新交叉定理

$s$ についての帰納法で示す。$s=0$ なら示すことはない。
$s=1$ のとき、$H_1=\ker(G_1\to G_0)$ は $G_1$ の部分加群である。$\operatorname{depth}G_1\ge1$ より $\operatorname{Hom}_A(k,G_1)=0$ なので $\operatorname{Hom}_A(k,H_1)=0$、すなわち $H_1=0$ か $\operatorname{depth}H_1\ge1$ である。条件 2 により $H_1=0$ である。
$s\ge2$ とする。$G'_j=G_{j+1}$（$0\le j\le s-1$）とおいた長さ $s-1$ の複体 $G'_\bullet$ は、$\operatorname{depth}G'_j\ge j+1\ge j$ と、$j\ge1$ での $H_j(G'_\bullet)=H_{j+1}(G_\bullet)$ により、補題の仮定を満たす。帰納法の仮定から $H_i(G_\bullet)=0$（$i\ge2$）である。よって $C=\operatorname{coker}(G_2\to G_1)$ とおくと
$$ 0\to G_s\to G_{s-1}\to\cdots\to G_2\to G_1\to C\to0 $$
は完全である。$1\le i\le s-1$ について $K_i=\operatorname{im}(G_{i+1}\to G_i)$、$K_0=C$ とおくと、短完全列 $0\to K_i\to G_i\to K_{i-1}\to0$（$1\le i\le s-1$）と $K_{s-1}\cong G_s$ がある。$\operatorname{depth}K_i\ge i+1$ を $i$ の大きい方から示す。$i=s-1$ では $\operatorname{depth}G_s\ge s$ である。$\operatorname{depth}K_i\ge i+1$ なら、深さ の定理「深さ補題」の第三の不等式により
$$ \operatorname{depth}K_{i-1}\ge\min(\operatorname{depth}K_i-1,\operatorname{depth}G_i)\ge\min(i,i)=i $$
である。よって $\operatorname{depth}C\ge1$、すなわち $\operatorname{Hom}_A(k,C)=0$ である。$H_1(G_\bullet)=\ker(G_1\to G_0)/\operatorname{im}(G_2\to G_1)$ は $C$ の部分加群なので $\operatorname{Hom}_A(k,H_1)=0$ であり、条件 2 から $H_1(G_\bullet)=0$ である。$\square$

$s<\operatorname{depth}A$ と仮定して矛盾を導く。非零の有限生成自由加群の深さは $\operatorname{depth}A$ であり（$\operatorname{Ext}_A^j(k,A^n)=\operatorname{Ext}_A^j(k,A)^n$）、零加群の深さは $\infty$ なので、$1\le i\le s$ で $\operatorname{depth}F_i\ge\operatorname{depth}A\ge s+1>i$ である。$H_i(F_\bullet)$ は有限長だから、零でなければ深さは $0$ である。lem-nit-acyclicity により $H_i(F_\bullet)=0$（$i\ge1$）となる。
したがって $F_\bullet$ は $H=H_0(F_\bullet)$ の長さ $s$ の自由分解である。$F_\bullet$ は完全でないので $H\ne0$ で、$H$ は有限長だから $\operatorname{depth}H=0$ である。$\operatorname{pd}_AH\le s<\infty$ なので Auslander–Buchsbaum公式 により $\operatorname{pd}_AH=\operatorname{depth}A-0=\operatorname{depth}A>s$ となり、$\operatorname{pd}_AH\le s$ に矛盾する。
Cohen–Macaulay 環では $\operatorname{depth}A=\dim A$ なので、後半が従う。$\square$

$L=M\otimes_AN$、$t=\dim L$ とおく。$M,N$ は零でないので $M/\mathfrak mM$、$N/\mathfrak mN$ は零でない $k$ 線形空間で、$L/\mathfrak mL\cong M/\mathfrak mM\otimes_kN/\mathfrak mN\ne0$ より $L\ne0$ である。
段 1（$M\otimes N$ が有限長の場合への帰着）．局所環 $A/\operatorname{ann}L$ のパラメータ系を持ち上げて $x_1,\ldots,x_t\in\mathfrak m$ をとると、$\sqrt{\operatorname{ann}L+(x)}=\mathfrak m$ である（パラメータ系 の定義）。$N'=N/(x)N$ とおくと $M\otimes_AN'\cong L/(x)L$ で、その台 $V(\operatorname{ann}L+(x))=\{\mathfrak m\}$ より $M\otimes_AN'$ は有限長である。また 加群の台 の定理「有限加群のテンソル積」により $\operatorname{Supp}N'=V(\operatorname{ann}N+(x))$ なので、$\bar A=A/\operatorname{ann}N$ とおくと $\dim N'=\dim\bar A/(x)\bar A\ge\dim\bar A-t=\dim N-t$ である（パラメータ系 の命題「有限個の切断で次元は下がりすぎない」）。$N'\ne0$ は Nakayama の補題による。したがって $\dim N'\le\operatorname{pd}_AM$ を示せば $\dim N\le\operatorname{pd}_AM+t$ が従う。
段 2（有限長の場合）．以下 $M\otimes_AN$ は有限長とし、$\dim N\le s:=\operatorname{pd}_AM$ を示す。$\operatorname{ann}N$ の極小素イデアルのうち $\dim A/P=\dim N$ となる $P$ をとる。$M$ の長さ $s$ の有限生成自由分解 $F_\bullet\to M$ をとる（射影次元 の定理「最小自由分解とTor」）。$\bar F_\bullet=F_\bullet\otimes_AA/P$ は局所環 $A/P$ 上の長さ $s$ の有限自由複体で、$H_i(\bar F_\bullet)=\operatorname{Tor}_i^A(M,A/P)$ である。
局所化は完全で自由分解を自由分解に移すので、素イデアル $\mathfrak q$ で $\operatorname{Tor}_i^A(M,A/P)_{\mathfrak q}\cong\operatorname{Tor}_i^{A_{\mathfrak q}}(M_{\mathfrak q},(A/P)_{\mathfrak q})$ であり、$\operatorname{Tor}_i^A(M,A/P)$ の台は $\operatorname{Supp}M\cap V(P)$ に含まれる。$P\supset\operatorname{ann}N$ だから $V(P)\subset\operatorname{Supp}N$ で、
$$ \operatorname{Supp}M\cap V(P)\subset\operatorname{Supp}M\cap\operatorname{Supp}N=\operatorname{Supp}(M\otimes_AN)=\{\mathfrak m\} $$
である。よって各 $H_i(\bar F_\bullet)$ は有限生成で台が閉点だけなので有限長である。さらに $H_0(\bar F_\bullet)=M/PM\ne0$（Nakayama の補題）なので $\bar F_\bullet$ は完全でない。局所環 $A/P$ に thm-nit-main を当てると $s\ge\dim A/P=\dim N$ を得る。$\square$

1 ⇒ 2：$A$ が Cohen–Macaulay なら、パラメータ系 $x_1,\ldots,x_d$ は $A$-正則列である（Cohen–Macaulay環 の定理「パラメータ系による判定」）。正則列の Koszul複体 は正の次数のホモロジーが消え（同記事の定理「正則列のKoszulホモロジー」）、$H_0=A/(x)$ なので、$A/(x)$ の長さ $d$ の自由分解である。$A/(x)$ は有限長で（$\sqrt{(x)}=\mathfrak m$）、Nakayama の補題により零でない。
2 ⇒ 1：そのような $M$ について Auslander–Buchsbaum公式 から $\operatorname{pd}_AM=\operatorname{depth}A-\operatorname{depth}M=\operatorname{depth}A$ である。$M$ の長さ $\operatorname{depth}A$ の自由分解は、ホモロジーが $H_0=M$ だけの有限自由複体なので、thm-nit-main により $\operatorname{depth}A\ge\dim A$ である。逆向きの不等式はいつも成り立つので $A$ は Cohen–Macaulay である。$\square$