スカラー曲率

リッチ作用素のトレースとしてスカラー曲率(Scalar curvature)が定義される。
すなわち、スカラー曲率 $S$ が
$$ \begin{aligned} S\colon={\rm tr}(X\mapsto Q(X)) \end{aligned} $$
で定義される。
チャートに関する成分表示は
$$ \begin{aligned} S=R^i_{\ i} \end{aligned} $$
である。

スカラー曲率の持つ情報量はリーマン曲率テンソルに比べてかなり落ちるが、スカラー関数であるから扱いやすいという利点がある。

リッチ曲率テンソルのdivergenceとスカラー曲率

$\nabla_aR^a_{ijk}=\nabla_jR_{ki}-\nabla_kR_{ji}$ の $k,i$ を縮約することで
$$ \begin{aligned} \nabla_aR^a_j&=\nabla_jR-\nabla_aR^a_j\\ \therefore\ \nabla_jR&=2\nabla_aR^a_j \end{aligned} $$
を得る。