Dirichletの単数定理

判別式(代数体) の記事の Minkowski 埋め込み $j\colon K\to\mathbb{R}^n$ について、同記事の定理「整数環の格子としての体積」により $j(\mathcal{O}_K)=A\mathbb{Z}^n$（$A$ は正則な実行列）である。$\lvert\rho_i(u)\rvert\le R$（すべての $i$）なら $j(u)$ の各成分の絶対値は $R$ 以下なので、$j(u)$ は有界な立方体 $Q=[-R,R]^n$ に入る。$A^{-1}Q$ は有界なので整数点を有限個しか含まず、$j(\mathcal{O}_K)\cap Q$ は有限集合である。$j$ は単射なので、そのような $u$ は有限個である。
$B$ が有界なら、ある $c\ge0$ について $B$ の点の各成分は $c$ 以下であり、$\ell(u)\in B$ なら $\lvert\rho_i(u)\rvert\le e^{c}$（すべての $i$）である。前半により $\ell^{-1}(B)$ は有限である。$\ker\ell=\ell^{-1}(\{0\})$ である。$\square$

$\zeta\in\mu_K$、$\zeta^m=1$ なら $\lvert\rho_i(\zeta)\rvert^m=1$ から $\lvert\rho_i(\zeta)\rvert=1$ なので $\ell(\zeta)=0$ である。逆に $\ker\ell$ は有限群（lem-dut-bounded）なので、その元 $u$ の位数 $m$ は有限で $u^m=1$、すなわち $u\in\mu_K$ である。よって $\ker\ell=\mu_K$ は有限群である。埋め込み $\rho_1\colon K\to\mathbb{C}$ は単射な準同型なので、$\mu_K$ は $\mathbb{C}^\times$ の有限部分群と同型であり、1の冪根 の記事の命題「複素数の乗法群の有限部分群」により巡回群である。$\square$

$\mathbb{R}^n$ の中で、実埋め込みの座標 $y_i$（$i\le r_1$）について $\lvert y_i\rvert\le c_i$、複素埋め込み $\rho_{r_1+l}$ の実部と虚部の座標の組 $(y,y')$ について $y^2+y'^2\le c_{r_1+l}^2$ という条件で定まる集合を $S$ とする。$S$ は区間と閉円板の直積なので、原点について対称な凸集合で有界な閉集合であり、
$$ \operatorname{vol}(S)=\prod_{i\le r_1}(2c_i)\prod_{l\le r_2}(\pi c_{r_1+l}^2)=2^{r_1}\pi^{r_2}A_K=2^{r_1+r_2}\sqrt{\lvert d_K\rvert}=2^n\cdot2^{-r_2}\sqrt{\lvert d_K\rvert} $$
である。右辺は $2^n$ と $j(\mathcal{O}_K)$ の基本領域の体積の積である（判別式(代数体) の記事の定理「整数環の格子としての体積」）。イデアル類群 の記事の補題「格子に対する凸体定理」により、$0$ でない $\alpha\in\mathcal{O}_K$ で $j(\alpha)\in S$、すなわち $\lvert\rho_i(\alpha)\rvert\le c_i$（すべての $i$）となるものがある。$\lvert N(\alpha)\rvert=\prod_i\lvert\rho_i(\alpha)\rvert^{e_i}\le\prod_ic_i^{e_i}=A_K$ であり、$N(\alpha)$ は $0$ でない整数なので $1$ 以上である。$\square$

$0$ でない $\alpha_1,\alpha_2,\dots\in\mathcal{O}_K$ を、次の 2 条件を満たすように帰納的に選ぶ：(i) $\lvert N(\alpha_m)\rvert\le A_K$、(ii) $i\ne k$ のすべての $i$ で $\lvert\rho_i(\alpha_{m+1})\rvert<\lvert\rho_i(\alpha_m)\rvert$。$\alpha_1$ は lem-dut-small を $c_i=A_K^{1/n}$（すべての $i$）に使って得る。$\alpha_m$ が選ばれたら、$i\ne k$ について $0< c_i<\lvert\rho_i(\alpha_m)\rvert$ となる $c_i$ をとり（$\alpha_m\ne0$ なので $\lvert\rho_i(\alpha_m)\rvert>0$）、$c_k>0$ を $\prod_ic_i^{e_i}=A_K$ となるように定めて、lem-dut-small から $\alpha_{m+1}$ を得る。
単項イデアル $\alpha_m\mathcal{O}_K$ のノルムは $\lvert N(\alpha_m)\rvert\le A_K$ であり（イデアル類群 の記事の命題「単項イデアルのノルム」）、ノルムが $A_K$ 以下のイデアルは有限個しかない（同記事の補題「ノルムが有界なイデアルは有限個」）。よって $m< m'$ で $\alpha_m\mathcal{O}_K=\alpha_{m'}\mathcal{O}_K$ となるものがある。このとき $\alpha_{m'}=\alpha_mx$、$\alpha_m=\alpha_{m'}y$（$x,y\in\mathcal{O}_K$）と書け、$xy=1$ なので $u:=\alpha_{m'}/\alpha_m=x$ は単数である。(ii) を繰り返し使うと、$i\ne k$ について
$$ \lvert\rho_i(u)\rvert=\frac{\lvert\rho_i(\alpha_{m'})\rvert}{\lvert\rho_i(\alpha_m)\rvert}<1 $$
である。$\sum_ie_i\log\lvert\rho_i(u)\rvert=0$ で $i\ne k$ の項はすべて負なので、$\log\lvert\rho_k(u)\rvert>0$ である。$\square$

最初の $s-1$ 列が 1 次従属と仮定し、すべては $0$ でない実数 $t_1,\dots,t_{s-1}$ で $\sum_{i< s}t_ia_{ki}=0$（すべての $k$）となるものをとる。$\lvert t_i\rvert$ が最大となる番号を $k< s$ とし、全体を定数倍して $t_k=1$ とすると、すべての $i$ で $t_i\le1$ である。第 $k$ 行について、$i\ne k$ では $a_{ki}<0$ と $t_i\le1$ から $t_ia_{ki}\ge a_{ki}$ なので
$$ 0=\sum_{i< s}t_ia_{ki}\ge\sum_{i< s}a_{ki}=-a_{ks}>0 $$
となり矛盾する。よって最初の $s-1$ 列は 1 次独立で、階数は $s-1$ 以上である。各行の和が $0$ なので列の和は $0$ ベクトルであり、列は 1 次従属だから、階数は $s-1$ である。$\square$

1 は prop-dut-kernel である。$\Lambda:=\ell(\mathcal{O}_K^\times)$ とおくと、$\Lambda$ は $H$ の部分群で、lem-dut-bounded により $H$ のどの有界な集合も $\Lambda$ の点を有限個しか含まない。
$r=0$（$s=1$）なら $H=\{0\}$ なので $\Lambda=0$、$\mathcal{O}_K^\times=\ker\ell=\mu_K$ であり、2 と 3 は明らかに成り立つ。以下 $s\ge2$ とする。
段 1（$\Lambda$ は $H$ を張る）。各 $k=1,\dots,s$ について lem-dut-construct の単数 $u_k$ をとり、$a_{ki}:=e_i\log\lvert\rho_i(u_k)\rvert$ とおく。$\ell(u_k)=(a_{k1},\dots,a_{ks})$ である。$k\ne i$ なら $a_{ki}<0$ で、$\ell(u_k)\in H$ から各行の和は $0$ である。lem-dut-matrix により $\ell(u_1),\dots,\ell(u_s)$ の張る部分空間は $s-1$ 次元であり、$H$ に含まれて $\dim H=s-1$ なので、$H$ 全体である。
段 2（$\Lambda$ は階数 $r$ の自由アーベル群で、$H$ の基底で生成される）。段 1 により、$\Lambda$ の元 $v_1,\dots,v_r$ で $H$ の基底となるものがとれる。$\Lambda_0:=\mathbb{Z}v_1+\cdots+\mathbb{Z}v_r$ とおく。$\lambda\in\Lambda$ を $\lambda=\sum_it_iv_i$（$t_i\in\mathbb{R}$）と書き、$\lambda-\sum_i\lfloor t_i\rfloor v_i$ を考えると、これは $\Lambda$ の元で、有界な集合 $F:=\{\sum_it_iv_i\mid0\le t_i<1\}$ に属する。$\Lambda\cap F$ は有限集合なので、剰余群 $\Lambda/\Lambda_0$ は有限である。その位数を $m$ とすると $m\Lambda\subset\Lambda_0$、すなわち $\Lambda\subset\frac1m\Lambda_0$ であり、$\frac1m\Lambda_0$ は $\frac1mv_i$ を基底とする階数 $r$ の自由アーベル群である。自由アーベル群 の記事の命題「有限階数の自由アーベル群の部分群」により $\Lambda$ は階数 $r$ 以下の自由アーベル群であり、階数 $r$ の $\Lambda_0$ を含むので階数はちょうど $r$ である。$\Lambda$ の基底 $w_1,\dots,w_r$ は $H$ を張る $r$ 個のベクトル（$\Lambda\supset\Lambda_0$ が $H$ を張る）なので $H$ の基底である。これで 2 が示された。
段 3（直積分解）。$\ell\colon\mathcal{O}_K^\times\to\Lambda$ は全射準同型で、$\Lambda\cong\mathbb{Z}^r$ は自由アーベル群である。自由アーベル群 の記事の命題「自由アーベル群への全射は分裂する」により、$\ell\circ\iota=\mathrm{id}$ となる準同型 $\iota\colon\Lambda\to\mathcal{O}_K^\times$ があり、$\mathcal{O}_K^\times=\ker\ell\times\iota(\Lambda)$（内部直積）である。$\varepsilon_j:=\iota(w_j)$ とおけば、$\ker\ell=\mu_K$ と合わせて、すべての単数は $\zeta\varepsilon_1^{m_1}\cdots\varepsilon_r^{m_r}$ とただ 1 通りに書ける。$\square$

$d=f^2d_0$（$d_0>1$ は平方因子をもたない）と書き、$K=\mathbb{Q}(\sqrt{d_0})=\mathbb{Q}(\sqrt d)$、$R:=\mathbb{Z}[\sqrt d]=\{x+y\sqrt d\mid x,y\in\mathbb{Z}\}$ とする。$\mathcal{O}_K$ は $\mathbb{Z}[\sqrt{d_0}]$ または $\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{d_0}}2]$ なので（代数的整数 の記事の命題「2 次体の整数環の決定」）、$m:=2f$ について $m\mathcal{O}_K\subset R$ である（$f\sqrt{d_0}=\sqrt d$、$2f\cdot\frac{1+\sqrt{d_0}}2=f+\sqrt d$）。
$K$ は実 2 次体なので $r=1$ で、無限位数の単数 $\varepsilon$ がある（thm-dut-main）。有限群 $(\mathcal{O}_K/m\mathcal{O}_K)^\times$ への準同型 $\mathcal{O}_K^\times\to(\mathcal{O}_K/m\mathcal{O}_K)^\times$ の核を $U_1$ とすると、$U_1$ は有限指数 $k$ をもち、$\varepsilon^k\in U_1$ である。$U_1$ の元 $u$ は $u\in1+m\mathcal{O}_K\subset R$ を満たし、$N(u^2)=N(u)^2=1$ である。よって $\varepsilon^{2kj}$（$j\ge1$）は $R$ に属するノルム $1$ の元で、互いに異なる。$\varepsilon^{2kj}=x_j+y_j\sqrt d$ と書けば、$N(x_j+y_j\sqrt d)=x_j^2-dy_j^2=1$ であり、$\sqrt d$ が無理数なので $(x_j,y_j)$ も互いに異なる。$\square$