斉次座標

同義語：同次座標homogeneous coordinates

概要

前提知識: 射影空間, ベクトル空間, 斉次多項式

平面の点 $(x,y)$ を 3 つの数の比 $[x:y:1]$ で表し、さらに $[x:y:0]$ の形の比を「無限遠の点」として付け加える。これが 斉次座標 の考え方である。比で表すので、$(x,y,1)$ と $(2x,2y,2)$ は同じ点を表す。この表し方を使うと、平行な 2 直線が無限遠の 1 点で交わることや、射影空間の上の図形が斉次多項式の零点として書けることが、計算として見えるようになる。
この記事では、体 $K$ の上の射影空間 $\mathbb{P}^n(K)$ の斉次座標を定め、斉次座標で意味をもつもの（座標が $0$ かどうか、座標の比、斉次多項式の零点）ともたないもの（個々の座標の値、斉次でない多項式の値）を区別する（prop-hc-zero、prop-hc-components）。次に、座標の 1 つを $1$ にそろえる非斉次座標で射影空間がアフィン空間と無限遠超平面に分かれることを示し（thm-hc-chart）、最後に基底の取り替えが射影変換にあたること、一般の位置にある $n+2$ 点を基準の点に選べることを述べる（cor-hc-frame）。

定義

以下 $K$ を体、$n\ge0$ を整数とする。$K^\times:=K\setminus\{0\}$ と書く。

斉次座標

$K^{n+1}\setminus\{0\}$ の 2 つの元 $x=(x_0,\dots,x_n)$、$y=(y_0,\dots,y_n)$ を、ある $\lambda\in K^\times$ について $y=\lambda x$ となるとき同値とし、同値類の全体
$$ \mathbb{P}^n(K):=(K^{n+1}\setminus\{0\})/K^\times $$
を $n$ 次元射影空間とする。点 $P\in\mathbb{P}^n(K)$ を代表する組 $(x_0,\dots,x_n)\in K^{n+1}\setminus\{0\}$ を、$P$ の 斉次座標（homogeneous coordinates）といい、$P=[x_0:\dots:x_n]$ と書く。
より一般に、$V$ を $K$ の上の $n+1$ 次元ベクトル空間、$\mathbb{P}(V)$ を $V$ の 1 次元部分空間の全体とし、$V$ の基底 $v_0,\dots,v_n$ を 1 つ固定する。$0$ でない $v=\sum_ix_iv_i$ が張る点 $[v]\in\mathbb{P}(V)$ について、$(x_0,\dots,x_n)$ をこの基底に関する $[v]$ の斉次座標という。

定義から、2 つの組 $x$、$y$ が同じ点の斉次座標であることは、$y=\lambda x$（$\lambda\in K^\times$）となることと同値である。つまり斉次座標は $0$ でない定数倍を除いて定まる。$K^{n+1}$ の標準基底を使えば、後半の定義は前半の定義に一致し、射影空間の定義「射影空間」で $[a_0:\cdots:a_n]$ と書いたものと同じである。
斉次座標の成分 $x_i$ の値そのものは点によって決まらない。$x$ を $\lambda x$ に替えると $x_i$ は $\lambda x_i$ に変わるからである。一方、次の 2 つは代表のとり方によらない（Ful08 §4.1, p. 43）。

$x_i=0$ かどうか。$\lambda x_i=0$ と $x_i=0$ は同値である。
$x_i\ne0$ のときの比 $x_j/x_i$。$\lambda x_j/(\lambda x_i)=x_j/x_i$ である。

直感

斉次座標の点 $[x_0:\dots:x_n]$ は、原点と $(x_0,\dots,x_n)$ を通る直線そのものである。$K=\mathbb{R}$、$n=2$ なら、$\mathbb{R}^3$ の原点を通る直線を考え、平面 $z=1$ と交わる直線はその交点 $(x,y,1)$ で、交わらない直線（平面 $z=0$ に含まれる直線）は方向だけで覚える。前者が普通の平面の点、後者が無限遠の点である。比の形で書くことで、2 種類の点を 1 つの記法で扱える。

斉次多項式の零点

斉次座標の値そのものに意味がないので、多項式を射影空間の点で「評価する」ことにも注意が要る。多項式 $F\in K[x_0,\dots,x_n]$ について、$P$ のすべての斉次座標 $x$ で $F(x)=0$ となるとき、$F$ は $P$ で 消える といい $F(P)=0$ と書く（Ful08 §4.2, p. 45）。

斉次多項式の零点と比

$F,G\in K[x_0,\dots,x_n]$ を次数 $d$ の斉次多項式（斉次多項式）とし、$P\in\mathbb{P}^n(K)$ とする。

$P$ のある斉次座標 $x$ で $F(x)=0$ なら、$F(P)=0$ である。
$G(x)\ne0$ なら、比 $F(x)/G(x)$ は $P$ の斉次座標 $x$ のとり方によらない。

$F=\sum_{|\alpha|=d}c_\alpha x^\alpha$ の各単項式は次数 $d$ なので、$\lambda\in K^\times$ について $(\lambda x)^\alpha=\lambda^dx^\alpha$、したがって $F(\lambda x)=\lambda^dF(x)$ である。$G$ も同じである。
1．$P$ の任意の斉次座標は $\lambda x$（$\lambda\in K^\times$）の形で、$F(\lambda x)=\lambda^dF(x)=0$ である。
2．$G(\lambda x)=\lambda^dG(x)\ne0$ であり、$F(\lambda x)/G(\lambda x)=\lambda^dF(x)/(\lambda^dG(x))=F(x)/G(x)$ である。$\square$

したがって斉次多項式 $F_1,\dots,F_r$ の共通零点 $\{P\mid F_1(P)=\dots=F_r(P)=0\}$ は $\mathbb{P}^n(K)$ の部分集合として定まる。$\mathbb{P}^2(K)$ の直線は、$(a,b,c)\ne0$ についての 1 次式の零点 $\{[x:y:z]\mid ax+by+cz=0\}$ である。
斉次でない多項式については、すべての斉次座標で消えることを各斉次成分の言葉に言い換えられる。ここで体が無限であることが効く。

斉次でない多項式が点で消える条件

$K$ を無限体とし、$F\in K[x_0,\dots,x_n]$ を斉次成分に $F=F_0+F_1+\dots+F_m$（$F_i$ は次数 $i$ の斉次多項式）と分ける。$P\in\mathbb{P}^n(K)$ について、$F(P)=0$ であることと、すべての $i$ について $F_i(P)=0$ であることは同値である。

すべての $F_i$ が $P$ で消えれば、$P$ のどの斉次座標 $x$ でも $F(x)=\sum_iF_i(x)=0$ である。
逆に $F(P)=0$ とし、$P$ の斉次座標 $x$ を 1 つ固定する。1 変数の多項式 $g(t):=\sum_{i=0}^mF_i(x)\,t^i\in K[t]$ を考えると、$\lambda\in K^\times$ について $g(\lambda)=\sum_i\lambda^iF_i(x)=\sum_iF_i(\lambda x)=F(\lambda x)=0$ である。$K$ は無限体なので $K^\times$ も無限集合であり、$g$ は無限個の根をもつ。$0$ でない 1 変数多項式の根は次数以下の個数しかないので、$g=0$、すなわちすべての $i$ で $F_i(x)=0$ である。prop-hc-zero の 1 により $F_i(P)=0$ である。$\square$

非斉次座標と無限遠超平面

$i=0,1,\dots,n$ について $U_i:=\{[x_0:\dots:x_n]\mid x_i\ne0\}$ とおく。$x_i\ne0$ かどうかは斉次座標のとり方によらないので、$U_i$ は $\mathbb{P}^n(K)$ の部分集合として定まる。$P\in U_i$ の斉次座標を $x_i$ で割ると、第 $i$ 成分が $1$ の斉次座標がただ 1 つ得られる。残りの成分 $(x_0/x_i,\dots,\widehat{x_i/x_i},\dots,x_n/x_i)$（$\widehat{\ \ }$ は除くことを表す）を、$U_i$ に関する $P$ の 非斉次座標 という（Ful08 §4.1, pp. 43–44）。

非斉次座標と無限遠超平面

$n\ge1$ とし、$0\le i\le n$ を固定する。

写像 $\varphi_i\colon U_i\to K^n$、$[x_0:\dots:x_n]\mapsto(x_0/x_i,\dots,\widehat{x_i/x_i},\dots,x_n/x_i)$ は矛盾なく定まる全単射で、逆写像は $(a_0,\dots,\widehat{a_i},\dots,a_n)\mapsto[a_0:\dots:a_{i-1}:1:a_{i+1}:\dots:a_n]$ である。
補集合 $H_i:=\mathbb{P}^n(K)\setminus U_i=\{x_i=0\}$ は、第 $i$ 成分を除く写像 $[x_0:\dots:x_{i-1}:0:x_{i+1}:\dots:x_n]\mapsto[x_0:\dots:\widehat{x_i}:\dots:x_n]$ によって $\mathbb{P}^{n-1}(K)$ と一対一に対応する。
$\mathbb{P}^n(K)=U_0\cup U_1\cup\dots\cup U_n$ である。
とくに $\mathbb{P}^n(K)$ は、$K^n$ と同一視される $U_i$ と、$\mathbb{P}^{n-1}(K)$ と同一視される $H_i$ の交わらない和である。$H_i$ を（$U_i$ に関する）無限遠超平面 という。

1．$x$ を $\lambda x$ に替えても比 $x_j/x_i$ は変わらないので、$\varphi_i$ は矛盾なく定まる。$\psi_i(a):=[a_0:\dots:a_{i-1}:1:a_{i+1}:\dots:a_n]$ とおくと、第 $i$ 成分が $1\ne0$ なので $\psi_i(a)\in U_i$ であり、$\varphi_i(\psi_i(a))=a$ である。逆に $P=[x]\in U_i$ なら $x$ と $x/x_i$ は同じ点を表すので、$\psi_i(\varphi_i(P))=[x/x_i]=P$ である。よって $\varphi_i$ と $\psi_i$ は互いに逆写像である。
2．$H_i$ の点の斉次座標は第 $i$ 成分が $0$ で、残りの成分は全部は $0$ でないので、第 $i$ 成分を除いた組は $K^n\setminus\{0\}$ の元である。定数倍は定数倍に写るので、写像は矛盾なく定まる。第 $i$ 成分に $0$ を挿入する写像がその逆写像である。
3．$x\ne0$ ならある成分 $x_i$ が $0$ でないので、$[x]$ はその $U_i$ に属する。$\square$

$\mathbb{P}^n(K)$ が $K=\mathbb{R}$、$\mathbb{C}$ のときに $U_i$ と $\varphi_i$ が位相多様体の座標近傍を与えることは、射影空間の命題「アフィン座標近傍と多様体構造」で示されている。$n=0$ のときは $\mathbb{P}^0(K)=\{[1]\}$ は 1 点である。
アフィン空間 $K^n$ の図形を射影空間の図形に移すには、多項式を斉次化する。$f\in K[y_1,\dots,y_n]$ を次数 $d$ の多項式とし、変数 $y_k$ を $U_0$ の非斉次座標 $x_k/x_0$ と思って
$$ f^h(x_0,\dots,x_n):=x_0^d\,f\Bigl(\frac{x_1}{x_0},\dots,\frac{x_n}{x_0}\Bigr) $$
とおく。$f$ の次数 $j$ の斉次成分を $f_j$ とすると $f^h=\sum_{j=0}^dx_0^{d-j}f_j(x_1,\dots,x_n)$ で、$f^h$ は次数 $d$ の斉次多項式である。これを $f$ の 斉次化 という（Ful08 §2.6, p. 24）。$a\in K^n$ について $f^h(1,a_1,\dots,a_n)=f(a)$ なので、$f(a)=0$ は $f^h$ が点 $[1:a_1:\dots:a_n]$ で消えることと同値である。また $H_0$ の点 $[0:b_1:\dots:b_n]$ では $f^h(0,b)=f_d(b)$ なので、$\{f^h=0\}$ の無限遠の点は最高次の斉次成分 $f_d$ の零点である。斉次化と、それを使った射影閉包の詳しい性質は射影閉包の補題「斉次化の基本性質」と命題「無限遠点と最高次斉次成分」にある。

平行線は無限遠の 1 点で交わる

$\mathbb{P}^2(K)$ の斉次座標を $[x:y:z]$ とし、$U_z=\{z\ne0\}$ を平面 $K^2$ と同一視する（点 $(x,y)$ と $[x:y:1]$）。直線 $y=mx+b$ を斉次化すると $y=mx+bz$ である。その無限遠の点は $z=0$ とおいた $y=mx$ の零点で、ただ 1 つの点 $[1:m:0]$ である。これは $b$ によらないので、傾き $m$ の平行な直線はすべて無限遠の点 $[1:m:0]$ を通る。縦の直線 $x=c$ は $x=cz$ になり、無限遠の点は $[0:1:0]$ である。
逆に $[1:m:0]$ は傾き $m$ の方向、$[0:1:0]$ は縦の方向を表し、無限遠直線 $\{z=0\}$ は平面の直線の方向の全体である。異なる 2 直線は、平行でなければ $U_z$ の中の 1 点で、平行なら無限遠の 1 点で交わる。

円の無限遠点

円 $x^2+y^2=r^2$（$r\ne0$）を斉次化すると $x^2+y^2=r^2z^2$ である。無限遠の点は $z=0$、$x^2+y^2=0$ を満たす点である。$K=\mathbb{R}$ なら $x=y=0$ となり $[0:0:0]$ は点ではないので、実の円は無限遠の点をもたない。$K=\mathbb{C}$ なら $y=\pm ix$ から 2 点 $[1:i:0]$、$[1:-i:0]$ を得る。これらは $r$ にも円の中心にもよらない：中心 $(c_1,c_2)$ の円 $(x-c_1z)^2+(y-c_2z)^2=r^2z^2$ でも $z=0$ とおけば同じ式 $x^2+y^2=0$ になるからである。すべての円が通るこの 2 点を円点という。

座標の取り替えと射影変換

斉次座標は基底を決めて初めて定まる。基底を取り替えると斉次座標は可逆行列で変わる。

基底の取り替えと斉次座標

$V$ の 2 つの基底 $v_0,\dots,v_n$ と $w_0,\dots,w_n$ をとり、$w_j=\sum_ia_{ij}v_i$ で可逆行列 $A=(a_{ij})$ を定める。点 $P\in\mathbb{P}(V)$ の $w$ に関する斉次座標を $y$（列ベクトル）とすると、$Ay$ は $v$ に関する $P$ の斉次座標である。逆に、可逆行列 $A$ を 1 つ与えると、$w_j:=\sum_ia_{ij}v_i$ は基底であり、上の関係をみたす。

$P=[v]$、$v=\sum_jy_jw_j$ とすると、$v=\sum_jy_j\sum_ia_{ij}v_i=\sum_i\bigl(\sum_ja_{ij}y_j\bigr)v_i$ なので、$v$ の $v_i$ に関する成分は $(Ay)_i$ である。$v\ne0$ なので $Ay\ne0$ であり、$Ay$ は $P$ の斉次座標である。後半：$A$ が可逆なら、$w_0,\dots,w_n$ の線形関係 $\sum_jc_jw_j=0$ は $Ac=0$ を意味し、$c=0$ である。$n+1$ 次元の空間の $n+1$ 個の線形独立なベクトルは基底である（基底）。$\square$

同じ $P$ について、斉次座標の取り替え $y\mapsto Ay$ は点の対応 $[y]\mapsto[Ay]$、すなわち射影幾何学の定義「射影変換」の射影変換を与える。$A$ と $cA$（$c\in K^\times$）は同じ対応を与え、同じ対応を与える 2 つの行列は互いに定数倍である（射影幾何学の定理「射影枠の基本定理」の最後の主張、射影一般線形群）。$\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$ の場合、$[x:y]\mapsto[ax+by:cx+dy]$ を非斉次座標 $t=x/y$ で書くと $t\mapsto(at+b)/(ct+d)$ で、Möbius変換にあたる。
射影幾何学の定義「一般の位置と射影枠」のとおり、$\mathbb{P}(V)$ の $n+2$ 個の点が 一般の位置 にあるとは、代表のベクトルのどの $n+1$ 個も線形独立であることをいう。

一般の位置にある点を基準に選ぶ

$P_0,\dots,P_{n+1}\in\mathbb{P}(V)$ が一般の位置にあれば、$V$ の基底をうまく選んで、$P_0,\dots,P_n$ の斉次座標がそれぞれ $(1,0,\dots,0)$、$(0,1,0,\dots,0)$、…、$(0,\dots,0,1)$ に、$P_{n+1}$ の斉次座標が $(1,1,\dots,1)$ になるようにできる。このような基底は定数倍を除いてただ 1 つである。

$P_i=[u_i]$ とする。$u_0,\dots,u_n$ は線形独立なので基底であり、$u_{n+1}=\sum_{i=0}^nc_iu_i$ と書ける。ある $c_i$ が $0$ なら、$u_{n+1}$ と $u_j$（$j\ne i$、$j\le n$）の $n+1$ 個が線形従属になり、一般の位置の仮定に反するので、すべての $c_i\ne0$ である。$w_i:=c_iu_i$（$0\le i\le n$）とおくと $w_0,\dots,w_n$ は基底で、$P_i=[w_i]$ の斉次座標は第 $i$ 単位ベクトル、$u_{n+1}=\sum_iw_i$ なので $P_{n+1}$ の斉次座標は $(1,\dots,1)$ である。
一意性：別の基底 $w'_0,\dots,w'_n$ も同じ性質をもつとする。$[w'_i]=P_i=[w_i]$ から $w'_i=\mu_iw_i$（$\mu_i\in K^\times$）と書ける。$\sum_iw'_i$ と $\sum_iw_i$ はどちらも $P_{n+1}$ を表すので、ある $\nu\in K^\times$ について $\sum_i\mu_iw_i=\nu\sum_iw_i$ であり、$w_i$ の線形独立性から $\mu_i=\nu$（すべての $i$）である。よって $w'=\nu w$ である。$\square$

この系は、射影変換が一般の位置にある $n+2$ 点の行き先で決まるという射影幾何学の定理「射影枠の基本定理」を、座標の選び方の言葉で述べ直したものである。たとえば $\mathbb{P}^2$ のどの 3 点も一直線上にない 4 点は、座標を選べば $[1:0:0]$、$[0:1:0]$、$[0:0:1]$、$[1:1:1]$ にできる。

例

有限体の上の点の数え方

$K=\mathbb{F}_q$（$q$ 元体）とする。$P\in\mathbb{P}^n(\mathbb{F}_q)$ の斉次座標のうち、最初の $0$ でない成分が $1$ のものはただ 1 つである（その成分の逆数を掛ければよく、ほかの定数倍ではその成分が $1$ でない）。最初の $0$ でない成分が第 $i$ 成分である組は $q^{n-i}$ 個あるので、
$$ |\mathbb{P}^n(\mathbb{F}_q)|=q^n+q^{n-1}+\dots+q+1=\frac{q^{n+1}-1}{q-1} $$
である。これは thm-hc-chart の分解 $\mathbb{P}^n=U_0\sqcup H_0$ から得られる漸化式 $|\mathbb{P}^n|=q^n+|\mathbb{P}^{n-1}|$ とも一致する（射影空間の命題「有限体上の射影空間の点の個数」）。

三角形の重心座標

$K=\mathbb{R}$ とし、平面の一直線上にない 3 点 $A,B,C$ をとる。$\mathbb{R}^3$ のベクトル $\hat A=(A,1)$、$\hat B=(B,1)$、$\hat C=(C,1)$ は線形独立である（3 点がアフィン独立であることの言い換え）。この基底に関する斉次座標 $[\alpha:\beta:\gamma]$ を考えると、平面の点 $X$ は $\hat X=(X,1)=\alpha\hat A+\beta\hat B+\gamma\hat C$ と書け、最後の成分から $\alpha+\beta+\gamma=1$ である。つまり平面の点の斉次座標は、成分の和が $1$ になるように定数倍をそろえれば、三角形 $ABC$ の重心座標そのものである。$\alpha+\beta+\gamma=0$ となる点は、最後の成分が $0$ のベクトルが張る点、すなわち無限遠の点である。三角形の重心は $[1:1:1]$ で表され、4 点 $A$、$B$、$C$、重心は一般の位置にある。

反例

prop-hc-zero などの仮定を 1 つずつ外すと、結論が成り立たなくなる。

外す条件	反例	成り立たなくなること
$F$ が斉次	$F=x_0-x_1^2$、$P=[1:1]\in\mathbb{P}^1(\mathbb{R})$	1 つの斉次座標で消えても、$P$ で消えるとは限らない
$F$ と $G$ の次数が等しい	$F=x_0$、$G=x_0^2+x_1^2$、$P=[1:0]$	比 $F/G$ が斉次座標のとり方による
$K$ が無限体	$K=\mathbb{F}_2$、$F=x_0+x_0^2$、$P=[1:0]$	$F(P)=0$ でも斉次成分が $P$ で消えない
点が一般の位置	$[1:0:0]$、$[0:1:0]$、$[1:1:0]$、$[0:0:1]$	基準の 4 点 $[1:0:0],[0:1:0],[0:0:1],[1:1:1]$ に写す座標がない

表の反例の確かめ

1 行目：斉次座標 $(1,1)$ では $F=1-1=0$、$(2,2)$ では $F=2-4=-2\ne0$ である。$F$ は斉次でない（次数 1 と 2 の成分をもつ）。
2 行目：$F$、$G$ は斉次で次数は $1$ と $2$ である。$(1,0)$ では $F/G=1$、$(2,0)$ では $F/G=2/4=1/2$ である。
3 行目：$\mathbb{F}_2^\times=\{1\}$ なので $P$ の斉次座標は $(1,0)$ だけで、$F(1,0)=1+1=0$ だから $F(P)=0$ である。一方、斉次成分 $F_1=x_0$、$F_2=x_0^2$ はどちらも $(1,0)$ で $1$ である。prop-hc-components の証明の多項式 $g(t)=t+t^2$ は $\mathbb{F}_2^\times$ の上で $0$ だが、$0$ でない多項式である。
4 行目：最初の 3 点は直線 $z=0$ の上にあるので、代表 $(1,0,0)$、$(0,1,0)$、$(1,1,0)$ は線形従属で、一般の位置にない。座標の取り替え $[y]\mapsto[Ay]$ は線形従属な代表を線形従属な代表に写すので、3 点を 1 直線上にない $[1:0:0]$、$[0:1:0]$、$[0:0:1]$ に写すことはできない。

補足

双対な座標。 $\mathbb{P}^n(K)$ の超平面 $a_0x_0+\dots+a_nx_n=0$ は、係数の組 $(a_0,\dots,a_n)\ne0$ の $0$ でない定数倍を除いて定まる。そこで $[a_0:\dots:a_n]$ を超平面の斉次座標と見ると、超平面の全体は双対空間の射影空間になる。点 $[x]$ が超平面 $[a]$ の上にあることは $\sum_ia_ix_i=0$ で、$x$ と $a$ について対称である。これが点と超平面を入れ替える射影幾何学の定理「双対原理」の座標による形である。
多様体の座標との違い。 非斉次座標は $U_i$ の上だけの座標で、$U_i$ と $U_j$ の重なりでは $x_k/x_j=(x_k/x_i)\cdot(x_i/x_j)$ で取り替わる。斉次座標は $\mathbb{P}^n$ 全体で使えるが、値が定数倍の分だけ決まらない。射影空間の上の関数や写像を斉次座標で書くときは、つねに定数倍で変わらないことを確かめる必要がある。