基数関数

基数関数（cardinal function）は、数学的対象に基数を割り当てる関数である。本記事では位相空間 $X$ に割り当てる基数関数だけを扱う。

$X$ の開基の濃度の最小値を $b(X)$ とし、weightを
$$w(X):=\max\{b(X),\aleph_0\}$$
と定める。$w(X)=\aleph_0$ であることは、$X$ が第2可算空間であることと同値である。

$X$ のネットワークとは、$X$ の部分集合族 $\mathcal N$ で、任意の $x\in U$（$U$ は開集合）に対して $x\in N\subset U$ となる $N\in\mathcal N$ が存在するものをいう。ネットワークの濃度の最小値を $n(X)$ とし、
$$nw(X):=\max\{n(X),\aleph_0\}$$
と定める。ネットワークの元は開集合でなくてもよい。

$x\in X$ の開基本近傍系の濃度の最小値を $\chi_0(x,X)$ とし、
$$ \chi(x,X):=\max\{\chi_0(x,X),\aleph_0\},\qquad \chi(X):=\max\left\{\sup_{x\in X}\chi(x,X),\aleph_0\right\} $$
と定める。$\chi(X)=\aleph_0$ であることは、$X$ が第1可算空間であることと同値である。

$$\operatorname{card}(X):=\max\{|X|,\aleph_0\}$$
と定める。有限空間では $\operatorname{card}(X)=\aleph_0$ であり、生の台集合の濃度 $|X|$ とは異なる。

$X$ の開集合系を $\mathcal O(X)$ とし、
$$o(X):=\max\{|\mathcal O(X)|,\aleph_0\}$$
と定める。

$X$ の稠密部分集合の濃度の最小値を $d_0(X)$ とし、
$$d(X):=\max\{d_0(X),\aleph_0\}$$
と定める。$d(X)=\aleph_0$ であることは、$X$ が可分空間であることと同値である。

任意の開被覆が濃度高々 $\kappa$ の部分被覆を持つような基数 $\kappa$ の最小値を $L_0(X)$ とし、
$$L(X):=\max\{L_0(X),\aleph_0\}$$
と定める。$L(X)=\aleph_0$ であることは、$X$ がLindelöf空間であることと同値である。本記事ではこれを Lindelöf number または Lindelöf数と呼ぶ。

任意の開被覆 $\mathcal U$ に対し、濃度高々 $\kappa$ の部分族 $\mathcal V\subset\mathcal U$ で
$$X=\overline{\bigcup\mathcal V}$$
となるものが存在するような最小の $\kappa$ を $wc_0(X)$ とし、$wc(X):=\max\{wc_0(X),\aleph_0\}$ と定める。

互いに素な非空開集合からなる族 $\mathcal U$ の濃度 $|\mathcal U|$ の上限を $c_0(X)$ とし、$c(X):=\max\{c_0(X),\aleph_0\}$ と定める。互いに素とは、相異なる $U,V\in\mathcal U$ に対して $U\cap V=\emptyset$ となることである。

$X$ の離散部分空間 $D$ の濃度 $|D|$ の上限を $s_0(X)$ とし、$s(X):=\max\{s_0(X),\aleph_0\}$ と定める。

$X$ の閉かつ離散な部分空間 $D$ の濃度 $|D|$ の上限を $e_0(X)$ とし、$e(X):=\max\{e_0(X),\aleph_0\}$ と定める。

任意の $A\subset X$ と $x\in\overline A$ に対し、$|B|\le\kappa$ かつ $x\in\overline B$ となる $B\subset A$ が存在するような最小の $\kappa$ を $t_0(X)$ とし、$t(X):=\max\{t_0(X),\aleph_0\}$ と定める。