射影変換と複比

同義語：projective transformations and cross-ratio

概要

前提知識: 位置ベクトルと内分点, 直線の方程式と点と直線の距離, 三角形の面積の公式, 分数型の漸化式と1次分数変換

高校での出発点：1 点から見た 4 本の直線を別の直線で切る

窓ガラスに景色を写し取ることを考える。目の位置を点 $O$ とし、景色の中の点 $X$ と目を結ぶ直線がガラスと交わる点に $X$ を写す。これを平面の中で考えると、1 本の直線 $\ell$ の上の点を、点 $O$ を通る直線に沿って別の直線 $\ell'$ の上に移すことになる。このような移し方を透視（中心射影）という。透視では、線分の長さも長さの比も変わってしまう。ところが、4 点を使って作るある量だけは変わらない。まず座標で確かめる。

長さの比は変わる

原点 $O$ を通る 4 本の直線 $y=2x$、$y=x$、$y=\dfrac12x$、$y=\dfrac14x$ を考える。
(1) 直線 $\ell$：$y=2$ との交点は、$y=2$ を代入して $A=(1,2)$、$B=(2,2)$、$C=(4,2)$、$D=(8,2)$ である。$x$ 座標は $1,2,4,8$ で、$AB:BC:CD=1:2:4$ である。
(2) 直線 $\ell'$：$x=2$ との交点は、$x=2$ を代入して $A'=(2,4)$、$B'=(2,2)$、$C'=(2,1)$、$D'=\left(2,\dfrac12\right)$ である。$y$ 座標は $4,2,1,\dfrac12$ で、$A'B':B'C':C'D'=2:1:\dfrac12=4:2:1$ である。
(3) $\ell$ では $B$ は線分 $AC$ を $1:2$ に内分するが、$\ell'$ では $B'$ は線分 $A'C'$ を $2:1$ に内分する。$O$ から見ると同じ 4 本の直線の上の点なのに、長さの比は変わっている。

変わらない量

ex-pcr-start の 2 組の 4 点で、$C$ と $D$ が線分 $AB$ を分ける比を、向きも込めて計算する（線分の内部で分けるなら正、外部なら負。位置ベクトルと内分点）。
(1) $\ell$ の上では $x$ 座標を使う。$C$ は $\overrightarrow{AC}=(3,0)$、$\overrightarrow{CB}=(-2,0)$ なので $\dfrac{AC}{CB}=-\dfrac32$、$D$ は $\overrightarrow{AD}=(7,0)$、$\overrightarrow{DB}=(-6,0)$ なので $\dfrac{AD}{DB}=-\dfrac76$ である。2 つの比の比は
$$ \frac{AC}{CB}\mathbin{÷}\frac{AD}{DB}=\left(-\frac32\right)\mathbin{÷}\left(-\frac76\right)=\frac32\cdot\frac67=\frac97 $$
である。
(2) $\ell'$ の上では $y$ 座標を使う。$\overrightarrow{A'C'}=(0,-3)$、$\overrightarrow{C'B'}=(0,1)$ なので $\dfrac{A'C'}{C'B'}=-3$、$\overrightarrow{A'D'}=\left(0,-\dfrac72\right)$、$\overrightarrow{D'B'}=\left(0,\dfrac32\right)$ なので $\dfrac{A'D'}{D'B'}=-\dfrac73$ である。2 つの比の比は
$$ \frac{A'C'}{C'B'}\mathbin{÷}\frac{A'D'}{D'B'}=(-3)\mathbin{÷}\left(-\frac73\right)=\frac97 $$
で、(1) と同じ値になる。

原点 O を通る 4 本の直線（灰色の破線）を、直線 ℓ：y = 2（青）、ℓ′：x = 2（赤）、ℓ″：y = −1（緑）で切る。どの直線で切っても、4 つの交点の複比は 9/7 になる
ex-pcr-start-invariant の値 $\dfrac97$ を、4 点の複比という。この記事では次の問いに答える。

複比が透視で変わらないのはなぜか。→ thm-pcr-perspective、prf-pcr-area
透視を座標の式で書くと、どんな関数になるか。→ prop-pcr-fractional、thm-pcr-fractional
円周上の 4 点を、円周上の別の点から見るとどうなるか。→ 円周上の4点の複比

3 点の行き先を決めると、変換はいくつあるか。→ thm-pcr-three-points

高校の計算・定理	この記事の言葉	大学の言葉
内分・外分の比	2 つの分け方の比の比（複比）	射影直線の上の不変量
三角形の面積 $\dfrac12\lvert x_1y_2-x_2y_1\rvert$	符号付き面積 $D(\boldsymbol u,\boldsymbol v)$	2 次の行列式
1 次分数関数 $\dfrac{px+q}{rx+s}$	透視を座標で書いた式	射影変換、$2\times2$ 行列の群の作用
円周角の定理	円周上の4点の複比	2 次曲線の上の複比
平行な 2 直線	行き先がない点	無限遠点

取り出す構造：直線上の 4 点の複比

直線の上の点に座標を入れる。直線 $\ell$ の上の点 $P_0$ と、$\ell$ の向きの $\vec 0$ でないベクトル $\boldsymbol u$ を 1 つずつ選ぶと、$\ell$ の上の点 $X$ は、ただ 1 つの実数 $x$ を使って（位置ベクトルで）$X=P_0+x\boldsymbol u$ と書ける（直線の方程式と点と直線の距離）。この $x$ を $X$ の座標という。ex-pcr-start の $\ell$ では $P_0=(0,2)$、$\boldsymbol u=(1,0)$ として $x$ 座標が、$\ell'$ では $P_0=(2,0)$、$\boldsymbol u=(0,1)$ として $y$ 座標が、この意味の座標になっている。

直線上の 4 点の複比

直線の上の相異なる 4 点 $A,B,C,D$ の座標を $a,b,c,d$ とする。
$$ (A,B;C,D):=\frac{(a-c)(b-d)}{(a-d)(b-c)} $$
を 4 点の複比という。4 点が相異なるので分母は $0$ でない。

分子と分母の因数の並び方は、「$A$ と $C$、$B$ と $D$」の差が分子に、「$A$ と $D$、$B$ と $C$」の差が分母に来ると覚えるとよい。この並べ方は、円周角の定理（高校数学）で複素数の 4 点に定めた複比と同じである。

複比は座標の選び方によらず、分け方の比の比に等しい

直線の上の相異なる 4 点 $A,B,C,D$ について、次が成り立つ。

$(A,B;C,D)$ の値は、座標を定める $P_0$ と $\boldsymbol u$ の選び方によらない。
符号つきの比（$\overrightarrow{XZ}=t\,\overrightarrow{ZY}$ となる実数 $t$ を $\dfrac{XZ}{ZY}$ と書く）を使うと
$$ (A,B;C,D)=\frac{AC}{CB}\mathbin{÷}\frac{AD}{DB} $$
である。

差がそろって何倍になるかを見る

方針：1 は、座標を取り替えると差がすべて同じ数倍になり、約分されることを示す。2 は、符号つきの比を座標の差で書いて、定義の式と比べる。
段 1（取り替えた座標の関係）。別の点 $P_1$ と、$\ell$ の向きの別のベクトル $\boldsymbol u_1$ を選ぶ。$\boldsymbol u_1$ は $\boldsymbol u$ と平行なので $\boldsymbol u_1=k\boldsymbol u$（$k\ne0$）と書け、$P_1$ は $\ell$ の上にあるので $P_1=P_0+m\boldsymbol u$ と書ける。$X=P_1+x_1\boldsymbol u_1$ なら $X=P_0+(m+kx_1)\boldsymbol u$ なので、古い座標は $x=m+kx_1$ である。
段 2（1 の証明）。段 1 から、2 点の座標の差は $x-y=k(x_1-y_1)$ となる。定義の式の分子と分母は、どちらも差を 2 つ掛けたものなので、どちらも $k^2$ 倍になり、比は変わらない。
段 3（2 の証明）。$\overrightarrow{AC}=(c-a)\boldsymbol u$、$\overrightarrow{CB}=(b-c)\boldsymbol u$ なので $\dfrac{AC}{CB}=\dfrac{c-a}{b-c}$ である。同じく $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{d-a}{b-d}$ である。よって
$$ \frac{AC}{CB}\mathbin{÷}\frac{AD}{DB}=\frac{c-a}{b-c}\cdot\frac{b-d}{d-a}=\frac{(c-a)(b-d)}{(b-c)(d-a)} $$
である。分子の $c-a$ を $-(a-c)$ に、分母の $d-a$ を $-(a-d)$ に書き換えると、符号 $-1$ が分子と分母に 1 つずつ出て約分され、$\dfrac{(a-c)(b-d)}{(a-d)(b-c)}=(A,B;C,D)$ となる。$\square$

複比を計算する

ex-pcr-start の $\ell$ の上の 4 点では、座標 $1,2,4,8$ から
$$ (A,B;C,D)=\frac{(1-4)(2-8)}{(1-8)(2-4)}=\frac{(-3)(-6)}{(-7)(-2)}=\frac{18}{14}=\frac97 $$
である。$\ell'$ の上の 4 点では、座標 $4,2,1,\dfrac12$ から
$$ (A',B';C',D')=\frac{(4-1)\left(2-\frac12\right)}{\left(4-\frac12\right)(2-1)}=\frac{3\cdot\frac32}{\frac72}=\frac97 $$
である。どちらも ex-pcr-start-invariant の値に一致する。
数直線の上の $A=0$、$B=3$、$C=1$、$D=-3$ では
$$ (A,B;C,D)=\frac{(0-1)(3-(-3))}{(0-(-3))(3-1)}=\frac{-6}{6}=-1 $$
である。$C$ は線分 $AB$ を $1:2$ に内分し、$D$ は $1:2$ に外分する。複比が $-1$ になる 4 点を 調和点列 という（調和点列）。三角形の角の内角と外角の二等分線が対辺の直線と交わる 2 点は、対辺の両端に対して複比 $-1$ の位置にある（角の二等分線の定理の命題「2 本の二等分線の足は調和共役」）。
同じ 4 点を並べ替えると値が変わる。$(A,C;B,D)=\dfrac{(0-3)(1-(-3))}{(0-(-3))(1-3)}=\dfrac{-12}{-6}=2$ である。複比は 4 点の 順序つきの組 に対する量である。

主定理 1：透視で複比は変わらない

透視（中心射影）

点 $O$ と、$O$ を通らない 2 本の直線 $\ell$、$\ell'$ をとる。$\ell$ の上の点 $X$ に対し、直線 $OX$ が $\ell'$ と交わるとき、その交点 $X'$ を $X$ に対応させる。この対応 $X\mapsto X'$ を、$O$ を中心とする $\ell$ から $\ell'$ への透視（中心射影）という。直線 $OX$ が $\ell'$ と平行なときは、$X$ の行き先はない。

ex-pcr-start は、原点を中心とする $\ell$：$y=2$ から $\ell'$：$x=2$ への透視で、$A,B,C,D$ が $A',B',C',D'$ に移る様子であった。証明の道具として、ベクトルの 符号付き面積 を使う。平面ベクトル $\boldsymbol u=(u_1,u_2)$、$\boldsymbol v=(v_1,v_2)$ に対して
$$ D(\boldsymbol u,\boldsymbol v):=u_1v_2-u_2v_1 $$
とおく。$\lvert D(\boldsymbol u,\boldsymbol v)\rvert$ は $\boldsymbol u$、$\boldsymbol v$ の張る平行四辺形の面積であり、三角形の面積の公式 $S=\dfrac12\lvert x_1y_2-x_2y_1\rvert$ の絶対値の中身である（三角形の面積の公式、1次変換と行列式：面積の拡大率）。$D(\boldsymbol u,\boldsymbol v)=0$ は $\boldsymbol u$ と $\boldsymbol v$ が平行（どちらかが $\vec0$ の場合を含む）であることと同値である。成分で展開すると、次の計算規則が確かめられる：$D(\boldsymbol v,\boldsymbol u)=-D(\boldsymbol u,\boldsymbol v)$、$D(\boldsymbol u,\boldsymbol u)=0$、$D(\alpha\boldsymbol u,\gamma\boldsymbol v)=\alpha\gamma D(\boldsymbol u,\boldsymbol v)$、$D(\boldsymbol u+\boldsymbol w,\boldsymbol v)=D(\boldsymbol u,\boldsymbol v)+D(\boldsymbol w,\boldsymbol v)$（右側の変数についても同じ）。

直線上の 2 点の符号付き面積

原点 $O$ を通らない直線 $\ell$ の上の点を $X=P_0+x\boldsymbol u$ と座標で表し、$k:=D(P_0,\boldsymbol u)$ とおく。このとき $k\ne0$ であり、$\ell$ の上の 2 点 $X=P_0+x\boldsymbol u$、$Y=P_0+y\boldsymbol u$ について
$$ D(X,Y)=(y-x)\,k $$
が成り立つ（$X$、$Y$ は原点からの位置ベクトルとみる）。

展開して同じ項を消す

方針：$D$ の計算規則で $D(X,Y)$ を 4 つの項に分け、$0$ になる項を消す。$k\ne0$ は背理法で示す。
段 1（$k\ne0$）。$k=0$ とすると、$\boldsymbol u\ne\vec0$ なので $P_0$ は $\boldsymbol u$ と平行で、$P_0=\lambda\boldsymbol u$ と書ける。すると $\ell$ の上の座標 $-\lambda$ の点は $P_0-\lambda\boldsymbol u=\vec0$、つまり原点になり、$\ell$ が原点を通らないことに反する。よって $k\ne0$ である。
段 2（展開）。計算規則により
$$ D(P_0+x\boldsymbol u,\ P_0+y\boldsymbol u)=D(P_0,P_0)+y\,D(P_0,\boldsymbol u)+x\,D(\boldsymbol u,P_0)+xy\,D(\boldsymbol u,\boldsymbol u) $$
である。
段 3（整理）。$D(P_0,P_0)=0$、$D(\boldsymbol u,\boldsymbol u)=0$、$D(\boldsymbol u,P_0)=-D(P_0,\boldsymbol u)=-k$ なので、右辺は $yk-xk=(y-x)k$ である。$\square$

補題を数値で確かめる

ex-pcr-start の $\ell$：$y=2$ で $P_0=(0,2)$、$\boldsymbol u=(1,0)$ とすると $k=D(P_0,\boldsymbol u)=0\cdot0-2\cdot1=-2$ である。$A=(1,2)$、$C=(4,2)$ では $D(A,C)=1\cdot2-2\cdot4=-6$ で、補題の右辺 $(4-1)\cdot(-2)=-6$ と一致する。

透視で複比は変わらない

点 $O$ を通る相異なる 4 本の直線 $a,b,c,d$ と、$O$ を通らない 2 本の直線 $\ell$、$\ell'$ をとる。$\ell$ が 4 本の直線と点 $A,B,C,D$ で交わり、$\ell'$ が点 $A',B',C',D'$ で交わるとき
$$ (A,B;C,D)=(A',B';C',D') $$
である。

$A,B,C,D$ は相異なる。実際、たとえば $A=B$ なら、この点は直線 $a$ と $b$ の共有点なので $O$ に等しくなり、$\ell$ が $O$ を通らないことに反する。$A',B',C',D'$ も同じである。

高校数学で解く：符号付き面積で複比を書き直す

方針：$O$ を原点にとる。lem-pcr-det で座標の差を符号付き面積に置き換えると、複比は「$O$ から見た 4 つの位置ベクトル」だけで書ける。$A'$ は $A$ の実数倍なので、その倍率は約分されて消える。
段 1（複比を符号付き面積で書く）。$\ell$ の上の座標を $X=P_0+x\boldsymbol u$ で定め、$k=D(P_0,\boldsymbol u)$ とする。lem-pcr-det により $c-a=\dfrac{D(A,C)}k$、$d-b=\dfrac{D(B,D)}k$、$d-a=\dfrac{D(A,D)}k$、$c-b=\dfrac{D(B,C)}k$ である。定義の式の分子の 2 つの差をどちらも逆向きに書くと、符号は $(-1)^2=1$ で変わらない。分母の 2 つの差も同じである。よって
$$ (A,B;C,D)=\frac{(c-a)(d-b)}{(d-a)(c-b)}=\frac{D(A,C)\,D(B,D)}{D(A,D)\,D(B,C)} $$
である（分子と分母の $k^2$ が約分された）。$\ell'$ についても同じく
$$ (A',B';C',D')=\frac{D(A',C')\,D(B',D')}{D(A',D')\,D(B',C')} $$
である。
段 2（$A'$ は $A$ の実数倍）。$A'$ は $O$ と $A$ を通る直線 $a$ の上にあり、$O$ と異なる（$\ell'$ は $O$ を通らない）。原点を通る直線の上の点は位置ベクトルの実数倍なので、$A'=\alpha A$（$\alpha\ne0$）と書ける（位置ベクトルと内分点）。同じく $B'=\beta B$、$C'=\gamma C$、$D'=\delta D$（$\beta,\gamma,\delta\ne0$）である。
段 3（倍率が消える）。計算規則 $D(\alpha\boldsymbol u,\gamma\boldsymbol v)=\alpha\gamma D(\boldsymbol u,\boldsymbol v)$ により
$$ \frac{D(A',C')\,D(B',D')}{D(A',D')\,D(B',C')}=\frac{\alpha\gamma\,\beta\delta\,D(A,C)\,D(B,D)}{\alpha\delta\,\beta\gamma\,D(A,D)\,D(B,C)}=\frac{D(A,C)\,D(B,D)}{D(A,D)\,D(B,C)} $$
である。分母が $0$ でないのは、たとえば $A$ と $D$ が異なる直線 $a$、$d$ の上にあって $O$ と異なるので、$A$ と $D$ が平行でないからである。段 1 と合わせて $(A,B;C,D)=(A',B';C',D')$ を得る。$\square$

段 3 で、倍率 $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ の符号は何も使っていない。したがって、$\ell'$ が $O$ の反対側で直線を切る場合にも定理は成り立つ。

$O$ の反対側で切る

ex-pcr-start の 4 本の直線を、直線 $\ell''$：$y=-1$ で切る（図 1 の緑）。交点はどれも $O$ から見て $A,B,C,D$ と反対側にあるが、複比はやはり $\dfrac97$ である。

計算を開く

ex-pcr-start の 4 本の直線を、直線 $\ell''$：$y=-1$ で切る（図 1 の緑）。$y=-1$ を代入すると、交点は $A''=\left(-\dfrac12,-1\right)$、$B''=(-1,-1)$、$C''=(-2,-1)$、$D''=(-4,-1)$ で、どれも $O$ から見て $A,B,C,D$ と反対側にある（$A''=-\dfrac12A$ など、倍率が負）。$x$ 座標で複比を計算すると$$(A'',B'';C'',D'')=\frac{\left(-\frac12+2\right)(-1+4)}{\left(-\frac12+4\right)(-1+2)}=\frac{\frac32\cdot3}{\frac72}=\frac97$$で、やはり同じ値である。

4 本の直線の複比と正弦

prf-pcr-area の段 1 の右辺は、$\ell$ を使わずに、$O$ を通る 4 本の直線だけで決まる。実際、4 本の直線の向きのベクトル $\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c,\boldsymbol d$ を 1 つずつ選んで
$$ [\boldsymbol a,\boldsymbol b;\boldsymbol c,\boldsymbol d]:=\frac{D(\boldsymbol a,\boldsymbol c)\,D(\boldsymbol b,\boldsymbol d)}{D(\boldsymbol a,\boldsymbol d)\,D(\boldsymbol b,\boldsymbol c)} $$
とおくと、段 3 と同じ計算で、ベクトルを $0$ でない実数倍に取り替えても値は変わらない。これを 4 本の直線の複比 という。thm-pcr-perspective は、「4 本の直線の複比は、どの直線で切って測っても同じ」と言い換えられる。

正弦で書いた形を開く

$\boldsymbol u$ から $\boldsymbol v$ へ反時計回りに測った角を $\varphi$ とすると $D(\boldsymbol u,\boldsymbol v)=\lvert\boldsymbol u\rvert\lvert\boldsymbol v\rvert\sin\varphi$ である（1次変換と行列式：面積の拡大率の命題「符号付き面積の意味」）。長さの積は分子と分母で約分されるので、$\boldsymbol a$ から $\boldsymbol c$ への角を $\varphi_{ac}$ などと書くと$$[\boldsymbol a,\boldsymbol b;\boldsymbol c,\boldsymbol d]=\frac{\sin\varphi_{ac}\,\sin\varphi_{bd}}{\sin\varphi_{ad}\,\sin\varphi_{bc}}$$である。三角形の面積の公式 $\dfrac12OA\cdot OC\sin\angle AOC$ を使って、三角形 $OAC$ と $OBD$ の面積の積を、三角形 $OAD$ と $OBC$ の面積の積で割ると、長さ $OA,OB,OC,OD$ が約分されて、正弦だけのこの形（向きを考えない形）が現れる。

4 本の直線の複比を計算する

ex-pcr-start の 4 本の直線の向きで、4 本の直線の複比を計算すると $\dfrac97$ になり、ex-pcr-cross-ratio-calc の値と一致する。

計算を開く

ex-pcr-start の 4 本の直線の向きを $\boldsymbol a=(1,2)$、$\boldsymbol b=(1,1)$、$\boldsymbol c=(2,1)$、$\boldsymbol d=(4,1)$ とする。$D(\boldsymbol a,\boldsymbol c)=1-4=-3$、$D(\boldsymbol b,\boldsymbol d)=1-4=-3$、$D(\boldsymbol a,\boldsymbol d)=1-8=-7$、$D(\boldsymbol b,\boldsymbol c)=1-2=-1$ なので$$[\boldsymbol a,\boldsymbol b;\boldsymbol c,\boldsymbol d]=\frac{(-3)(-3)}{(-7)(-1)}=\frac97$$で、ex-pcr-cross-ratio-calc の値と一致する。$\boldsymbol a$ を $-\boldsymbol a=(-1,-2)$ に取り替えると、$D(\boldsymbol a,\boldsymbol c)$ と $D(\boldsymbol a,\boldsymbol d)$ がともに符号を変えるので、値は変わらない。

主定理 2：透視を式で書くと 1 次分数関数

透視で $\ell$ の点の座標 $t$ が、$\ell'$ の点の座標 $t'$ に移るとする。$t'$ を $t$ の式で表してみる。

透視を式で書く

ex-pcr-start の、原点を中心とする $\ell$：$y=2$ から $\ell'$：$x=2$ への透視を考える。$\ell$ の点 $(t,2)$（$t\ne0$）と原点を結ぶ直線は $y=\dfrac2tx$ で、$x=2$ を代入すると $y=\dfrac4t$ である。$\ell'$ の座標を $y$ 座標にとると
$$ t'=\frac4t $$
である。$t=1,2,4,8$ を代入すると $t'=4,2,1,\dfrac12$ で、ex-pcr-start の $A',B',C',D'$ に一致する。$t=0$ の点 $(0,2)$ と原点を結ぶ直線は $y$ 軸で、$\ell'$ と平行なので行き先がない。
$t'=\dfrac4t$ を $\dfrac{pt+q}{rt+s}$ の形に書くと $p=0$、$q=4$、$r=1$、$s=0$ で、$ps-qr=0\cdot0-4\cdot1=-4\ne0$ である。

$t'=\dfrac4t$ は、分数型の漸化式と1次分数変換で扱った 1 次分数関数 $\dfrac{pt+q}{rt+s}$（$ps-qr\ne0$）の形をしている（ex-pcr-formula-first の最後の行）。これは偶然ではない。

透視は 1 次分数関数

原点 $O$ を通らない 2 本の直線 $\ell$、$\ell'$ の上に、それぞれ座標 $X=P_0+t\boldsymbol u$、$Y=Q_0+t'\boldsymbol v$ を入れる。
$$ p:=D(Q_0,\boldsymbol u),\quad q:=D(Q_0,P_0),\quad r:=D(\boldsymbol u,\boldsymbol v),\quad s:=D(P_0,\boldsymbol v) $$
とおく。このとき次が成り立つ。

$rt+s=0$ となる $t$ は高々 1 つで、そのような $t$ の点 $X$ では直線 $OX$ が $\ell'$ と平行である。
$rt+s\ne0$ のとき、原点を中心とする透視は座標 $t$ の点を座標
$$ t'=\frac{pt+q}{rt+s} $$
の点に移す。
$ps-qr\ne0$ である。

平行の条件を符号付き面積で書く

方針：「$Y$ が直線 $OX$ の上にある」ことを「$Y$ と $X$ が平行」、つまり $D(Y,X)=0$ と書き、$t'$ について解く。3 は、透視が異なる点を異なる点に移すことから背理法で示す。
段 1（1）。$D(X,\boldsymbol v)=D(P_0+t\boldsymbol u,\boldsymbol v)=D(P_0,\boldsymbol v)+t\,D(\boldsymbol u,\boldsymbol v)=rt+s$ である。これが $0$ であることは、$X$ と $\boldsymbol v$ が平行、つまり直線 $OX$ が $\ell'$ と平行であることと同じである。$r=s=0$ とすると、$\boldsymbol u$ と $\boldsymbol v$ が平行、$P_0$ と $\boldsymbol v$ が平行なので、$P_0$ と $\boldsymbol u$ が平行になり、lem-pcr-det の $D(P_0,\boldsymbol u)\ne0$ に反する。よって $rt+s$ は $t$ の $0$ でない 1 次以下の式で、$0$ になる $t$ は高々 1 つである。
段 2（2）。$X\ne O$ なので、$Y$ が直線 $OX$ の上にあることは $D(Y,X)=0$ と同値である。計算規則で展開すると
$$ D(Q_0+t'\boldsymbol v,\ P_0+t\boldsymbol u)=D(Q_0,P_0)+t\,D(Q_0,\boldsymbol u)+t'D(\boldsymbol v,P_0)+tt'D(\boldsymbol v,\boldsymbol u)=q+pt-t'(s+rt) $$
である（$D(\boldsymbol v,P_0)=-s$、$D(\boldsymbol v,\boldsymbol u)=-r$）。よって $D(Y,X)=0$ は $t'(rt+s)=pt+q$ と同値で、$rt+s\ne0$ なら $t'=\dfrac{pt+q}{rt+s}$ である。
段 3（3）。$ps-qr=0$ と仮定する。後の prf-pcr-fractional-thm の段 1 で示す差の公式（その証明はこの命題を使わない）により、$rt_1+s\ne0$、$rt_2+s\ne0$ となる $t_1\ne t_2$ について、像の座標は等しくなる。段 1 からそのような $t_1,t_2$ はとれる。ところが、$\ell$ の異なる 2 点 $X_1,X_2$ を通る直線 $OX_1$、$OX_2$ は異なり（$O$ は $\ell$ の上にないので、$\ell$ と 2 点で交わる直線は $\ell$ 自身だけである）、像は異なる 2 本の直線の上の $O$ でない点なので異なる。これは矛盾であり、$ps-qr\ne0$ である。$\square$

公式で透視を求める

(1) 最初の透視を公式で求め直す

(1) ex-pcr-formula-first では $P_0=(0,2)$、$\boldsymbol u=(1,0)$、$Q_0=(2,0)$、$\boldsymbol v=(0,1)$ で、$p=D(Q_0,\boldsymbol u)=2\cdot0-0\cdot1=0$、$q=D(Q_0,P_0)=2\cdot2-0\cdot0=4$、$r=D(\boldsymbol u,\boldsymbol v)=1\cdot1-0\cdot0=1$、$s=D(P_0,\boldsymbol v)=0\cdot1-2\cdot0=0$ である。$t'=\dfrac4t$ が再び得られる。

$\ell$：$y=2$ から直線 $\ell'''$：$x+y=6$ への透視では、$\ell'''$ の点を $Q_0+t'\boldsymbol v=(t',6-t')$（$Q_0=(0,6)$、$\boldsymbol v=(1,-1)$）と表す。$p=0\cdot0-6\cdot1=-6$、$q=0\cdot2-6\cdot0=0$、$r=1\cdot(-1)-0\cdot1=-1$、$s=0\cdot(-1)-2\cdot1=-2$ なので
$$ t'=\frac{-6t}{-t-2}=\frac{6t}{t+2},\qquad ps-qr=12 $$
である。$t=1,2,4,8$ の点は $t'=2,3,4,\dfrac{24}5$ の点、つまり $(2,4)$、$(3,3)$、$(4,2)$、$\left(\dfrac{24}5,\dfrac65\right)$ に移る。$t=-2$ の点 $(-2,2)$ では、直線 $OX$ が $y=-x$ で、$\ell'''$ と平行になる。

1 次分数関数そのものが複比を変えないことを示す。

1 次分数関数は複比を変えない

$f(x)=\dfrac{px+q}{rx+s}$（$ps-qr\ne0$）とし、相異なる 4 つの実数 $a,b,c,d$ で $f$ が定まる（分母が $0$ でない）とする。このとき $f(a),f(b),f(c),f(d)$ は相異なり
$$ \frac{(f(a)-f(c))(f(b)-f(d))}{(f(a)-f(d))(f(b)-f(c))}=\frac{(a-c)(b-d)}{(a-d)(b-c)} $$
である。

差の公式を 4 回使う

方針：2 つの値の差 $f(x)-f(y)$ が $(x-y)$ に「$x$ だけの式」と「$y$ だけの式」を掛けた形になることを示し、複比に代入して約分する。
段 1（差の公式）。$rx+s\ne0$、$ry+s\ne0$ のとき、通分して分子を展開すると
$$ f(x)-f(y)=\frac{(px+q)(ry+s)-(py+q)(rx+s)}{(rx+s)(ry+s)}=\frac{(ps-qr)(x-y)}{(rx+s)(ry+s)} $$
である。実際、分子は $prxy+psx+qry+qs-(prxy+psy+qrx+qs)=ps(x-y)-qr(x-y)$ である。同じ公式は分数型の漸化式と1次分数変換の補題「1 次分数関数の値の差」にもある。$ps-qr\ne0$ なので、$x\ne y$ なら $f(x)\ne f(y)$ であり、4 つの値は相異なる。
段 2（代入）。$m_x:=rx+s$ と書くと、段 1 により $f(a)-f(c)=\dfrac{(ps-qr)(a-c)}{m_am_c}$ などである。複比の分子は $\dfrac{(ps-qr)^2(a-c)(b-d)}{m_am_cm_bm_d}$、分母は $\dfrac{(ps-qr)^2(a-d)(b-c)}{m_am_dm_bm_c}$ である。
段 3（約分）。分子と分母で $(ps-qr)^2$ と $m_am_bm_cm_d$ が共通なので、比は $\dfrac{(a-c)(b-d)}{(a-d)(b-c)}$ である。$\square$

1 次分数関数で複比を比べる

ex-pcr-formula (2) の $f(t)=\dfrac{6t}{t+2}$ で、$1,2,4,8$ の像は $2,3,4,\dfrac{24}5$ であり
$$ \frac{(2-4)\left(3-\frac{24}5\right)}{\left(2-\frac{24}5\right)(3-4)}=\frac{(-2)\left(-\frac95\right)}{\left(-\frac{14}5\right)(-1)}=\frac{18}{14}=\frac97 $$
で、$1,2,4,8$ の複比 $\dfrac97$ に等しい。
(2) 別の 1 次分数関数で確かめる
(2) $g(x)=\dfrac{x+2}{x+1}$（$ps-qr=1-2=-1$）で、$0,1,2,3$ の像は $2,\dfrac32,\dfrac43,\dfrac54$ である。もとの複比は $\dfrac{(0-2)(1-3)}{(0-3)(1-2)}=\dfrac43$、像の複比は$$\frac{\left(2-\frac43\right)\left(\frac32-\frac54\right)}{\left(2-\frac54\right)\left(\frac32-\frac43\right)}=\frac{\frac23\cdot\frac14}{\frac34\cdot\frac16}=\frac{\frac16}{\frac18}=\frac43$$で、等しい。

prop-pcr-fractional と thm-pcr-fractional を合わせると、thm-pcr-perspective のもう 1 つの証明が得られる。

別証明：座標の式に直す

方針：透視を座標の式で書くと 1 次分数関数になるので、thm-pcr-fractional が使える。

別証明を開く

段 1（式に直す）。$O$ を原点とし、$\ell$、$\ell'$ に座標を入れる。prop-pcr-fractional により、透視は座標 $t$ を $t'=f(t)=\dfrac{pt+q}{rt+s}$（$ps-qr\ne0$）に移す。

段 2（定まること）。$A,B,C,D$ の座標を $a,b,c,d$ とする。$A$ は透視で $A'$ に移る（直線 $OA$ は $\ell'$ と $A'$ で交わる）ので、prop-pcr-fractional の 1 により $ra+s\ne0$ で、$A'$ の座標は $f(a)$ である。$B,C,D$ も同じである。

段 3（結論）。thm-pcr-fractional により $(A',B';C',D')=\dfrac{(f(a)-f(c))(f(b)-f(d))}{(f(a)-f(d))(f(b)-f(c))}=\dfrac{(a-c)(b-d)}{(a-d)(b-c)}=(A,B;C,D)$ である。$\square$

円周上の 4 点の複比

円周上の相異なる 4 点 $A,B,C,D$ を、それらと異なる円周上の点 $P$ から見た 4 本の直線 $PA,PB,PC,PD$ の複比（rem-pcr-lines）は、$P$ によらず、4 点を複素数とみたときの複比に等しい。これは円周角の定理の言い換えで、楕円でも成り立つことを含めて円周上の4点の複比で扱う。

大学数学で見る：射影直線と 3 点で決まる変換

行き先のない点を補う

ex-pcr-formula-first の $t'=\dfrac4t$ では、$t=0$ の点に行き先がなかった。逆に、$\ell'$ の座標 $t'=0$ の点 $(2,0)$ は、原点と結ぶ直線が $x$ 軸で $\ell$ と平行なので、どの点からも移ってこない。この欠けを埋めるため、直線に「無限の遠くの点」$\infty$ を 1 つ付け加える。
鍵は、$\ell$ の点 $X$ を、原点 $O$ と $X$ を結ぶ直線と同一視することである。$O$ を通る直線は $\vec0$ でないベクトル $\boldsymbol x$ で表され、$\boldsymbol x$ と $\lambda\boldsymbol x$（$\lambda\ne0$）は同じ直線を表す。$O$ を通る直線のうち $\ell$ と平行なもの 1 本だけが $\ell$ と交わらない。この 1 本を $\ell$ の「無限遠点」とみなせば、$\ell$ の点と $O$ を通る直線がちょうど 1 対 1 に対応する。

実射影直線と 1 次分数変換

$\vec0$ でない数の組 $(u,v)$ を、$0$ でない数倍 $(\lambda u,\lambda v)$ と同じものとみなしたものの全体を 実射影直線 という。$v\ne0$ の組 $(u,v)$ を実数 $\dfrac uv$ と、$v=0$ の組 $(u,0)$ を記号 $\infty$ と同一視する。実射影直線は、実数全体に $\infty$ を 1 つ加えたもの $\mathbb{R}\cup\{\infty\}$ である。
行列式 $ps-qr$ が $0$ でない行列 $M=\begin{pmatrix}p&q\\ r&s\end{pmatrix}$ に対し、組 $(u,v)$ を $(pu+qv,\ ru+sv)$ に移す対応を、実射影直線の 1 次分数変換（射影変換）$f_M$ という。

$ps-qr\ne0$ なので、$(u,v)\ne(0,0)$ なら像も $(0,0)$ でない（像が $(0,0)$ なら、連立 1 次方程式 $pu+qv=0$、$ru+sv=0$ から $u=v=0$ となる）。$(x,1)$ の像は $(px+q,\ rx+s)$ なので、$rx+s\ne0$ なら $f_M(x)=\dfrac{px+q}{rx+s}$ で、1 次分数関数そのものである。$rx+s=0$ となる $x$ は $f_M(x)=\infty$ に移り、$\infty=(1,0)$ は $(p,r)$、つまり $r\ne0$ なら $\dfrac pr$ に、$r=0$ なら $\infty$ に移る。

無限遠点の行き先

$f(x)=\dfrac4x$ は $M=\begin{pmatrix}0&4\\ 1&0\end{pmatrix}$ の 1 次分数変換で、$0=(0,1)$ は $(4,0)$、つまり $\infty$ に移り、$\infty=(1,0)$ は $(0,1)$、つまり $0$ に移る。ex-pcr-formula-first で行き先のなかった点と、移ってくる点のなかった点が、$\infty$ を通して対応した。
(2) 別の変換の例を開く
(2) $f(t)=\dfrac{6t}{t+2}$（$M=\begin{pmatrix}6&0\\ 1&2\end{pmatrix}$）では、$-2\mapsto\infty$、$\infty\mapsto6$ である。$\ell'''$：$x+y=6$ の座標 $6$ の点は $(6,0)$ で、原点と結ぶ直線は $x$ 軸、つまり $\ell$：$y=2$ と平行な直線である。

複比も、組 $\hat a=(a_1,a_2)$ などを使って
$$ (A,B;C,D)=\frac{D(\hat a,\hat c)\,D(\hat b,\hat d)}{D(\hat a,\hat d)\,D(\hat b,\hat c)} $$
と定める（各組の数倍は約分される）。2 つの組 $\hat x$、$\hat y$ が実射影直線の同じ点を表すことは、$\hat y$ が $\hat x$ の数倍であること、つまり $D(\hat x,\hat y)=0$ と同値である。よって 4 点が相異なれば分母は $0$ でない。実数 $a$ には $\hat a=(a,1)$ をとると $D(\hat a,\hat c)=a-c$ なので、def-pcr-cross-ratio と一致する。$\infty=(1,0)$ を含むときは、たとえば $D((a,1),(1,0))=-1$ なので $(a,b;c,\infty)=\dfrac{(a-c)(-1)}{(-1)(b-c)}=\dfrac{a-c}{b-c}$ である。これは prf-pcr-area の段 1 の式と同じ形であり、射影直線の上の複比は、原点を通る 4 本の直線の複比そのものである。
この形では、thm-pcr-fractional は 1 行で示せる。

1 行の証明を開く

1次変換と行列式：面積の拡大率の定理「行列式は符号付き面積の拡大率」により、$D(M\hat x,M\hat y)=(ps-qr)\,D(\hat x,\hat y)$ である。複比の分子と分母はどちらも $(ps-qr)^2$ 倍になり、比は変わらない。$\infty$ を含む 4 点についても同じである。

3 点の行き先で変換が決まる

3 点を 3 点に移す射影変換はただ 1 つ

実射影直線の相異なる 3 点 $a,b,c$ と、相異なる 3 点 $a',b',c'$ を与える。$f(a)=a'$、$f(b)=b'$、$f(c)=c'$ となる 1 次分数変換 $f$ がただ 1 つある。さらに、この $f$ は、どの点 $x$ についても
$$ (a',b';c',f(x))=(a,b;c,x) $$
を満たす（$x$ が $a,b,c$ のどれかのときは、両辺に同じ点が 2 回現れるので、この式は考えない）。

$0,1,\infty$ に移して比べる

方針：まず $a,b,c$ を $\infty,0,1$ に移す変換 $g$ を、複比 $g(x)=(a,b;c,x)$ として作る。$a',b',c'$ についても同じ $g'$ を作り、$f=g'^{-1}\circ g$ とおく。3 つの変換の関係は次の図式のとおりである。
$$ \xymatrix{ \mathbb{R}\cup\{\infty\} \ar[rr]^{f} \ar[dr]_{g} & & \mathbb{R}\cup\{\infty\} \ar[dl]^{g'} \\ & \mathbb{R}\cup\{\infty\} & } $$
図式が可換とは $g'\circ f=g$ ということである。一意性は、$\infty,0,1$ を動かさない変換が恒等変換しかないことから示す。点を組 $(u,v)$ で表して計算するので、$a,b,c$、$a',b',c'$ に $\infty$ が含まれる場合も同じ証明で扱える。

詳しい証明（段 1〜段 5）を開く

段 1（$g$ を作る）。$a,b,c$ を表す組を $\hat a=(a_1,a_2)$、$\hat b=(b_1,b_2)$、$\hat c$ とする。組 $\hat x=(u,v)$ に対して、複比 $(a,b;c,x)$ の分子と分母を並べた組$$g(\hat x):=\bigl(D(\hat a,\hat c)\,D(\hat b,\hat x),\ D(\hat a,\hat x)\,D(\hat b,\hat c)\bigr)$$を考える。$D(\hat b,\hat x)=b_1v-b_2u$、$D(\hat a,\hat x)=a_1v-a_2u$ なので、$g$ は行列$$M_g=\begin{pmatrix}-b_2\,D(\hat a,\hat c)&b_1\,D(\hat a,\hat c)\\ -a_2\,D(\hat b,\hat c)&a_1\,D(\hat b,\hat c)\end{pmatrix}$$で組を移す対応である。その行列式は$$-a_1b_2\,D(\hat a,\hat c)\,D(\hat b,\hat c)+a_2b_1\,D(\hat a,\hat c)\,D(\hat b,\hat c)=D(\hat a,\hat c)\,D(\hat b,\hat c)\,D(\hat b,\hat a)$$である（$D(\hat b,\hat a)=b_1a_2-b_2a_1$）。$a,b,c$ が相異なるので、3 つの因数はどれも $0$ でない（ex-pcr-infinity の後の、組の形の複比を定める段落）。よって $g$ は 1 次分数変換である。組 $\hat a,\hat b,\hat c$ をそれぞれ数倍に取り替えても $M_g$ 全体が数倍になるだけなので、$g$ は点 $a,b,c$ だけで決まる。

$\hat x$ に $\hat a,\hat b,\hat c$ を代入すると、$D(\hat x,\hat x)=0$ により$$g(\hat a)=\bigl(D(\hat a,\hat c)\,D(\hat b,\hat a),\ 0\bigr),\quad g(\hat b)=\bigl(0,\ D(\hat a,\hat b)\,D(\hat b,\hat c)\bigr),\quad g(\hat c)=\bigl(D(\hat a,\hat c)\,D(\hat b,\hat c),\ D(\hat a,\hat c)\,D(\hat b,\hat c)\bigr)$$である。$0$ でない成分に注意すると、$g(a)=\infty$、$g(b)=0$、$g(c)=1$ である。$x$ が $a,b,c$ と異なれば、$g(x)$ は複比 $(a,b;c,x)$ そのものである。

$a,b,c,x$ が実数なら、$\hat a=(a,1)$ などをとって $D(\hat a,\hat x)=a-x$ などとなり、$g(x)=\dfrac{(a-c)(b-x)}{(a-x)(b-c)}=\dfrac{(x-b)(c-a)}{(x-a)(c-b)}$ である。$\infty$ を含む例として、$a,b,c$ が $\infty,0,1$ そのもののときは、$\hat a=(1,0)$、$\hat b=(0,1)$、$\hat c=(1,1)$ から $D(\hat a,\hat c)=1$、$D(\hat b,\hat c)=-1$、$D(\hat b,\hat x)=-u$、$D(\hat a,\hat x)=v$ で、$g(\hat x)=(-u,-v)$、つまり $g$ は恒等変換である。

段 2（存在）。$a',b',c'$ についても同じように $g'$ を作る。行列の逆行列を使うと $g'$ の逆の対応 $g'^{-1}$ も 1 次分数変換であり、1 次分数変換の合成は行列の積に対応する（分数型の漸化式と1次分数変換の命題「合成は行列の積」。組 $(u,v)$ に行列を順に掛けると考えれば、$\infty$ を含めて成り立つ）。$f:=g'^{-1}\circ g$ は 1 次分数変換で、$f(a)=g'^{-1}(\infty)=a'$、$f(b)=g'^{-1}(0)=b'$、$f(c)=g'^{-1}(1)=c'$ である。

段 3（$\infty,0,1$ を動かさない変換）。$h$ を 1 次分数変換で $h(\infty)=\infty$、$h(0)=0$、$h(1)=1$ とし、行列を $\begin{pmatrix}p&q\\ r&s\end{pmatrix}$ とする。$\infty=(1,0)$ の像 $(p,r)$ が $\infty$ なので $r=0$ である。$0=(0,1)$ の像 $(q,s)$ が $0$ なので $q=0$ である。$1=(1,1)$ の像 $(p+q,\ r+s)=(p,s)$ が $1$ なので $p=s$ である。よって行列は $p$ 倍の単位行列で、$h$ はすべての組を $p$ 倍するだけ、つまり恒等変換である。

段 4（一意性）。$f_1,f_2$ がどちらも $a,b,c$ を $a',b',c'$ に移すとする。$h:=g'\circ f_1\circ f_2^{-1}\circ g'^{-1}$ は 1 次分数変換で、$\infty$ の行き先を順に追うと $\infty\overset{g'^{-1}}{\mapsto}a'\overset{f_2^{-1}}{\mapsto}a\overset{f_1}{\mapsto}a'\overset{g'}{\mapsto}\infty$ となる。同じく $0\mapsto0$、$1\mapsto1$ である。段 3 により $h$ は恒等変換で、$f_1\circ f_2^{-1}$ も恒等変換、つまり $f_1=f_2$ である。

段 5（複比の式）。$f$ は 1 次分数変換なので、thm-pcr-fractional（$\infty$ を含む形）により、4 点 $a,b,c,x$ の複比と、像 $a',b',c',f(x)$ の複比は等しい。$\square$

定理の式を $f(x)$ について解けば、$f$ が具体的に求まる。また、$y\mapsto(a',b';c',y)$ は prf-pcr-three-points の方針で $a',b',c'$ から作った変換 $g'$ そのもので、逆の変換 $g'^{-1}$ をもつ。よって異なる $y$ は異なる値に移り、$y$ は複比の値からただ 1 つに決まる（$\infty$ を含めて同じである）。したがって、相異なる 4 点の組 $(a,b,c,d)$ を 1 次分数変換で相異なる 4 点の組 $(a',b',c',d')$ に移せるのは、2 つの組の複比が等しいときであり、そのときに限る。複比は、射影変換で 4 点の組を移したときに残る、ただ 1 つの情報である。

複比の式から変換を求める

$1,2,4$ を $4,2,1$ に移す 1 次分数変換を、thm-pcr-three-points の式 $(4,2;1,y)=(1,2;4,x)$ から求めると $y=\dfrac4x$ になる。これは ex-pcr-formula-first の透視の式に一致し、$8$ は $\dfrac12$ に移る。

計算を開く

$1,2,4$ を $4,2,1$ に移す 1 次分数変換を求める。thm-pcr-three-points の式 $(4,2;1,y)=(1,2;4,x)$ の両辺は$$(4,2;1,y)=\frac{(4-1)(2-y)}{(4-y)(2-1)}=\frac{3(2-y)}{4-y},\qquad (1,2;4,x)=\frac{(1-4)(2-x)}{(1-x)(2-4)}=\frac{3(2-x)}{2(1-x)}$$である。等しいとおいて分母を払うと $2(2-y)(1-x)=(2-x)(4-y)$、展開すると $4-4x-2y+2xy=8-4x-2y+xy$ で、$xy=4$、つまり $y=\dfrac4x$ である。これは ex-pcr-formula-first の透視の式に一致し、$8$ は $\dfrac12$ に移る。$A,B,C$ の行き先を決めると、$D$ の行き先は複比で決まってしまう。

行列の群と、複素数の場合

ここから先は大学で学ぶ内容の紹介である。

行列の群・射影平面・複素数の場合を開く

行列 $M$ と、その $0$ でない数倍 $\lambda M$ は同じ 1 次分数変換を与える。行列式が $0$ でない $2\times2$ 実行列の群（一般線形群 $GL_2(\mathbb{R})$）を、数倍の違いを同じとみなしてまとめたものを $PGL_2(\mathbb{R})$ と書き、実射影直線の 射影変換群 という。thm-pcr-three-points は、この群が相異なる 3 点の組の全体の上に、ちょうど 1 つずつの変換で働くことを言っている。
実射影直線は、平面の原点を通る直線の全体である。同じように、空間の原点を通る直線の全体が射影平面、一般の次元では射影空間である。Desarguesの定理の記事で、点 $(x,y)$ を $(x,y,1)$ で表したのは、射影平面の点を表すためであった。
複素数でも、同じ式 $\dfrac{pz+q}{rz+s}$ が複素数平面に $\infty$ を加えたもの（Riemann球面）の上の変換を与え、Möbius変換と呼ばれる。相異なる 3 点を相異なる 3 点に移す Möbius 変換はただ 1 つであり、Möbius 変換は複比を変えない（Hit18 定理 3.4.8、定義 3.4.10、定理 3.4.12）。高校数学の範囲の扱いは 1次分数変換（高校数学）と w=1/z による図形の変換にある。

例と反例

外した仮定	崩れる主張	ボックス
4 本の直線が 1 点 $O$ を通る	2 本の直線で切った 4 点の複比が等しい	ex-pcr-not-concurrent
変換が 1 次分数関数である	複比が保たれる	ex-pcr-square
$ps-qr\ne0$	異なる点が異なる点に移る（複比が定まる）	ex-pcr-degenerate

反例：1 点を通らない 4 本の直線

ex-pcr-start の $D'=\left(2,\dfrac12\right)$ を $D_1'=\left(2,\dfrac34\right)$ に替える。$D=(8,2)$ と $D_1'$ を結ぶ直線は傾き $\dfrac{2-\frac34}{8-2}=\dfrac5{24}$ で、$x=0$ のとき $y=\dfrac34-2\cdot\dfrac5{24}=\dfrac13\ne0$ なので原点を通らない。4 本の直線 $AA'$、$BB'$、$CC'$、$DD_1'$ は 1 点で交わらない。$\ell'$ の上の複比は、$y$ 座標 $4,2,1,\dfrac34$ から
$$ (A',B';C',D_1')=\frac{(4-1)\left(2-\frac34\right)}{\left(4-\frac34\right)(2-1)}=\frac{3\cdot\frac54}{\frac{13}4}=\frac{15}{13} $$
で、$\ell$ の上の複比 $\dfrac97$ と異なる。

反例：2 乗する関数 $x^2$

$f(x)=x^2$ で $1,2,3,4$ を $1,4,9,16$ に移す。もとの複比は $\dfrac{(1-3)(2-4)}{(1-4)(2-3)}=\dfrac43$、像の複比は $\dfrac{(1-9)(4-16)}{(1-16)(4-9)}=\dfrac{96}{75}=\dfrac{32}{25}$ で、異なる。$x^2$ は 1 次分数関数でなく、差 $f(x)-f(y)=(x+y)(x-y)$ の「$x$ だけの式と $y$ だけの式の積」への分かれ方（prf-pcr-fractional-thm の段 1）が成り立たない。

反例：行列式が $0$ の分数関数

$f(x)=\dfrac{2x+4}{x+2}$ は $ps-qr=2\cdot2-4\cdot1=0$ である。$x\ne-2$ なら $f(x)=\dfrac{2(x+2)}{x+2}=2$ で、どの点も同じ点 $2$ に移る（分数型の漸化式と1次分数変換の例）。4 点の像はすべて一致し、複比は定まらない。

さらに先へ

平面の中で、直線を直線に移す変換（平面の射影変換）は、点を $(x,y,1)$ で表したとき $3\times3$ 行列で書ける。これで保たれる定理が射影幾何の定理で、1 点から見た 2 つの三角形についての Desarguesの定理、2 本の直線の上に 3 点ずつとる Pappusの六角形定理、円に内接する六角形の Pascalの定理と、それと対になる Brianchonの定理がある。
複比が $-1$ の 4 点（調和点列）は、角の二等分線（角の二等分線の定理）、Apolloniusの円、円の極線（円の接線と極線の命題「極線と調和点列」）に現れる。
複素数の複比が実数になることが 4 点が同じ円周上か直線上にある条件であることは円周角の定理（高校数学）で、複素数の 1 次分数変換は 1次分数変換（高校数学）で扱う。大学向けには複比、射影空間の記事がある。