Betti数

テンソル積は直和と交換するので $A\otimes\mathbb{Q}\cong(T(A)\otimes\mathbb{Q})\oplus(\mathbb{Z}\otimes\mathbb{Q})^r$ であり、$\mathbb{Z}\otimes\mathbb{Q}\cong\mathbb{Q}$ である。$m:=\lvert T(A)\rvert$ とおくと、$t\in T(A)$ と $q\in\mathbb{Q}$ について $mt=0$ なので
$$ t\otimes q=t\otimes m\cdot\frac qm=mt\otimes\frac qm=0 $$
となり、$T(A)\otimes\mathbb{Q}=0$ である。よって $A\otimes\mathbb{Q}\cong\mathbb{Q}^r$ である。$\square$

$\mathbb{Q}$ は平坦 $\mathbb{Z}$ 加群なので、関手 $-\otimes\mathbb{Q}$ は完全列を完全列に写す（平坦加群 の命題「完全関手としての言い換え」と例「局所化と有理数」）。$Z_k:=\ker\partial_k$、$B_k:=\operatorname{im}\partial_{k+1}$ とおく。完全列 $0\to Z_k\to C_k\xrightarrow{\partial_k}C_{k-1}$ に $-\otimes\mathbb{Q}$ を施しても完全なので $Z_k\otimes\mathbb{Q}=\ker(\partial_k\otimes1)$ であり、$C_{k+1}\to B_k\to0$ と $0\to B_k\to C_k$ も完全のままなので $B_k\otimes\mathbb{Q}=\operatorname{im}(\partial_{k+1}\otimes1)$ である。最後に $0\to B_k\to Z_k\to H_k(C_\bullet)\to0$ から $H_k(C_\bullet)\otimes\mathbb{Q}\cong(Z_k\otimes\mathbb{Q})/(B_k\otimes\mathbb{Q})=H_k(C_\bullet\otimes\mathbb{Q})$ が従う。後半は $C_\bullet$ を $X$ の特異鎖複体にとればよい（$H_k(X;\mathbb{Q})$ は定義により $C_\bullet(X)\otimes\mathbb{Q}$ のホモロジーである）。$\square$

1 は lem-betti-flat と lem-betti-rank-tensor による。2：特異コホモロジー の定理「普遍係数定理」により、体係数では $H^k(X;\mathbb{Q})\cong\operatorname{Hom}_{\mathbb{Q}}(H_k(X;\mathbb{Q}),\mathbb{Q})$ である。有限次元のベクトル空間とその双対空間（双対空間(線形代数)）の次元は等しく、無限次元のベクトル空間の双対空間は無限次元である。3：$C_\bullet(X)\otimes_{\mathbb{Z}}F\cong(C_\bullet(X)\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q})\otimes_{\mathbb{Q}}F$ であり、$\mathbb{Q}$ 上のベクトル空間の間の完全列に $-\otimes_{\mathbb{Q}}F$ を施しても完全（ベクトル空間は基底をもつので自由、したがって平坦）なので、lem-betti-flat の証明と同じ議論で $H_k(X;F)\cong H_k(X;\mathbb{Q})\otimes_{\mathbb{Q}}F$ となり、$\dim_F(V\otimes_{\mathbb{Q}}F)=\dim_{\mathbb{Q}}V$ である。コホモロジーについては 2 と同じ議論を $F$ 上で行う。4：de Rhamの定理 の定理「de Rham の定理」により $H^k_{dR}(X)\cong H^k(X;\mathbb{R})$ であり、3 による。$\square$

$H_0(X)$ は弧状連結成分ごとに 1 つずつの $\mathbb{Z}$ の直和である（Hat02 Proposition 2.7）。lem-betti-flat により $H_0(X;\mathbb{Q})\cong H_0(X)\otimes\mathbb{Q}$ は成分ごとに 1 つずつの $\mathbb{Q}$ の直和で、その次元は成分の個数である。コホモロジーの側では、特異コホモロジー の命題「0 次コホモロジーと弧状連結成分」の $H^0(X;\mathbb{Q})\cong\prod_{\pi_0(X)}\mathbb{Q}$ が、成分が有限個のとき同じ次元を与える。$\square$

Euler標数 の系「2 つの Euler 標数は一致する」により、$H_n(X)$ はすべて有限生成で $n>\dim X$ では $0$ であり、$\sum_n(-1)^nc_n=\sum_n(-1)^n\operatorname{rank}H_n(X)$ である。thm-betti-characterizations の 1 により $\operatorname{rank}H_n(X)=b_n(X)$ である（Hat02 Theorem 2.44 も同じ等式を述べる）。$\square$

Künneth の定理（Hat02 Theorem 3.15）を係数環 $\mathbb{Q}$ で使う。$H^j(Y;\mathbb{Q})$ は有限次元の $\mathbb{Q}$ ベクトル空間、すなわち有限生成の自由 $\mathbb{Q}$ 加群なので、同定理の仮定がみたされ、クロス積は同型 $\bigoplus_{i+j=k}H^i(X;\mathbb{Q})\otimes_{\mathbb{Q}}H^j(Y;\mathbb{Q})\cong H^k(X\times Y;\mathbb{Q})$ を与える（有限 CW 複体の直積は有限 CW 複体である。Hat02 Theorem A.6）。両辺の次元を比べ、thm-betti-characterizations の 2 でコホモロジーの次元を Betti 数に直せばよい。$\square$

1 は Poincaré双対 の系「Betti 数の対称性と Euler 標数」の 1 である（そこでは $b_k$ を $\dim_{\mathbb{Q}}H^k(M;\mathbb{Q})$ で定めているが、コンパクトな多様体のホモロジーは有限生成なので（同記事の系「体係数の非退化対」の証明）、thm-betti-characterizations の 2 により一致する）。2：連結なら prop-betti-zero により $b_0=1$ なので、1 から $b_n=1$ である。滑らかなら thm-betti-characterizations の 4 により $\dim H^n_{dR}(M)=1$ であり、Stokesの定理 の系「閉多様体上の積分と完全形式」の 2 により、そのような $n$ 形式 $\nu$ の類は $0$ でないので $H^n_{dR}(M)$ を張る。$\square$