平坦加群

以下 $-\otimes_AM$ を施した写像を $u_M:=u\otimes\mathrm{id}_M$ のように書く。関手性により $(v\circ u)_M=v_M\circ u_M$ であり、零写像は零写像に写る。
（1 $\Rightarrow$ 2）$0\to N'\xrightarrow{u}N\xrightarrow{v}N''\to0$ を短完全列とする。$N'\to N\to N''\to0$ は完全なので、右完全性により $N'\otimes M\to N\otimes M\to N''\otimes M\to0$ は完全である。$u$ は単射なので、1 により $u_M$ も単射である。よって $0\to N'\otimes M\to N\otimes M\to N''\otimes M\to0$ は完全である。
（2 $\Rightarrow$ 3）$N'\xrightarrow{u}N\xrightarrow{v}N''$ が $N$ で完全であるとする。$K:=\operatorname{im}u=\ker v$、$C:=\operatorname{im}v$ とおき、$u$ を全射 $u_1\colon N'\to K$ と包含 $i\colon K\to N$ の合成に、$v$ を全射 $v_1\colon N\to C$ と包含 $j\colon C\to N''$ の合成に分解する。$0\to K\xrightarrow{i}N\xrightarrow{v_1}C\to0$ は短完全列（$\ker v_1=\ker v=K$）なので、2 により $0\to K\otimes M\xrightarrow{i_M}N\otimes M\xrightarrow{(v_1)_M}C\otimes M\to0$ は短完全列である。また、$0\to C\xrightarrow{j}N''\to N''/C\to0$ に 2 を適用すれば $j_M$ は単射であり、$N'\xrightarrow{u_1}K\to0$ に右完全性を適用すれば $(u_1)_M$ は全射である。したがって
$$ \operatorname{im}u_M=\operatorname{im}\bigl(i_M\circ(u_1)_M\bigr)=\operatorname{im}i_M=\ker(v_1)_M=\ker\bigl(j_M\circ(v_1)_M\bigr)=\ker v_M $$
である。ここで 2 番目の等号は $(u_1)_M$ の全射性、4 番目の等号は $j_M$ の単射性による。
（3 $\Rightarrow$ 1）$u\colon N'\to N$ が単射なら $0\to N'\xrightarrow{u}N$ は $N'$ で完全である。3 により $0=0\otimes M\to N'\otimes M\xrightarrow{u_M}N\otimes M$ も $N'\otimes M$ で完全であり、$\ker u_M=0$、すなわち $u_M$ は単射である。

$M:=\bigoplus_\lambda M_\lambda$ とおく。テンソル積 の記事の命題「直和との可換性」と可換性の同型を合わせると、各 $A$ 加群 $N$ について同型
$$ \Phi_N\colon N\otimes_AM\xrightarrow{\ \sim\ }\bigoplus_\lambda\bigl(N\otimes_AM_\lambda\bigr),\qquad n\otimes(m_\lambda)_\lambda\longmapsto(n\otimes m_\lambda)_\lambda $$
がある。線形写像 $u\colon N'\to N$ について、単純テンソル $n'\otimes(m_\lambda)_\lambda$ の行き先を比べれば
$$ \Phi_N\circ(u\otimes\mathrm{id}_M)=\Bigl(\bigoplus_\lambda u\otimes\mathrm{id}_{M_\lambda}\Bigr)\circ\Phi_{N'} $$
である。ここで右辺の $\bigoplus_\lambda u\otimes\mathrm{id}_{M_\lambda}$ は各成分に $u\otimes\mathrm{id}_{M_\lambda}$ を施す写像である。$\Phi_N,\Phi_{N'}$ は同型なので、$u\otimes\mathrm{id}_M$ が単射であることと $\bigoplus_\lambda u\otimes\mathrm{id}_{M_\lambda}$ が単射であることは同値である。線形写像の族の直和が単射であることは、各成分の写像がすべて単射であることと同値である（直和の元が $0$ であるとは各成分が $0$ であることだから）。
よって、すべての $M_\lambda$ が平坦なら、任意の単射 $u$ について $\bigoplus_\lambda u\otimes\mathrm{id}_{M_\lambda}$ は単射であり、$M$ は平坦である。逆に $M$ が平坦なら、任意の単射 $u$ について $\bigoplus_\lambda u\otimes\mathrm{id}_{M_\lambda}$ は単射であり、各成分 $u\otimes\mathrm{id}_{M_\lambda}$ も単射であるから、各 $M_\lambda$ は平坦である。$M\cong M'\oplus M''$ なら、$M'$ は 2 項の族の直和の成分なので、最後の主張が従う。

$P\oplus Q\cong F$（$F$ は自由加群）とする。自由加群は平坦である（ex-flat-module-free）。同型な加群の一方が平坦なら他方も平坦である（テンソル積は同型を同型に送る）ので $P\oplus Q$ は平坦であり、prop-flat-module-direct-sum により直和因子 $P$ は平坦である。

$M:=\varinjlim_iM_i$ とし、$u\colon N'\to N$ を単射とする。帰納極限 の記事の命題「テンソル積との交換」と可換性の同型により、各 $A$ 加群 $N$ について、$\lambda_i(n\otimes m_i)\mapsto n\otimes\mu_i(m_i)$（$\mu_i\colon M_i\to M$、$\lambda_i\colon N\otimes M_i\to\varinjlim_i(N\otimes M_i)$ は標準射）で与えられる同型 $\Psi_N\colon\varinjlim_i(N\otimes_AM_i)\to N\otimes_AM$ がある。単純テンソルの行き先を比べれば $(u\otimes\mathrm{id}_M)\circ\Psi_{N'}=\Psi_N\circ\varinjlim_i(u\otimes\mathrm{id}_{M_i})$ であり、ここで $\varinjlim_i(u\otimes\mathrm{id}_{M_i})$ は帰納系の射 $(u\otimes\mathrm{id}_{M_i})_i\colon(N'\otimes M_i)_i\to(N\otimes M_i)_i$ の誘導する写像である。各 $M_i$ が平坦なので、各 $u\otimes\mathrm{id}_{M_i}$ は単射である。したがって $0\to(N'\otimes M_i)_i\to(N\otimes M_i)_i$ は帰納系の完全列であり、帰納極限 の記事の定理「帰納極限の完全性」（有向集合上の帰納極限は完全関手）により $\varinjlim_i(u\otimes\mathrm{id}_{M_i})$ は単射である。$\Psi_N,\Psi_{N'}$ は同型なので $u\otimes\mathrm{id}_M$ も単射である。

$a\in A$、$a\neq0$ とし、$\mu_a\colon A\to A$、$r\mapsto ar$ を $a$ 倍写像とする。$A$ は整域なので $ar=0$ なら $r=0$ であり、$\mu_a$ は単射である。$M$ は平坦なので $\mu_a\otimes\mathrm{id}_M\colon A\otimes_AM\to A\otimes_AM$ は単射である。同型 $A\otimes_AM\cong M$、$r\otimes m\mapsto rm$ で両辺を $M$ と同一視すると、$\mu_a\otimes\mathrm{id}_M$ は $r\otimes m\mapsto ar\otimes m$ だから $M$ 上の $a$ 倍写像 $m\mapsto am$ になる。よって $am=0$ なら $m=0$ であり、$M$ は捩れをもたない。

平坦なら捩れをもたないことは prop-flat-module-torsion-free である。逆に $M$ が捩れをもたないとし、thm-flat-module-ideal-criterion の条件 2 を確かめる。$A$ の任意のイデアルは単項イデアル $I=aA$ である。$a=0$ なら $I=0$ で $I\otimes_AM=0$ なので、写像は単射である。$a\neq0$ とする。$A$ は整域なので $\mu\colon A\to I$、$r\mapsto ar$ は線形同型であり、$\mu\otimes\mathrm{id}_M\colon A\otimes_AM\to I\otimes_AM$ も同型である。合成
$$ M\cong A\otimes_AM\xrightarrow{\ \mu\otimes\mathrm{id}_M\ }I\otimes_AM\longrightarrow A\otimes_AM\cong M $$
は $m\mapsto1\otimes m\mapsto a\otimes m\mapsto am$、すなわち $a$ 倍写像である。$M$ は捩れをもたないのでこれは単射であり、最初の 2 つの写像は同型なので、$I\otimes_AM\to M$ は単射である。よって $M$ は平坦である。