算術級数の素数定理
概要
算術級数の素数定理（prime number theorem for arithmetic progressions）とは、正の整数 $q$ と $q$ と互いに素な整数 $a$ を固定すると、$x$ 以下で $p\equiv a\pmod q$ をみたす素数の個数 $\pi(x;q,a)$ が $x\to\infty$ で $\frac{x}{\varphi(q)\log x}$ に漸近するという定理である。素数は $q$ と互いに素な $\varphi(q)$ 個の剰余類に、個数の比で見て均等に分かれる。証明は、Dirichlet の $L$ 関数が直線 $\operatorname{Re}s=1$ 上で $0$ にならないことに Wiener–池原の定理を当てる。法 $q$ が $x$ とともに大きくなる場合については、この定理は何も主張しない。
前提知識: 素数定理, Dirichletの算術級数定理, Dirichlet指標, Dirichlet L関数
算術級数の素数定理 は、正の整数 $q$ と、$q$ と互いに素な整数 $a$ を固定したとき、$x$ 以下で $q$ で割って $a$ 余る素数の個数が $x\to\infty$ で $\dfrac{x}{\varphi(q)\log x}$ に漸近することを述べる定理である（$\varphi$ は Euler関数）。$q=1$ の場合が 素数定理 であり、一般の $q$ では、素数が $q$ と互いに素な $\varphi(q)$ 個の剰余類に、個数の比で見て均等に分かれることを意味する。たとえば十進法で $10$ 以上の素数の末尾は $1,3,7,9$ のどれかで、この定理により、$x$ 以下の素数のうち末尾がそれぞれの数字であるものの割合は、$x\to\infty$ で $\frac14$ に近づく。
Dirichletの算術級数定理 は各類に素数が無限にあることと、逆数和の発散の速さ（Dirichlet 密度）を与えるが、個数そのものの漸近は与えない。この記事では、3 つの数え方（素数の個数、$\log p$ の和、素数の冪を含めた和）が同値であることを示したうえで、Dirichlet L関数 が直線 $\operatorname{Re}s=1$ 上で $0$ にならないことに Wiener–Ikeharaの定理 を当てて定理を証明する。法 $q$ を固定することが大切で、$q$ が $x$ とともに大きくなる場合に一様な評価を与える Siegel–Walfiszの定理 や、上からの評価だけを与える Brun–Titchmarshの不等式 とは扱う範囲が違う。
以下、$\log$ は自然対数、$p$ はつねに素数を表し、$f(x)\sim g(x)$ は $f(x)/g(x)\to1$（$x\to\infty$）を表す。
記号と主張
$q$ を正の整数、$a$ を整数、$x$ を実数とする。
$$
\pi(x;q,a):=\#\{p\le x\mid p\equiv a\ (\mathrm{mod}\ q)\},\qquad \theta(x;q,a):=\sum_{\substack{p\le x\\ p\equiv a\ (\mathrm{mod}\ q)}}\log p,\qquad \psi(x;q,a):=\sum_{\substack{n\le x\\ n\equiv a\ (\mathrm{mod}\ q)}}\Lambda(n)
$$
とおく。ここで $\Lambda$ は von Mangoldt関数（$n=p^k$、$k\ge1$ なら $\Lambda(n)=\log p$、それ以外は $0$）である。$q=1$ のときは $\pi(x)$、$\theta(x)$、$\psi(x)$ と書く。
たとえば $x=30$、$q=4$ では、$p\equiv1$ の素数は $5,13,17,29$ で $\pi(30;4,1)=4$、$p\equiv3$ の素数は $3,7,11,19,23$ で $\pi(30;4,3)=5$ である。$\psi(30;4,1)$ には $9=3^2$ と $25=5^2$ の項 $\log3$、$\log5$ も入る。
$q$ を正の整数、$a$ を $\gcd(a,q)=1$ をみたす整数とする。$q$ と $a$ を固定して $x\to\infty$ とすると
$$
\pi(x;q,a)\sim\frac{x}{\varphi(q)\log x},\qquad \theta(x;q,a)\sim\frac{x}{\varphi(q)},\qquad \psi(x;q,a)\sim\frac{x}{\varphi(q)}
$$
が成り立つ。とくに $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x;q,a)}{\pi(x)}=\frac1{\varphi(q)}$ である。
極限は $q$ と $a$ を固定してとる。収束の速さは $q$ によってよく、$q$ が $x$ とともに大きくなるときには何も主張しない（ex-pnta-counterexamples の 2 行目）。主張しているのは比の極限であり、個数の差が小さいこと（たとえば $\pi(x;4,1)$ と $\pi(x;4,3)$ の差が有界であること）は主張しない（ex-pnta-bias、ex-pnta-counterexamples の 3 行目）。3 つの漸近は互いに同値である（prop-pnta-equivalence）。証明は prf-pnta-main にある。
3 つの数え方の同値
$\psi$ は素数の冪にも重みを置くので扱いやすく、$\pi$ は素数そのものを数える。次の命題で、どれについて示してもよいことを確かめる。
$q\ge1$、$\gcd(a,q)=1$ とし、$L(x):=\dfrac{x}{\varphi(q)\log x}$ とおく。
- すべての実数 $x\ge1$ について $0\le\psi(x;q,a)-\theta(x;q,a)\le\dfrac{\sqrt x(\log x)^2}{2\log2}$ である。
- $x\to\infty$ のとき、$\psi(x;q,a)\sim\dfrac x{\varphi(q)}$、$\theta(x;q,a)\sim\dfrac x{\varphi(q)}$、$\pi(x;q,a)\sim L(x)$ の 3 つは同値である。
- これらは $\pi(x;q,a)/\pi(x)\to1/\varphi(q)$ とも同値である。
1：$\psi(x;q,a)-\theta(x;q,a)$ は、$n\le x$、$n\equiv a$ で $n=p^k$（$k\ge2$）となる項 $\log p$ の和である。これは $\psi(x)-\theta(x)$ を作る項の一部で、項はどれも $0$ 以上なので、$0\le\psi(x;q,a)-\theta(x;q,a)\le\psi(x)-\theta(x)$ である。右辺の評価は von Mangoldt関数 の命題「$\psi$ と $\theta$ の差」の 1 である。
2：1 から $\bigl(\psi(x;q,a)-\theta(x;q,a)\bigr)/x\to0$ なので、最初の 2 つは同値である。$\theta$ と $\pi$ は、2 つの不等式
$$
\theta(x;q,a)\le\pi(x;q,a)\log x,\qquad \theta(x;q,a)\ge\bigl(\pi(x;q,a)-y\bigr)\log y\quad(1< y< x)
$$
を $y=x/(\log x)^2$ で使って比べる。1 つ目は和の各項が $\log x$ 以下であることから、2 つ目は $y< p\le x$ の項だけを残して各項を $\log y$ で下から押さえ、$y$ 以下の素数が $y$ 個以下であることから出る。
極限の計算を開く
$x$ が大きければ $1< y< x$ である。$\log y=\log x-2\log\log x$ なので $\log y/\log x\to1$、また $y/L(x)=\varphi(q)/\log x\to0$、$y\log y/x\le1/\log x\to0$ である。
$\theta(x;q,a)\sim x/\varphi(q)$ とする。1 つ目の不等式から $\liminf\pi(x;q,a)/L(x)\ge1$ であり、2 つ目を $\pi$ について解くと $$\frac{\pi(x;q,a)}{L(x)}\le\frac{\varphi(q)\theta(x;q,a)}{x}\cdot\frac{\log x}{\log y}+\frac{y}{L(x)}\to1$$ なので $\pi(x;q,a)\sim L(x)$ である。
逆に $\pi(x;q,a)\sim L(x)$ とすると、1 つ目から $\limsup\varphi(q)\theta(x;q,a)/x\le1$ であり、2 つ目から $$\frac{\varphi(q)\theta(x;q,a)}{x}\ge\frac{\pi(x;q,a)}{L(x)}\cdot\frac{\log y}{\log x}-\frac{\varphi(q)\,y\log y}{x}\to1$$ なので $\theta(x;q,a)\sim x/\varphi(q)$ である。
3：素数定理 により $\pi(x)\sim x/\log x$ なので、$\pi(x;q,a)/\pi(x)$ と $\pi(x;q,a)/(\varphi(q)L(x))$ の比は $1$ に近づく。$\square$
定理の証明
方針は Wiener–Ikeharaの定理 の系「素数定理の導出」と同じである。$\psi(x;q,a)$ の係数 $\Lambda(n)\mathbf 1_{n\equiv a}$ の Dirichlet 級数を、指標の直交関係で $L$ 関数の対数微分の和に書き、それが $s=1$ の 1 位の極を除いて閉半平面 $\operatorname{Re}s\ge1$ の近くまで正則に延びることを示す。以下、$X_q$ を法 $q$ の Dirichlet指標 の全体、$\chi_0$ を主指標とし、$s=\sigma+it$ と書く。
$q\ge1$、$\gcd(a,q)=1$ とする。$\operatorname{Re}s>1$ で級数
$$
F_a(s):=\sum_{\substack{n\ge1\\ n\equiv a\ (\mathrm{mod}\ q)}}\frac{\Lambda(n)}{n^s}
$$
は絶対収束し、
$$
F_a(s)=\frac1{\varphi(q)}\sum_{\chi\in X_q}\overline{\chi}(a)\Bigl(-\frac{L'(s,\chi)}{L(s,\chi)}\Bigr)
$$
が成り立つ。
$\lvert\Lambda(n)n^{-s}\rvert\le\Lambda(n)n^{-\sigma}$ なので、絶対収束は von Mangoldt関数 の定理「$\Lambda$ の Dirichlet 級数」による。一般化Riemann予想 の補題「対数微分の Dirichlet 級数」により、各 $\chi\in X_q$ について $-L'(s,\chi)/L(s,\chi)=\sum_n\chi(n)\Lambda(n)n^{-s}$（絶対収束）である。これに $\overline{\chi}(a)/\varphi(q)$ を掛けて $\chi$ について足し、有限和と絶対収束する級数の順序を入れ替えると、右辺は
$$
\sum_{n\ge1}\frac{\Lambda(n)}{n^s}\cdot\frac1{\varphi(q)}\sum_{\chi\in X_q}\chi(n)\overline{\chi}(a)
$$
になる。Dirichlet指標 の定理「指標の個数と直交関係」の 4 により、内側の和は $\gcd(n,q)=1$ かつ $n\equiv a$ のとき $\varphi(q)$、それ以外で $0$ である。$\gcd(a,q)=1$ なので、$n\equiv a$ なら $\gcd(n,q)=1$ は自動的に成り立つ。よって右辺は $F_a(s)$ に等しい。$\square$
$q\ge1$、$\gcd(a,q)=1$ とする。閉半平面 $\{\operatorname{Re}s\ge1\}$ を含む開集合 $U$ と、$U$ 上の正則関数 $H_a$ があって、$\operatorname{Re}s>1$ で
$$
F_a(s)-\frac{1}{\varphi(q)}\cdot\frac1{s-1}=H_a(s)
$$
が成り立つ。
各 $\chi\in X_q$ について、$\chi\ne\chi_0$ なら $h_\chi(s):=L(s,\chi)$、$\chi=\chi_0$ なら $h_\chi(s):=(s-1)L(s,\chi_0)$ とおく。Dirichlet L関数 の定理「Dirichlet L関数の解析接続と関数等式」の 3 により、$h_\chi$ は $\mathbb C$ 上の正則関数に延びる（主指標では $s=1$ の極が 1 位なので、$(s-1)$ を掛けると除去可能になる）。
$h_\chi$ は閉半平面 $\operatorname{Re}s\ge1$ で $0$ にならない。実際、$\operatorname{Re}s>1$ では Dirichlet L関数 の命題「Euler 積」により $L(s,\chi)\ne0$ である。$\operatorname{Re}s=1$、$s\ne1$ では同じ記事の定理「直線 $\operatorname{Re}s=1$ 上の零点」により $L(s,\chi)\ne0$ である。$s=1$ では、$\chi\ne\chi_0$ なら同じ定理により $L(1,\chi)\ne0$ であり、$\chi=\chi_0$ なら $h_{\chi_0}(1)$ は極の留数 $\varphi(q)/q\ne0$ である。
$h_\chi$ の零点の集合 $Z_\chi$ は $\mathbb C$ の閉集合なので、$U:=\mathbb C\setminus\bigcup_{\chi\in X_q}Z_\chi$ は（有限個の閉集合の和の補集合として）開集合で、閉半平面 $\operatorname{Re}s\ge1$ を含み、$h'_\chi/h_\chi$ は $U$ 上で正則である。$\operatorname{Re}s>1$ では、$\chi\ne\chi_0$ について $L'/L=h'_\chi/h_\chi$、$\chi_0$ について $L(s,\chi_0)=h_{\chi_0}(s)/(s-1)$ から
$$
\frac{L'(s,\chi_0)}{L(s,\chi_0)}=\frac{h'_{\chi_0}(s)}{h_{\chi_0}(s)}-\frac1{s-1}
$$
である。$\chi_0(a)=1$（$\gcd(a,q)=1$）なので、lem-pnta-series から
$$
F_a(s)=\frac1{\varphi(q)}\cdot\frac1{s-1}-\frac1{\varphi(q)}\sum_{\chi\in X_q}\overline{\chi}(a)\frac{h'_\chi(s)}{h_\chi(s)}
$$
となり、$H_a:=-\frac1{\varphi(q)}\sum_\chi\overline{\chi}(a)h'_\chi/h_\chi$ が求める関数である。$\square$
$a_n:=\Lambda(n)$（$n\equiv a\pmod q$ のとき）、$a_n:=0$（それ以外）とおくと $a_n\ge0$ で、Dirichlet 級数 $\sum a_nn^{-s}=F_a(s)$ は $\operatorname{Re}s>1$ で収束する（lem-pnta-series）。lem-pnta-extension により、$F_a(s)-\frac{1/\varphi(q)}{s-1}$ は閉半平面 $\operatorname{Re}s\ge1$ 上の連続関数 $H_a$ に延びる。Wiener–Ikeharaの定理 の定理「Wiener–池原の定理」を $A=1/\varphi(q)$ で使うと、係数の和 $\sum_{n\le x}a_n=\psi(x;q,a)$ について $\psi(x;q,a)/x\to1/\varphi(q)$ である。prop-pnta-equivalence の 2・3 により、$\theta$ と $\pi$ についての主張と比の主張も成り立つ。$\square$
$L$ 関数について使ったのは、(i) 閉半平面 $\operatorname{Re}s\ge1$ を含む開集合への延長と、主指標の $s=1$ の極が 1 位であること、(ii) 閉半平面 $\operatorname{Re}s\ge1$ に零点がないこと、の 2 つだけである。(ii) のうち $L(1,\chi)\ne0$（$\chi\ne\chi_0$）は Dirichletの算術級数定理 の証明の核心と同じ事実であり、$t\ne0$ の $L(1+it,\chi)\ne0$ が個数の漸近のために新たに要る部分である。直線 $\operatorname{Re}s=1$ 上に零点 $1+it_0$ があれば、$-L'/L$ はそこに極をもち、$\psi(x;q,a)$ に $x^{1+it_0}$ の形の振動が入りうる（Wiener–Ikeharaの定理 の反例の表の 3 行目と同じ現象）。
複素関数論を使わない初等的な証明も、素数定理の Erdős–Selberg の方法から得られる（Pol09 p. 236。Selberg の 1950 年の論文を挙げている）。主張は Pol09 Theorem 7.14（p. 241）にある。
帰結
$q\ge1$、$\gcd(a,q)=1$ とし、$p\equiv a\pmod q$ をみたす素数を小さい順に $p_1(q,a)< p_2(q,a)<\cdots$ とする。$n\to\infty$ のとき $p_n(q,a)\sim\varphi(q)\,n\log n$ である。
$P:=p_n(q,a)$ とおくと $\pi(P;q,a)=n$ であり、Dirichletの算術級数定理 により $n\to\infty$ で $P\to\infty$ である。thm-pnta-main から $\varphi(q)\,n\log P/P\to1$ である。対数をとると $\log\varphi(q)+\log n+\log\log P-\log P\to0$ で、$\log P$ で割ると $\log n/\log P\to1$ である。よって
$$
\frac{P}{\varphi(q)\,n\log n}=\frac{P}{\varphi(q)\,n\log P}\cdot\frac{\log P}{\log n}\to1
$$
である。$\square$
$q\ge1$、$\gcd(a,q)=1$、$\varepsilon>0$ とする。$x\to\infty$ のとき
$$
\pi\bigl((1+\varepsilon)x;q,a\bigr)-\pi(x;q,a)\sim\frac{\varepsilon\,x}{\varphi(q)\log x}
$$
であり、とくに十分大きい $x$ では $x< p\le(1+\varepsilon)x$、$p\equiv a\pmod q$ をみたす素数がある。
$y:=(1+\varepsilon)x$ とおくと $\log y/\log x\to1$ なので、thm-pnta-main から $\pi(y;q,a)\cdot\varphi(q)\log x/x=\frac{\pi(y;q,a)\varphi(q)\log y}{y}\cdot\frac yx\cdot\frac{\log x}{\log y}\to1+\varepsilon$ である。$\pi(x;q,a)\cdot\varphi(q)\log x/x\to1$ を引けば、差に $\varphi(q)\log x/x$ を掛けたものは $\varepsilon$ に近づく。$\varepsilon x/(\varphi(q)\log x)\to\infty$ なので、差は十分大きい $x$ で正である。$\square$
$q=1$ の場合は 素数定理 の系「短い区間の素数」である。区間の長さ $\varepsilon x$ を $x^{\vartheta}$（$\vartheta< 1$）程度まで短くすると、この方法では何も分からない。上からの評価なら、区間の長さと法についての一様な形が Brun–Titchmarshの不等式 にある。
例
数値計算による値を示す。$\pi(x)$ は $x$ 以下の素数の個数である。
| $x$ | $\pi(x)$ | $\pi(x;4,1)$ | $\pi(x;4,3)$ | $\pi(x;10,1)$ | $\pi(x;10,3)$ | $\pi(x;10,7)$ | $\pi(x;10,9)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $10^4$ | $1229$ | $609$ | $619$ | $306$ | $310$ | $308$ | $303$ |
| $10^5$ | $9592$ | $4783$ | $4808$ | $2387$ | $2402$ | $2411$ | $2390$ |
| $10^6$ | $78498$ | $39175$ | $39322$ | $19617$ | $19665$ | $19621$ | $19593$ |
| $10^7$ | $664579$ | $332180$ | $332398$ | $166104$ | $166230$ | $166211$ | $166032$ |
$x=10^7$ で $\pi(x;q,a)$ を $\pi(x)/\varphi(q)$ で割った比は、法 $4$ で $0.9997$、$1.0003$、法 $10$ で $0.9998$、$1.0005$、$1.0004$、$0.9993$ であり、thm-pnta-main の比の極限 $1$ に近い。$p=2$ は法 $4$ の既約な類に入らず、$p=2,5$ は法 $10$ の既約な類に入らないので、法 $4$ の 2 つの値の和は $\pi(x)-1$、法 $10$ の 4 つの値の和は $\pi(x)-2$ である。
一方 $x/(\varphi(q)\log x)$ は $x=10^7$、$q=4$ で $310210.3$ で、$\pi(10^7;4,1)$ との比は $1.071$ である。この大きめのずれは $\pi(x)$ と $x/\log x$ のずれ（素数定理 の注意「対数積分による形と誤差項」）と同じもので、法と無関係である。
ex-pnta-table では $x=10^4,\dots,10^7$ のどれでも $\pi(x;4,3)>\pi(x;4,1)$ である。数値計算によると、差 $\pi(x;4,3)-\pi(x;4,1)$ は $x=10^3,10^4,10^5,10^6,10^7$ でそれぞれ $7,10,25,147,218$ である。しかし $x=26861$ では $\pi(x;4,1)=1473$、$\pi(x;4,3)=1472$ で、大小が初めて逆になる（$26861$ は $4$ で割って $1$ 余る素数）。thm-pnta-main は差を $\pi(x)$ に比べて小さくする（差を $\pi(x)$ で割ると $0$ に近づく）だけで、差の符号や大きさについては何も言わない。
誤差項と法の大きさ
thm-pnta-main には誤差の大きさが入っていない。法を固定すれば、Riemannゼータ関数の零点のない領域 と同じ形の誤差が付く。
絶対定数 $c>0$ があって、次が成り立つ。正の整数 $q$ ごとに定数 $C_q$ があり、$\gcd(a,q)=1$ と実数 $x\ge2$ について
$$
\Bigl\lvert\psi(x;q,a)-\frac{x}{\varphi(q)}\Bigr\rvert\le C_q\,x\exp\bigl(-c\sqrt{\log x}\bigr)
$$
である。
Siegel–Walfiszの定理 の定理「Siegel–Walfiszの定理」を $A=1$ で使い、その絶対定数を $c$、定数を $C_1$ とする。$x\ge e^q$ なら $q\le\log x=(\log x)^1$ なので、誤差は $C_1x\exp(-c\sqrt{\log x})$ 以下である。$2\le x< e^q$ では、$\psi(x;q,a)\le\psi(x)\le\pi(x)\log x\le x\log x< qx$ なので誤差は $(q+1)x$ 以下であり、$\exp(-c\sqrt{\log x})\ge\exp(-c\sqrt q)$ だから $(q+1)e^{c\sqrt q}\,x\exp(-c\sqrt{\log x})$ 以下である。$C_q:=\max\{C_1,(q+1)e^{c\sqrt q}\}$ とすればよい。$\square$
この導き方では $C_q$ の値は計算できない（Siegel–Walfiszの定理 の $C_A$ が計算できないため）。法の大きさごとに分かっていることは次のとおりである（$E(x;q,a):=\psi(x;q,a)-x/\varphi(q)$、$\gcd(a,q)=1$）。
| 法 $q$ の範囲 | 分かっていること | 所在 |
|---|---|---|
| 固定 | $E(x;q,a)=o(x)$ | thm-pnta-main |
| 固定 | $E(x;q,a)=O_q\bigl(x\exp(-c\sqrt{\log x})\bigr)$ | cor-pnta-error |
| $q\le(\log x)^A$（$A$ を固定） | $E(x;q,a)=O_A\bigl(x\exp(-c\sqrt{\log x})\bigr)$、$q,a$ について一様 | Siegel–Walfiszの定理 |
| $q\le x^{1/2}(\log x)^{-B}$ の平均（$B=B(A)$） | $\sum_q\max_a\lvert E(x;q,a)\rvert=O_A\bigl(x(\log x)^{-A}\bigr)$ | Bombieri–Vinogradovの定理 |
| $2\le q\le x$（一般化 Riemann 予想を仮定） | $E(x;q,a)=O\bigl(x^{1/2}(\log x)^2\bigr)$ | Bombieri–Vinogradovの定理 の命題「一般化Riemann予想のもとでの個々の法の評価」 |
| $x/q$ が $\varepsilon$ で決まる値以上（上からの評価） | $\pi(x;q,a)\le\dfrac{(2+\varepsilon)x}{\varphi(q)\log(x/q)}$ | Brun–Titchmarshの不等式 |
逆に、ある法 $q$ のすべての既約な類 $a$ と任意の $\varepsilon>0$ について $E(x;q,a)=O(x^{1/2+\varepsilon})$ なら、法 $q$ の指標について一般化 Riemann 予想の主張が成り立つ（一般化Riemann予想 の系「算術級数の中の素数による十分条件」）。素数が法 $q$ の既約な類に均等に分かれ始める $x$ の大きさについて、Granville は次のように述べている（Gra15 §3.1、p. 183）：計算からは $x\ge q^{1+\varepsilon}$ で始まると見込まれ、一般化 Riemann 予想を仮定すれば $x\ge q^{2+\varepsilon}$ で示せるが、無条件に示されているのは $x\ge e^{q^\varepsilon}$ の範囲（Siegel–Walfiszの定理）だけである。
反例と注意
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $\gcd(a,q)=1$ | $q=4$、$a=2$ | thm-pnta-main の $\pi(x;q,a)\sim x/(\varphi(q)\log x)$ |
| $q$ が $x$ によらないこと | 各 $x\ge 8$ について $x/2< q\le x$ の素数 $q$、$a=2$ | 比 $\pi(x;q,a)\big/\frac{x}{\varphi(q)\log x}$ が $1$ に近づくこと |
| 比（漸近同値）で述べること | 固定した $q$、$\gcd(a,q)=1$ | 差 $\pi(x;q,a)-\frac{x}{\varphi(q)\log x}$ が有界であること |
1 行目：$p\equiv2\pmod4$ なら $p$ は偶数なので $p=2$ に限られ、$x\ge2$ で $\pi(x;4,2)=1$ である。一方 $x/(\varphi(4)\log x)=x/(2\log x)\to\infty$ なので、比は $0$ に近づく。一般に $\gcd(a,q)=d>1$ なら、$p\equiv a$ をみたす素数は $d$ で割り切れるので $p=d$ に限られ、$\pi(x;q,a)\le1$ である。
2 行目：Bertrand–Chebyshevの定理 によりそのような素数 $q$ があり、$x\ge8$ なら $q>4$ なので $\gcd(2,q)=1$ で、$q$ だけが条件を外れている。$n\le x< 2q$、$n\equiv2\pmod q$ なら $n=2$ か $n=q+2$ なので、$\pi(x;q,2)\ge1$ である（$p=2$）。一方 $\frac{x}{\varphi(q)\log x}=\frac{x}{(q-1)\log x}\le\frac{x}{(x/2-1)\log x}$ は $x\to\infty$ で $0$ に近づくので、比は $\infty$ に発散する。
3 行目：$q$ を固定し、$\theta(t):=\theta(t;q,a)$ と書く。Abelの級数変形法とその応用 の定理「総和関数による積分公式」を、素数 $n\equiv a$ で $\log n$、それ以外で $0$ をとる数列と $f(t)=1/\log t$ に区間 $[\frac32,x]$ で使うと、$\theta(t)=0$（$t< 2$）なので
$$
\pi(x;q,a)-\frac{x}{\varphi(q)\log x}=\frac{\theta(x)-x/\varphi(q)}{\log x}+\int_2^x\frac{\theta(t)}{t(\log t)^2}\,dt
$$
である。cor-pnta-error と prop-pnta-equivalence の 1 から、右辺の第 1 項は $x/(\log x)^2$ に比べて $0$ に近づく。thm-pnta-main により $t\ge t_0$ で $\theta(t)\ge t/(2\varphi(q))$ なので、$\sqrt x\ge t_0$ なら第 2 項は $\int_{\sqrt x}^x\frac{dt}{2\varphi(q)(\log t)^2}\ge\frac{x-\sqrt x}{2\varphi(q)(\log x)^2}$ 以上である。よって十分大きい $x$ で差は $\frac{x}{3\varphi(q)(\log x)^2}$ 以上になり、$\infty$ に発散する。
- 固定した法での一様性．thm-pnta-main は、各 $q$ について別々に $x\to\infty$ の極限を述べる。2 行目のように $q$ が $x$ に近いと、類に入る整数そのものが少ないので、比は $1$ から離れる。$q$ が $x$ に比べて小さいときに比が $1$ に近いことを一様に示すのが Siegel–Walfiszの定理 である。
- 個数と密度．Dirichletの算術級数定理 の注意「Dirichlet 密度と一般化」の Dirichlet 密度 $1/\varphi(q)$ は、$s\to1+0$ での逆数和の比である。thm-pnta-main はそれより強く、個数の比 $\pi(x;q,a)/\pi(x)$ の極限を与える。
関連項目
参考文献
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