Enriques–小平の分類

$s,t\in H^0(mK)$ を一次独立な切断とし、$f:=t/s$ を $X$ の関数体 $k(X)$ の元とみる（$\omega_X^{\otimes m}$ の生成点での茎は $k(X)$ 上 1 次元なので、商が定まる）。一次独立性から $f\notin k$ である。$k$ は代数閉体なので、$k(X)$ の元で $k$ 上代数的なものは $k$ に入り、$f$ は $k$ 上超越的である。$l\ge1$ について $s^{l-j}t^j\in H^0(lmK)$（$0\le j\le l$）を考える。$\sum_jc_js^{l-j}t^j=0$（$c_j\in k$）なら、$s^l$ で割って $\sum_jc_jf^j=0$ となり、$f$ が超越的なのですべての $c_j$ が $0$ である。よって $P_{lm}\ge l+1$ で、$P_n$ は有界でない。$P_m\neq0$ なので $\kappa\ne-\infty$ であり、$P_n/n^0$ が有界でないので $\kappa\ne0$ である。$\square$

$\kappa\ge0$ なので、ある $m\ge1$ で $P_m\ge1$ であり、$mK$ は有効因子 $E$ と線形同値である。曲線 $C$ が $K\cdot C<0$ をみたすと仮定する。$E\cdot C=mK\cdot C<0$ である。共通成分のない曲線どうしの交点数は $0$ 以上なので（曲面の交点形式とRiemann–Rochの定理 の定理「交点形式」の 3）、$C$ は $E$ の成分である。$E=aC+E'$（$a\ge1$、$E'$ は $C$ を成分にもたない有効因子）と書くと $E'\cdot C\ge0$ なので $aC^2=E\cdot C-E'\cdot C<0$、すなわち $C^2<0$ である。双有理幾何学 の定理「$K$ 負で自己交点数が負の曲線」により $C$ は $(-1)$ 曲線となり、$X$ の極小性に反する。よって $K$ はネフである。$E=\sum a_iC_i$（$a_i>0$）と書くと $K^2=\frac1m K\cdot E=\frac1m\sum a_iK\cdot C_i\ge0$ である。$\square$

$K^2>0$ ならば $\kappa=2$．$mK\sim E\ge0$ とする。$E=0$ なら $mK\sim0$ で $K^2=0$ となるので、$E\neq0$ である。豊富な因子 $H$ をとると、代数曲面 の補題「有効因子と豊富な因子の交点数」により $K\cdot H=\frac1mE\cdot H>0$ である。同記事の命題「自己交点数が正の因子の倍数」を $D=K$ に使うと、十分大きな $n$ で
$$ P_n=h^0(nK)\ \ge\ \frac{K^2}2\,n(n-1)+\chi(\mathcal{O}_X) $$
となり、$P_n/n$ は有界でない。よって $\kappa\ge2$、したがって $\kappa=2$ である。
$\kappa=2$ ならば $K^2>0$．$H$ を非常に豊富な因子とする。Bertini の定理（Har77 II 定理 8.18, p. 179 と III 注意 7.9.1, p. 245）により、滑らかで連結な曲線 $C\in|H|$ がとれる。完全列 $0\to\mathcal{O}_X(nK-C)\to\mathcal{O}_X(nK)\to\mathcal{O}_C(nK)\to0$ から
$$ h^0(nK)\ \le\ h^0(nK-H)+h^0(C,\mathcal{O}_C(nK))\ \le\ h^0(nK-H)+nK\cdot H+1 $$
である（$K$ はネフなので $\mathcal{O}_C(nK)$ の次数 $nK\cdot H$ は $0$ 以上。thm-ekc-nef）。$\kappa=2$ なので $P_n/n$ は有界でなく、$P_n>nK\cdot H+1$ となる $n$ がある。その $n$ で $h^0(nK-H)\ge1$ であり、$nK-H$ は有効因子 $E'$ と線形同値である。$H^2>0$ と $E'\cdot H\ge0$ から $nK\cdot H=H^2+E'\cdot H>0$、$K$ がネフなので $K\cdot E'\ge0$ であり、
$$ nK^2=K\cdot(H+E')\ \ge\ K\cdot H\ >\ 0 $$
を得る。最後の主張は、thm-ekc-nef の $K^2\ge0$ と合わせて従う。$\square$

1． $K^2=0$ は thm-ekc-k2、$p_g=P_1\le1$ は lem-ekc-pm による。Noetherの公式 $12\chi=K^2+e$ に $K^2=0$、$\chi=1-q+p_g$、$e=2-4q+b_2$ を入れると $b_2=10+12p_g-8q$ を得る。$b_2\ge2p_g+1$ から $8q\le9+10p_g$ で、$p_g=0$ なら $q\le1$、$p_g=1$ なら $q\le2$ である。残る $(p_g,q)=(1,1)$ を除く。$q\ge1$ なので、$c_1=0$ の可逆層の群 $\operatorname{Pic}^0(X)\cong H^1(X,\mathcal{O}_X)/H^1(X,\mathbb{Z})$ は $q$ 次元の複素トーラスで、自明でない $2$ 等分点、すなわち $\mathcal{L}\not\cong\mathcal{O}_X$、$\mathcal{L}^{\otimes2}\cong\mathcal{O}_X$ となる可逆層 $\mathcal{L}$ をもつ。$c_1(\mathcal{L})=0$ なので $\mathcal{L}$ はすべての曲線と交点数 $0$ である。$\mathcal{L}$ が $0$ でない切断をもつと、その零因子 $Z\ge0$ は豊富な $H$ と $Z\cdot H=0$ をみたし、代数曲面 の補題「有効因子と豊富な因子の交点数」から $Z=0$、$\mathcal{L}\cong\mathcal{O}_X$ となるので、$h^0(\mathcal{L})=0$ である。Riemann–Roch の定理から $\chi(\mathcal{L})=\chi(\mathcal{O}_X)=1$ なので、Serre 双対性により $h^0(K-\mathcal{L})=h^2(\mathcal{L})\ge1$ である（$K-\mathcal{L}$ は $\omega_X\otimes\mathcal{L}^{-1}$ を表す）。$D\in|K-\mathcal{L}|$、$K_0\in|K|$ をとると $2D$ と $2K_0$ はどちらも $|2K|$ に入る。$P_2\le1$ なので $|2K|$ は 1 つの因子だけからなり、$2D=2K_0$、したがって $D=K_0$ である。すると $\mathcal{L}\cong\mathcal{O}_X(K_0-D)=\mathcal{O}_X$ となり矛盾する。
2． $\chi=2$ である。Riemann–Roch の定理から $\chi(-K)=\chi+\frac12(-K)\cdot(-2K)=2+K^2=2$ で、Serre 双対性 $h^2(-K)=h^0(2K)=P_2\le1$ から $h^0(-K)\ge1$ である。$K_0\in|K|$、$F\in|-K|$ をとると $K_0+F$ は $0$ と線形同値な有効因子なので $0$ であり（大域関数は定数）、$K_0=F=0$、すなわち $K\sim0$ である。
3． $\chi=1$ である。$X$ は $\kappa=0$ なので有理曲面でなく、Castelnuovo の判定法（$q=P_2=0$ なら有理曲面。Har77 V 定理 6.2, p. 422、BHPV04 VI 3.4, p. 252）により $P_2\ge1$、lem-ekc-pm から $P_2=1$ である。$P_3=0$ を示す。$P_3=1$ なら $D_2\in|2K|$、$D_3\in|3K|$ について $3D_2$ と $2D_3$ はどちらも $|6K|$ に入り、$P_6\le1$ から $3D_2=2D_3$ である。各成分の重複度を比べると $D_2=2D$、$D_3=3D$ となる有効因子 $D$ があり、$D=D_3-D_2\sim K$ となって $p_g=0$ に反する。よって $P_3=0$ である。Riemann–Roch の定理から $\chi(3K)=1+\frac12\cdot3K\cdot2K=1$ で、$h^0(3K)+h^0(-2K)\ge1$（Serre 双対性 $h^2(3K)=h^0(-2K)$）から $h^0(-2K)\ge1$ である。2 と同じく $|2K|$ と $|-2K|$ の元の和が $0$ になるので $2K\sim0$ である。$p_g=0$ なので $K\not\sim0$ である。$\square$