スカラー曲率
概要
スカラー曲率（scalar curvature）とは、リーマン多様体 $(M,g)$ のリッチテンソルを計量でトレースした関数 $S=\operatorname{tr}_g\mathrm{Ric}=g^{ij}R_{ij}$ のことであり、曲率テンソルを 2 回縮約した最も粗い曲率である。正規直交基底に関して $S$ は互いに直交する座標平面の断面曲率の総和に等しく、2 次元では Gauss 曲率の 2 倍、定曲率 $c$ の空間では $n(n-1)c$、積多様体では各因子のスカラー曲率の和になる。縮約された第 2 Bianchi 恒等式 $dS=2\operatorname{div}\mathrm{Ric}$ から Schur の補題が従い、小さな測地球の体積のずれ、Einstein–Hilbert 作用、Yamabe 問題など、スカラー曲率だけで決まる現象は多い。
前提知識: リーマン多様体, リーマン曲率テンソル, リッチテンソル, トレース
定義
以下、$(M,g)$ を $n$ 次元リーマン多様体、$R$ をそのリーマン曲率テンソル $R(X,Y)Z=\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_XZ-\nabla_{[X,Y]}Z$、$\mathrm{Ric}(Y,Z)=\operatorname{tr}(X\mapsto R(X,Y)Z)$ をリッチテンソル、$Q$ をリッチ作用素（$g(QX,Y)=\mathrm{Ric}(X,Y)$）、局所座標での成分を $R^i{}_{jkl}$（$R(\partial_k,\partial_l)\partial_j=R^i{}_{jkl}\partial_i$）と $R_{ijkl}:=g_{im}R^m{}_{jkl}$、$R_{ij}=R^a{}_{jai}$、$R^i{}_j=g^{ia}R_{aj}$ と書く（記法と符号の流儀は リーマン曲率テンソル に従う）。添字の和は Einstein の総和規約（テンソル解析）による。トレース $S=g^{ij}R_{ij}$ による定義・縮約 Bianchi 恒等式・Schur の補題の前半は擬Riemann多様体でも同様に成り立つ。正規直交基底による和の公式は正定値の場合の式であり、不定値計量では $S=\sum_i\varepsilon_i\,\mathrm{Ric}(e_i,e_i)$（$\varepsilon_i=g(e_i,e_i)=\pm1$）となる。
リッチテンソルの計量に関するトレース、すなわち関数
$$
S:=\operatorname{tr}_g\mathrm{Ric}=\operatorname{tr}Q=g^{ij}R_{ij}=R^i{}_i
$$
を $(M,g)$ のスカラー曲率（scalar curvature）という。$T_pM$ の正規直交基底 $e_1,\dots,e_n$ をとれば
$$
S(p)=\sum_{i=1}^n\mathrm{Ric}(e_i,e_i)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ng(R(e_j,e_i)e_i,e_j)
$$
である。文献によっては $R$、$\mathrm{Scal}$、$\mathrm{sc}$ とも書かれる。$S$ は $M$ 上の滑らかな関数であり、等長写像で保たれる。
直感
スカラー曲率は、曲率テンソルを2回縮約して得られる、各点で1つの実数だけをもつ最も粗い曲率である。prop-scal-sectional により、$S(p)$ は $p$ における正規直交基底が張る $n(n-1)$ 個（順序対）の平面の断面曲率の和であり、したがって全 2 次元方向にわたる断面曲率の平均の $n(n-1)$ 倍でもある（後者は本記事では証明しない）。2 次元ではGauss曲率 $K$ の 2 倍に等しく（prop-scal-dim-two）、球面で正、Euclid 空間で $0$、双曲空間で負である。情報量は曲率テンソルに比べて大きく落ちるが、スカラー関数なので扱いやすく、小さな測地球の体積の Euclid 空間からのずれ、Gauss–Bonnet の定理（2 次元）、一般相対性理論のEinstein–Hilbert作用、Yamabe問題など、スカラー曲率だけで決まる現象や問題は多い（Lee18 Ch. 7・9、Wald84 Appendix E、Bes87 Ch. 4）。
例と反例
2 次元では $S=2K$ である（prop-scal-dim-two）。例えば局所座標で $g=dr^2+f(r)^2d\theta^2$ と書ける計量では $K=-f''/f$（断面曲率）なので $S=-2f''/f$ であり、$f(r)=r+r^3$ なら $S=-12/(1+r^2)$ である。コンパクト空間で境界のない向き付けられた曲面 $M$ に対しては Gauss–Bonnetの定理 により $\int_MS\,dA=2\int_MK\,dA=4\pi\chi(M)$（$\chi(M)$ はEuler標数）が成り立つ（Lee18 Ch. 9）。
prop-scal-product より、積多様体 $(M_1\times M_2,g_1\oplus g_2)$ のスカラー曲率は $S=S_1\circ\mathrm{pr}_1+S_2\circ\mathrm{pr}_2$ である。$S^2\times S^2$（各因子は半径 $1$）では $S=2+2=4$、$S^2\times\mathbb{R}$ では $S=2$、$S^2\times H^2$（$S^2$ は半径 $1$、$H^2$ は曲率 $-1$）では $S=2-2=0$ である。
$S^2\times H^2$ は $S\equiv0$ であるが、$S^2$ に接する平面の断面曲率は $1$ なので $R\neq0$ であり、平坦ではない（リーマン曲率テンソル）。さらにリッチテンソルは $\mathrm{Ric}=g_1\oplus(-g_2)$ で $0$ でない（リッチテンソル）。すなわち $S=0$ は $\mathrm{Ric}=0$ も $R=0$ も含意しない。逆向きの「$R=0$ ⇒ $\mathrm{Ric}=0$ ⇒ $S=0$」は定義から明らかである。また、Schwarzschild計量のように $\mathrm{Ric}=0$（したがって $S=0$）でも $R\neq0$ の例がある（リッチテンソル）。
性質
$T_pM$ の正規直交基底 $e_1,\dots,e_n$ に対し
$$
S(p)=\sum_{i\neq j}K(e_i,e_j)=2\sum_{i< j}K(e_i,e_j)
$$
である。ここで $K(e_i,e_j)$ は $e_i,e_j$ の張る平面の断面曲率である。特に $S$ は基底の取り方によらず定まる関数である。
$\dim M=2$ のとき、$K$ を接平面の断面曲率（Gauss曲率）とすると
$$
S=2K,\qquad \mathrm{Ric}=K\,g=\frac S2\,g
$$
である。局所座標では $S=\dfrac{2R_{1212}}{g_{11}g_{22}-g_{12}^2}$ である。
正規直交基底 $e_1,e_2$ に対し、prop-scal-sectional より $S=K(e_1,e_2)+K(e_2,e_1)=2K$ である。$\mathrm{Ric}=Kg$ は リッチテンソル の記事の例で示されている。局所座標での表示は $K=R_{1212}/(g_{11}g_{22}-g_{12}^2)$（断面曲率）による。$\square$
点 $p$ で $T_pM$ のすべての平面の断面曲率が $c$ に等しいなら $S(p)=n(n-1)c$ である。
prop-scal-sectional の右辺で $K(e_i,e_j)=c$ とおくと、順序対 $(i,j)$、$i\neq j$ の個数は $n(n-1)$ である。あるいは $\mathrm{Ric}=(n-1)c\,g$（リッチテンソル）のトレースをとれば $S=(n-1)c\operatorname{tr}_gg=n(n-1)c$ である。$\square$
$(M_1\times M_2,g_1\oplus g_2)$ のスカラー曲率は $S=S_1\circ\mathrm{pr}_1+S_2\circ\mathrm{pr}_2$ である。
$T_pM_1$ の正規直交基底 $e_1,\dots,e_m$ と $T_qM_2$ の正規直交基底 $f_1,\dots,f_k$ を合わせたものは $T_{(p,q)}(M_1\times M_2)$ の正規直交基底である。積多様体のリッチテンソルは $\mathrm{Ric}=\mathrm{pr}_1^*\mathrm{Ric}_1+\mathrm{pr}_2^*\mathrm{Ric}_2$ なので（リッチテンソル）、$\mathrm{Ric}(e_i,e_i)=\mathrm{Ric}_1(e_i,e_i)$、$\mathrm{Ric}(f_\alpha,f_\alpha)=\mathrm{Ric}_2(f_\alpha,f_\alpha)$ であり、これらを加えれば $S(p,q)=S_1(p)+S_2(q)$ である。$\square$
局所座標に関して
$$
\nabla_jS=2\nabla_aR^a{}_j,\qquad\text{すなわち}\qquad dS=2\operatorname{div}\mathrm{Ric}
$$
が成り立つ。ここで発散 $(\operatorname{div}\mathrm{Ric})_j:=\nabla_aR^a{}_j=g^{ab}\nabla_aR_{bj}$ である。同じことをEinsteinテンソル $G:=\mathrm{Ric}-\frac S2g$ で言えば $\operatorname{div}G=0$、すなわち $\nabla_aG^a{}_j=0$ である。
縮約された第2Bianchi恒等式（リッチテンソル）$\nabla_aR^a{}_{ijk}=\nabla_jR_{ki}-\nabla_kR_{ji}$ の両辺に $g^{ik}$ を掛けて縮約する。共変微分は縮約および $g$ による添字の上げ下げと可換なので（$\nabla g=0$、テンソル解析）、右辺は $\nabla_j(g^{ik}R_{ki})-\nabla_k(g^{ik}R_{ji})=\nabla_jS-\nabla_aR^a{}_j$ である。左辺については、$g^{ik}R^a{}_{ijk}=g^{ik}g^{ab}R_{bijk}$ であり、曲率テンソルの対称性 $R_{bijk}=R_{ibkj}$（前後の2引数の反対称性を2回）と $R_{ij}=g^{ab}R_{ajbi}$、すなわち $g^{ik}R_{ibkj}=R^k{}_{bkj}=R_{jb}$ から、$g^{ik}R^a{}_{ijk}=g^{ab}R_{jb}=R^a{}_j$ となり、左辺は $\nabla_aR^a{}_j$ である。よって $\nabla_aR^a{}_j=\nabla_jS-\nabla_aR^a{}_j$、すなわち $\nabla_jS=2\nabla_aR^a{}_j$ を得る。Einstein テンソルについては $\nabla_aG^a{}_j=\nabla_aR^a{}_j-\frac12\nabla_jS=0$ である。$\square$
$M$ を連結空間、$n=\dim M\ge3$ とし、関数 $\lambda\colon M\to\mathbb{R}$ について各点で $\mathrm{Ric}=\lambda g$ が成り立つとする。このとき $\lambda$ は定数であり、$(M,g)$ はEinstein多様体である。同様に、$n\ge3$ で各点 $p$ において $T_pM$ のすべての平面の断面曲率が $p$ だけによる値 $c(p)$ をとるなら、$c$ は定数であり $(M,g)$ は定曲率空間である。
$\mathrm{Ric}=\lambda g$ のトレースをとると $S=n\lambda$ である。また $\nabla_aR^a{}_j=\nabla_a(\lambda\delta^a_j)=\partial_j\lambda$ である（$\nabla\delta=0$）。prop-scal-contracted-bianchi より $n\,\partial_j\lambda=\partial_jS=2\partial_j\lambda$、すなわち $(n-2)\,d\lambda=0$ である。$n\ge3$ なので $d\lambda=0$ であり、$M$ が連結なので $\lambda$ は定数である。後半は、各点で $\mathrm{Ric}_p=(n-1)c(p)g_p$（リッチテンソル）なので前半を $\lambda=(n-1)c$ に適用すればよい。$\square$
補足
スカラー曲率をリッチテンソルの縮約で定める点はすべての文献で共通であり、曲率テンソルの符号の流儀（リーマン曲率テンソル）によらず球面で正になる。ただし、正規化として $S/(n(n-1))$（すべての断面曲率の平均、定曲率 $c$ の空間で $c$ になる）や $S/2$ を用いる文献もある。一般相対性理論では、4 次元 Lorentz計量をもつ時空上のEinstein方程式 $R_{\mu\nu}-\frac12Sg_{\mu\nu}=8\pi T_{\mu\nu}$ のトレースをとると $S=-8\pi T$（$T:=g^{\mu\nu}T_{\mu\nu}$）となり、特に真空では $S=0$ である。また、真空の Einstein 方程式が $\int_MS\,dV_g$（Einstein–Hilbert 作用）の変分から導かれる（物質項は物質の作用を加えて得る）（Wald84 Ch. 4、Appendix E）。
点 $p$ を中心とする半径 $r$ の測地球の体積は、$r\to0$ で Euclid 空間の球の体積 $\omega_nr^n$ に $1-\dfrac{S(p)}{6(n+2)}r^2+O(r^4)$ を掛けたものに等しく、スカラー曲率は小さな球の体積の Euclid 空間からのずれの主要項を与える（Bes87 Ch. 0、Gra73）。与えられた閉多様体上で、共形類の中にスカラー曲率が定数の計量が存在するかという Yamabe 問題は、Trudinger・Aubin・Schoen の仕事により肯定的に解決された（Bes87 Ch. 4、Lee18 Ch. 7）。また、閉多様体がどのようなスカラー曲率をもつ計量を許すかは、正のスカラー曲率をもつ計量の存在問題として微分位相幾何学と結びつく（LM89 Ch. IV）。
関連項目
- 前提: リーマン多様体, リーマン曲率テンソル, リッチテンソル, トレース, テンソル解析
- 比較: 断面曲率, Gauss曲率
- 発展: Einstein多様体, 共形変換, 時空, Warped積多様体, リーマン幾何学
参考文献
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