ なので $\mathrm{XA}=\mathrm{XB}=\mathrm{XC}$ である。
段 3（逆に、等距離の点は $\ell$ の上）。$\mathrm X$ が $\mathrm A$、$\mathrm B$、$\mathrm C$ から等距離とし、$\mathrm X$ から $\alpha$ に下ろした垂線の足を $\mathrm H$ とする。段 2 と同じく $\mathrm{XA}^2=\mathrm{XH}^2+\mathrm{HA}^2$ などが成り立つので、$\mathrm{HA}=\mathrm{HB}=\mathrm{HC}$ である。段 1 から $\mathrm H=\mathrm K_0$ で、$\mathrm X$ は $\mathrm K_0$ を通り $\alpha$ に垂直な直線、つまり $\ell$ の上にある。
段 4（$\mathrm D$ まで等距離になる点）。$\ell$ の上の点を、実数 $t$ で $\vec x=\vec k_0+t\vec n$ と書く（$\vec k_0$ は $\mathrm K_0$ の位置ベクトル）。prf-csi-bisector-plane の段 1 の計算で $\vec p$、$\vec q$ を $\mathrm A$、$\mathrm D$ の位置ベクトル $\vec a$、$\vec d$ にすると
$$ \mathrm{XA}^2-\mathrm{XD}^2=2\vec x\cdot(\vec d-\vec a)+\lvert\vec a\rvert^2-\lvert\vec d\rvert^2=\bigl(2\vec k_0\cdot(\vec d-\vec a)+\lvert\vec a\rvert^2-\lvert\vec d\rvert^2\bigr)+2t\,\vec n\cdot(\vec d-\vec a) $$
で、$t$ の 1 次式である。$\mathrm D$ は $\alpha$ の上にないので、$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\vec d-\vec a$ は $\alpha$ の中の向きではなく、$\vec n\cdot(\vec d-\vec a)\ne0$ である（$\alpha$ の中の向きであることと、法線ベクトルとの内積が $0$ であることは同値。空間の平面と法線ベクトル）。よって $t$ の 1 次方程式 $\mathrm{XA}^2-\mathrm{XD}^2=0$ の解はちょうど 1 つである。
段 5（まとめ）。段 2〜段 4 から、4 点から等距離の点 $\mathrm K$ はちょうど 1 つある。4 点を通る球面の中心は 4 点から等距離なので $\mathrm K$ に限り、半径は $R=\mathrm{KA}$ に決まる。逆に $\mathrm K$ を中心とする半径 $\mathrm{KA}$ の球面は 4 点を通る。$\mathrm K$ はどの 2 頂点からも等距離なので、lem-csi-bisector-plane により 6 本の辺の垂直二等分面の上にある。$\square$

方針：$\mathrm K$ が満たす 3 つの 1 次方程式を書き、右辺のベクトルがそれを満たすことを外積と行列式の性質で確かめる。解がただ 1 つであることは thm-csi-circum から分かる。
段 1（満たすべき式）。$\mathrm X$ が $\mathrm O$ と $\mathrm A$ から等距離である条件は、prf-csi-bisector-plane の段 1 で $\vec p=\vec 0$、$\vec q=\vec a$ とした $2\vec x\cdot\vec a-\lvert\vec a\rvert^2=0$、つまり $2\vec a\cdot\vec x=\lvert\vec a\rvert^2$ である。同じく $2\vec b\cdot\vec x=\lvert\vec b\rvert^2$、$2\vec c\cdot\vec x=\lvert\vec c\rvert^2$ である。3 つを満たす点は $\mathrm O$、$\mathrm A$、$\mathrm B$、$\mathrm C$ から等距離の点で、thm-csi-circum によりちょうど 1 つ、つまり外心である。
段 2（使う性質）。外積 $\vec a\times\vec b$ は $\vec a$ とも $\vec b$ とも垂直で、$(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c=\det(\vec a,\vec b,\vec c)$ である。行列式は順番を巡回的にずらしても変わらない（$\det(\vec a,\vec b,\vec c)=\det(\vec b,\vec c,\vec a)=\det(\vec c,\vec a,\vec b)$）。どれも 空間ベクトルと1次独立 の補題「行列式と外積の性質」の 1〜3 である。よって
$$ \vec a\cdot(\vec b\times\vec c)=\det(\vec b,\vec c,\vec a)=\Delta,\quad \vec a\cdot(\vec c\times\vec a)=0,\quad \vec a\cdot(\vec a\times\vec b)=0 $$
である。
段 3（代入する）。段 2 から $2\vec a\cdot\vec k=\dfrac{\lvert\vec a\rvert^2\Delta+0+0}{\Delta}=\lvert\vec a\rvert^2$ である。$\vec b$、$\vec c$ との内積も、同じく $\vec b\cdot(\vec c\times\vec a)=\det(\vec c,\vec a,\vec b)=\Delta$、$\vec c\cdot(\vec a\times\vec b)=\Delta$ で、ほかの 2 項は $0$ なので、$2\vec b\cdot\vec k=\lvert\vec b\rvert^2$、$2\vec c\cdot\vec k=\lvert\vec c\rvert^2$ である。段 1 から $\vec k$ は外心の位置ベクトルである。$\square$

方針：1 は $\mathrm A$ を基準にした 3 つの辺のベクトルで $\overrightarrow{\mathrm{AX}}$ を分解する。2 は $\overrightarrow{\mathrm{BX}}$ を $\mathrm B$ を基準にした辺のベクトルで書き、法線ベクトルとの内積をとる。
段 1（1 を示す）。4 点は同じ平面の上にないので、$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$、$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$、$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ は 1 次独立で、$\overrightarrow{\mathrm{AX}}=\beta\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\gamma\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\delta\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ となる $\beta,\gamma,\delta$ がただ 1 組ある（空間ベクトルと1次独立 の定理「空間のベクトルの分解」）。$\alpha=1-\beta-\gamma-\delta$ とおいて $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ などを代入すると、$\overrightarrow{\mathrm{OX}}=\alpha\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\beta\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\gamma\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\delta\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ となる。逆にこの形に書けば、同じ計算を逆にたどって $\overrightarrow{\mathrm{AX}}$ の分解が得られるので、組はただ 1 つである。
段 2（2 を示す）。重みの和が $1$ なので $\beta=1-\alpha-\gamma-\delta$ で、
$$ \overrightarrow{\mathrm{BX}}=\overrightarrow{\mathrm{OX}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\alpha\overrightarrow{\mathrm{BA}}+\gamma\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\delta\overrightarrow{\mathrm{BD}} $$
である（右辺を展開すると $\alpha\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\gamma\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\delta\overrightarrow{\mathrm{OD}}-(\alpha+\gamma+\delta)\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ で、$-(\alpha+\gamma+\delta)=\beta-1$ である）。$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$、$\overrightarrow{\mathrm{BD}}$ は平面 $\mathrm{BCD}$ の中の向きなので $\vec u_{\mathrm A}$ との内積は $0$ で、$\vec u_{\mathrm A}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BX}}=\alpha\,(\vec u_{\mathrm A}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BA}})$ である。
段 3（高さ）。点と平面の距離の公式（空間の平面と法線ベクトル の定理「点と平面の距離」）により、$\lvert\vec u_{\mathrm A}\rvert=1$ のとき、点 $\mathrm X$ と平面 $\mathrm{BCD}$ の距離は $\lvert\vec u_{\mathrm A}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BX}}\rvert$ である。$\mathrm X=\mathrm A$ とすると $h_{\mathrm A}=\lvert\vec u_{\mathrm A}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BA}}\rvert$ で、$\vec u_{\mathrm A}$ は $\mathrm A$ の側を向くので $\vec u_{\mathrm A}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BA}}=h_{\mathrm A}>0$ である。段 2 と合わせて $\vec u_{\mathrm A}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BX}}=\alpha h_{\mathrm A}$、距離は $\lvert\alpha\rvert h_{\mathrm A}$ である。
段 4（3 を示す）。段 1 の $\beta,\gamma,\delta$ について、「$\beta,\gamma,\delta\ge0$、$\beta+\gamma+\delta\le1$」を満たす点の全体が四面体の内部と表面である（点の存在範囲と凸結合 の注意「空間では四面体」）。$\beta+\gamma+\delta\le1$ は $\alpha\ge0$ と同じなので、これは重みがすべて $0$ 以上であることと同じである。$\square$

方針：点の重みを $(\alpha,\beta,\gamma,\delta)$ とすると、lem-csi-weights により 4 つの面までの距離は $\alpha h_{\mathrm A}$、$\beta h_{\mathrm B}$、$\gamma h_{\mathrm C}$、$\delta h_{\mathrm D}$ である（内部では重みは正）。これらが等しい条件を、$S_{\mathrm A}h_{\mathrm A}=3V$ を使って重みの条件に直す。
段 1（等距離の条件）。$\mathrm X$ を四面体の内部の点とし、重みを $(\alpha,\beta,\gamma,\delta)$ とする。内部の点は面の上にないので、lem-csi-weights の 2・3 から重みはすべて正で、4 つの面までの距離は $\alpha h_{\mathrm A}$、$\beta h_{\mathrm B}$、$\gamma h_{\mathrm C}$、$\delta h_{\mathrm D}$ である。これらがすべて $\rho$ に等しいとすると、$h_{\mathrm A}=\dfrac{3V}{S_{\mathrm A}}$ などから
$$ \alpha=\frac{\rho}{h_{\mathrm A}}=\frac{\rho S_{\mathrm A}}{3V},\quad \beta=\frac{\rho S_{\mathrm B}}{3V},\quad \gamma=\frac{\rho S_{\mathrm C}}{3V},\quad \delta=\frac{\rho S_{\mathrm D}}{3V} $$
である。
段 2（距離と重みが決まる）。重みの和は $1$ なので、段 1 の 4 つを足して $\dfrac{\rho S}{3V}=1$、つまり $\rho=\dfrac{3V}S$ である。これを戻すと $\alpha=\dfrac{S_{\mathrm A}}S$ などで、$\mathrm X$ は主張の $\mathrm I$ に一致する。よって、条件を満たす点は $\mathrm I$ 以外にない。
段 3（$\mathrm I$ は条件を満たす）。逆に $\mathrm I$ の重みは $\dfrac{S_{\mathrm A}}S$ などで、どれも正なので $\mathrm I$ は四面体の内部にあり、平面 $\mathrm{BCD}$ までの距離は $\dfrac{S_{\mathrm A}}S\cdot h_{\mathrm A}=\dfrac{3V}S$ である。ほかの 3 つの面も同じである。これで 1 が示せた。
段 4（球は四面体の中にある）。$\mathrm I$ からの距離が $r$ 以下の点 $\mathrm X$ をとり、重みを $(\alpha,\beta,\gamma,\delta)$ とする。lem-csi-weights の 2 から
$$ \alpha h_{\mathrm A}=\vec u_{\mathrm A}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BX}}=\vec u_{\mathrm A}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BI}}+\vec u_{\mathrm A}\cdot\overrightarrow{\mathrm{IX}}=r+\vec u_{\mathrm A}\cdot\overrightarrow{\mathrm{IX}} $$
である。$\lvert\vec u_{\mathrm A}\rvert=1$ なので $\lvert\vec u_{\mathrm A}\cdot\overrightarrow{\mathrm{IX}}\rvert\le\lvert\overrightarrow{\mathrm{IX}}\rvert\le r$（Cauchy–Schwarz の不等式、Cauchy–Schwarzの不等式（高校数学））で、$\alpha h_{\mathrm A}\ge0$、$\alpha\ge0$ である。$\beta,\gamma,\delta$ も同じなので、lem-csi-weights の 3 から $\mathrm X$ は四面体の内部または表面にある。
段 5（接点は面の上）。$\mathrm I$ から平面 $\mathrm{BCD}$ に下ろした垂線の足を $\mathrm T$ とすると、$\mathrm{IT}=r$ で、$\mathrm T$ は球面と平面 $\mathrm{BCD}$ の共有点である。段 4 から $\mathrm T$ は四面体の内部または表面にあり、平面 $\mathrm{BCD}$ の上にあるので重み $\alpha=0$ で、残りの重みは $0$ 以上である。そのような点は三角形 $\mathrm{BCD}$ の内部または周の上にある（点の存在範囲と凸結合）。平面 $\mathrm{BCD}$ のほかの点は $\mathrm I$ からの距離が $r$ より大きい（三平方の定理）ので、共有点は $\mathrm T$ だけである。ほかの面も同じである。最後に、内接球の中心は定義から四面体の内部にあって 4 つの平面から等距離なので、1 により $\mathrm I$ に限り、半径も $r$ に限る。$\square$

方針：まず「4 つの面の平面すべてと共有点をもつ球の半径は $r$ 以上」を示す。次に、4 つの面の重心を通る半径 $\dfrac R3$ の球を作る（図 2）。
段 1（符号つき距離の重みつきの和）。四面体 $\mathrm{ABCD}$ で、任意の点 $\mathrm X$ の重みを $(\alpha,\beta,\gamma,\delta)$ とし、$\sigma_{\mathrm A}=\alpha h_{\mathrm A}$ などとおく（lem-csi-weights の 2 の符号つき距離）。$S_{\mathrm A}h_{\mathrm A}=3V$ などから
$$ S_{\mathrm A}\sigma_{\mathrm A}+S_{\mathrm B}\sigma_{\mathrm B}+S_{\mathrm C}\sigma_{\mathrm C}+S_{\mathrm D}\sigma_{\mathrm D}=3V(\alpha+\beta+\gamma+\delta)=3V $$
である。
段 2（4 つの平面と交わる球）。中心 $\mathrm X$、半径 $\rho$ の球が 4 つの面を含む平面すべてと共有点をもつとする。$\mathrm X$ と各平面の距離は $\rho$ 以下なので、$\sigma_{\mathrm A}\le\lvert\sigma_{\mathrm A}\rvert\le\rho$ などが成り立つ。段 1 から
$$ 3V\le S_{\mathrm A}\rho+S_{\mathrm B}\rho+S_{\mathrm C}\rho+S_{\mathrm D}\rho=S\rho $$
で、$\rho\ge\dfrac{3V}S=r$ である（thm-csi-in）。
段 3（面の重心）。$\mathrm G$ を 4 頂点の重心（$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\dfrac14(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}})$）、$\mathrm G_{\mathrm A}$ を面 $\mathrm{BCD}$ の重心とする。$\overrightarrow{\mathrm{OG_A}}=\dfrac13(\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}})=\dfrac13(4\overrightarrow{\mathrm{OG}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}})$ なので
$$ \overrightarrow{\mathrm{GG_A}}=\overrightarrow{\mathrm{OG_A}}-\overrightarrow{\mathrm{OG}}=-\frac13\bigl(\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OG}}\bigr)=-\frac13\overrightarrow{\mathrm{GA}} $$
である。ほかの面の重心も同じである。
段 4（半径 $\dfrac R3$ の球）。外心を $\mathrm K$ とし、$\overrightarrow{\mathrm{GK^*}}=-\dfrac13\overrightarrow{\mathrm{GK}}$ となる点 $\mathrm K^*$ をとる。段 3 から
$$ \overrightarrow{\mathrm{K^*G_A}}=\overrightarrow{\mathrm{GG_A}}-\overrightarrow{\mathrm{GK^*}}=-\frac13\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\frac13\overrightarrow{\mathrm{GK}}=-\frac13\overrightarrow{\mathrm{KA}} $$
で、$\mathrm{K^*G_A}=\dfrac13\mathrm{KA}=\dfrac R3$ である。ほかの面の重心も同じなので、$\mathrm K^*$ を中心とする半径 $\dfrac R3$ の球は 4 つの面の重心を通る。面の重心は面を含む平面の上にあるので、この球は 4 つの平面すべてと共有点をもつ。
段 5（まとめ）。段 2 を段 4 の球に使うと $\dfrac R3\ge r$、つまり $R\ge3r$ である。$\square$