対数凸関数
概要
対数凸関数（log-convex function）とは、区間上の正の値の関数 $f$ で、$\log f$ が凸関数であるもの、すなわち $f(\lambda x+(1-\lambda)y)\le f(x)^{\lambda}f(y)^{1-\lambda}$（$0\le\lambda\le1$）を満たすものである。対数凸関数は凸だが、逆は成り立たない。積・正の冪・最大値・正の値への各点収束の極限のほか、和と積分でも閉じており、$\Gamma$ 関数や $(1,\infty)$ 上のゼータ関数が対数凸であることはここから従う。開区間上で 2 回微分可能なら $ff''\ge(f')^2$ と同値で、すべての実数 $\alpha$ で $e^{\alpha x}f(x)$ が凸であることとも同値である。
前提知識: 凸関数
正の値をとる関数 $f$ について、$\log f$ が凸関数であるとき、$f$ を 対数凸関数（logarithmically convex function, log-convex function）という。指数関数 $e^{ax}$、$(0,\infty)$ 上の $\frac1x$、$\Gamma$ 関数、$(1,\infty)$ 上の Riemann ゼータ関数 $\zeta(s)$ はどれも対数凸である。対数凸性は「値の重み付きの相乗平均がグラフの上に来る」という条件で、凸性より強い。
凸関数の和は凸であり、凸関数の積は一般には凸でない。対数凸関数は、積についても和についても閉じている。積で閉じるのは対数をとると和になるからだが、和で閉じることはそれほど明らかでなく、相加相乗平均の不等式（Hölder の不等式の有限和の場合）を使う。同じ理由で、対数凸な関数を積分した関数も対数凸になる。$\Gamma$ 関数やゼータ関数の対数凸性はこれから従う。$\Gamma$ 関数は、$\Gamma(1)=1$、$\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$ と対数凸性によって特徴づけられる（Bohr–Mollerupの定理）。
この記事では、対数凸関数を定義し、凸性との関係、積・冪・最大値・極限・和・積分で閉じていること、2 階導関数による判定、「すべての $\alpha$ で $e^{\alpha x}f(x)$ が凸」という特徴づけを証明する。例として $\Gamma$ 関数・ゼータ関数・モーメントの関数を扱い、反例を表にまとめる。
定義
$I\subset\mathbb{R}$ を、2 点以上を含む区間とする。
$f\colon I\to(0,\infty)$ について、$\log f$ が $I$ 上の凸関数であるとき、$f$ を $I$ 上の 対数凸関数 という。すなわち、任意の $x,y\in I$ と $0\le\lambda\le1$ について
$$
f\bigl(\lambda x+(1-\lambda)y\bigr)\le f(x)^{\lambda}f(y)^{1-\lambda}
$$
が成り立つことである。$\log f$ が凹関数であるとき、$f$ を 対数凹関数（log-concave function）という。
2 つの言い方が同じであることは、$\log$ が狭義単調増加で、$\log\bigl(f(x)^{\lambda}f(y)^{1-\lambda}\bigr)=\lambda\log f(x)+(1-\lambda)\log f(y)$ であることによる。凸関数の定義（凸関数 の定義「凸関数と凹関数」）の右辺の重み付きの相加平均を、重み付きの相乗平均に替えたものである。$\lambda=\frac12$ では $f\bigl(\frac{x+y}2\bigr)\le\sqrt{f(x)f(y)}$ である。
この記事では値は正とする。対数凹関数については、$\log0=-\infty$ と約束して $0$ の値も許す流儀もある（BV04 §3.5.1、p. 104）。多変数の関数（凸集合の上の正値関数）についても同じ式で定義する。
- $f(x)=e^{ax+b}$（$a,b\in\mathbb{R}$）は $\mathbb{R}$ 上で対数凸かつ対数凹である。$\log f$ は 1 次関数だからである。正の定数関数もこの場合に入る。
- $p\ge0$ について、$f(x)=x^{-p}$ は $(0,\infty)$ 上で対数凸である。$\log f(x)=-p\log x$ で、$-\log$ は凸だからである。$p>0$ なら $x^{p}$ は対数凹であり、とくに $f(x)=x$ は凸だが対数凸でない。
- $f(x)=e^{x^2}$ は $\mathbb{R}$ 上で対数凸で、$e^{-x^2}$ は対数凹である。
基本的な性質
$I$ 上の対数凸関数は $I$ 上の凸関数である。
$x,y\in I$、$0< \lambda< 1$ とする。平均の大小関係 の定理「重み付きの相加相乗平均の不等式」により $f(x)^{\lambda}f(y)^{1-\lambda}\le\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)$ なので、定義の不等式と合わせて $f\bigl(\lambda x+(1-\lambda)y\bigr)\le\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)$ である。$\lambda=0,1$ では等号である。$\square$
逆は成り立たない。ex-lcf-basic の 2 の $f(x)=x$ が反例である。
$f,g$ を $I$ 上の対数凸関数とする。
- 積 $fg$、正の数 $\alpha$ についての冪 $f^{\alpha}$、正の数 $c$ についての $cf$ は対数凸である。
- $\max\{f,g\}$ は対数凸である。
- 実数 $a\ne0$、$b$ について、$\{x\mid ax+b\in I\}$ 上の関数 $x\mapsto f(ax+b)$ は対数凸である。
- $I$ 上の対数凸関数の列 $f_k$ が各点で正の値の関数 $h$ に収束すれば、$h$ は対数凸である。
1：$\log(fg)=\log f+\log g$、$\log f^{\alpha}=\alpha\log f$、$\log(cf)=\log c+\log f$ で、凸関数の和、正の数倍、定数を足したものは凸である。
2：$\log\max\{f,g\}=\max\{\log f,\log g\}$ である（$\log$ は単調増加）。凸関数 $\varphi,\psi$ について、$\varphi\bigl(\lambda x+(1-\lambda)y\bigr)\le\lambda\varphi(x)+(1-\lambda)\varphi(y)\le\lambda\max\{\varphi,\psi\}(x)+(1-\lambda)\max\{\varphi,\psi\}(y)$ であり、$\psi$ についても同じなので、$\max\{\varphi,\psi\}$ は凸である。
3：$\log f(ax+b)$ は凸関数 $\log f$ と 1 次関数の合成である。$u=ax+b$、$v=ay+b$ とすると $a\bigl(\lambda x+(1-\lambda)y\bigr)+b=\lambda u+(1-\lambda)v$ なので、凸性の不等式がそのまま移る。
4：$h>0$ なので $\log f_k\to\log h$（$\log$ は連続）であり、凸性の不等式 $\log f_k\bigl(\lambda x+(1-\lambda)y\bigr)\le\lambda\log f_k(x)+(1-\lambda)\log f_k(y)$ で $k\to\infty$ とすれば、$\log h$ についての同じ不等式を得る。$\square$
和で閉じることは、次の数の不等式による。
$a,b,c,d>0$、$0\le\lambda\le1$ について
$$
a^{\lambda}b^{1-\lambda}+c^{\lambda}d^{1-\lambda}\le(a+c)^{\lambda}(b+d)^{1-\lambda}
$$
が成り立つ。
$\lambda=0,1$ では等号である。$0< \lambda< 1$ とし、両辺を右辺で割る。重み付きの相加相乗平均の不等式を 2 回使うと
$$
\Bigl(\frac a{a+c}\Bigr)^{\lambda}\Bigl(\frac b{b+d}\Bigr)^{1-\lambda}+\Bigl(\frac c{a+c}\Bigr)^{\lambda}\Bigl(\frac d{b+d}\Bigr)^{1-\lambda}\le\lambda\frac{a+c}{a+c}+(1-\lambda)\frac{b+d}{b+d}=1
$$
である。$\square$
これは有限和の Hölderの不等式 を、指数 $\frac1\lambda$、$\frac1{1-\lambda}$ で 2 項の和に当てたものである。
$f,g$ が $I$ 上の対数凸関数なら、$f+g$ も対数凸である。したがって、有限個の対数凸関数の和は対数凸であり、対数凸関数の級数 $\sum_kf_k$ が各点で収束すれば、その和も対数凸である。
$x,y\in I$、$0\le\lambda\le1$、$z:=\lambda x+(1-\lambda)y$ とする。$f,g$ の対数凸性と lem-lcf-sum（$a=f(x)$、$b=f(y)$、$c=g(x)$、$d=g(y)$）により
$$
f(z)+g(z)\le f(x)^{\lambda}f(y)^{1-\lambda}+g(x)^{\lambda}g(y)^{1-\lambda}\le\bigl(f(x)+g(x)\bigr)^{\lambda}\bigl(f(y)+g(y)\bigr)^{1-\lambda}
$$
である。有限和は帰納法で従う。級数の部分和は対数凸で、各点で正の値に収束する（項が正なので和は第 1 項以上）から、prop-lcf-closure の 4 により和も対数凸である。$\square$
凸関数の和は凸だが、対数凹関数の和は対数凹とは限らない。たとえば $e^{-(x-3)^2}+e^{-(x+3)^2}$ は $x=\pm3$ の近くに 2 つの山をもち、$x=0$ で値が $2e^{-9}$ まで下がる。この関数を $h$ とすると $h'(0)=0$、$h''(0)=68e^{-9}>0$ なので $(\log h)''(0)=h''(0)/h(0)>0$ であり、$\log h$ は $0$ の近くで狭義凸だから凹でない。
$(\Omega,\mu)$ を測度空間とし、$F\colon I\times\Omega\to(0,\infty)$ が次をみたすとする。
- 各 $x\in I$ について、$\omega\mapsto F(x,\omega)$ は可測で、$f(x):=\int_\Omega F(x,\omega)\,d\mu(\omega)$ は有限である。
- 各 $\omega\in\Omega$ について、$x\mapsto F(x,\omega)$ は $I$ 上の対数凸関数である。
$\mu(\Omega)>0$ なら、$f$ は $I$ 上の対数凸関数である。
$F>0$ と $\mu(\Omega)>0$ から $f>0$ である。$x,y\in I$、$0< \lambda< 1$、$z:=\lambda x+(1-\lambda)y$ とする（$\lambda=0,1$ では等号）。2 により各 $\omega$ で $F(z,\omega)\le F(x,\omega)^{\lambda}F(y,\omega)^{1-\lambda}$ なので、積分して Hölderの不等式 の定理「Hölderの不等式（積分）」を指数 $p=\frac1\lambda$、$q=\frac1{1-\lambda}$ で $F(x,\cdot)^{\lambda}$ と $F(y,\cdot)^{1-\lambda}$ に使うと
$$
f(z)\le\int_\Omega F(x,\omega)^{\lambda}F(y,\omega)^{1-\lambda}\,d\mu\le\Bigl(\int_\Omega F(x,\omega)\,d\mu\Bigr)^{\lambda}\Bigl(\int_\Omega F(y,\omega)\,d\mu\Bigr)^{1-\lambda}=f(x)^{\lambda}f(y)^{1-\lambda}
$$
である。$\square$
$\Omega$ を有限集合、$\mu$ を数え上げ測度にとると、thm-lcf-sum の有限和の場合になる。この 2 つの定理は BV04 §3.5.2（pp. 105–106）に述べられている。
微分による判定と特徴づけ
$I$ を開区間、$f\colon I\to(0,\infty)$ を 2 回微分可能な関数とする。$f$ が対数凸であることと、すべての $x\in I$ で
$$
f(x)f''(x)\ge f'(x)^2
$$
であることは同値である。
$\log f$ は 2 回微分可能で、$(\log f)'=\frac{f'}f$、$(\log f)''=\frac{ff''-(f')^2}{f^2}$ である。凸関数 の系「2階導関数による判定」の 1 により、$\log f$ が凸であることは $(\log f)''\ge0$ と同値であり、$f^2>0$ なのでこれは $ff''\ge(f')^2$ と同値である。$\square$
たとえば $f(x)=\cosh x$ では $ff''=\cosh^2x\ge\sinh^2x=(f')^2$ なので対数凸である。これは $\cosh x=\frac12e^x+\frac12e^{-x}$ が対数凸な関数の和であることからも分かる（thm-lcf-sum）。
次の定理は、対数凸性を凸性の言葉だけで言い表す。
$f\colon I\to(0,\infty)$ について、次は同値である。
- $f$ は対数凸である。
- すべての実数 $\alpha$ について、$x\mapsto e^{\alpha x}f(x)$ は $I$ 上の凸関数である。
- すべての $\alpha>0$ について、$f^{\alpha}$ は $I$ 上の凸関数である。
1 ⇒ 2、1 ⇒ 3：$e^{\alpha x}$ は対数凸（ex-lcf-basic の 1）なので、prop-lcf-closure の 1 により $e^{\alpha x}f(x)$ と $f^{\alpha}$ は対数凸であり、prop-lcf-convex により凸である。
2 ⇒ 1：$x,y\in I$、$x\ne y$、$0< \lambda< 1$、$z:=\lambda x+(1-\lambda)y$ とする。
$$
\alpha:=\frac{\log f(y)-\log f(x)}{x-y}
$$
とおくと $\alpha(x-y)=\log f(y)-\log f(x)$ なので、$c:=e^{\alpha x}f(x)=e^{\alpha y}f(y)$ である。$e^{\alpha x}f(x)$ の凸性から $e^{\alpha z}f(z)\le\lambda c+(1-\lambda)c=c$ なので
$$
f(z)\le ce^{-\alpha z}=\bigl(ce^{-\alpha x}\bigr)^{\lambda}\bigl(ce^{-\alpha y}\bigr)^{1-\lambda}=f(x)^{\lambda}f(y)^{1-\lambda}
$$
である。$x=y$ や $\lambda=0,1$ では等号である。
3 ⇒ 1：各 $x$ で $\frac{f(x)^{\alpha}-1}{\alpha}=\frac{e^{\alpha\log f(x)}-1}{\alpha}\to\log f(x)$（$\alpha\to0+$）である。左辺は凸関数 $f^{\alpha}$ の正の数倍に定数を足したものなので凸であり、凸性の不等式は各点の極限で保たれるので、$\log f$ は凸である。$\square$
2 で $\alpha=0$ だけをとると、$f$ が凸であることしか言えない（ex-lcf-basic の 2 の $f(x)=x$）。すべての $\alpha$ について「指数関数で傾けても凸のまま」であることが、対数凸性の強さである。
例
- $x>0$ について $\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}\,dt$ とする。各 $t>0$ で $x\mapsto t^{x-1}e^{-t}=e^{(x-1)\log t-t}$ は対数が 1 次関数なので対数凸であり、積分は有限で正である。thm-lcf-integral（$\Omega=(0,\infty)$、$\mu$ は Lebesgue 測度）により、$\Gamma$ は $(0,\infty)$ 上で対数凸である（Rud76 Theorem 8.18 の (c)、p. 192 は Hölder の不等式で示している）。たとえば $\Gamma(2)^2=1\le\Gamma(1)\Gamma(3)=2$ である。
- $s>1$ について $\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty n^{-s}$ とする。各項 $n^{-s}=e^{-s\log n}$ は対数凸で、級数は収束するので、thm-lcf-sum により $\zeta$ は $(1,\infty)$ 上で対数凸である。
- $\Gamma(1)=1$ と $f(x+1)=xf(x)$ をみたす $(0,\infty)$ 上の正の値の関数は $\Gamma$ だけではない（たとえば $\Gamma(x)\bigl(1+\frac12\sin2\pi x\bigr)$）。対数凸性を課すとただ 1 つに決まる（Bohr–Mollerupの定理）。
$(\Omega,\mu)$ を測度空間、$g$ を可測関数とし、$E:=\{\omega\mid g(\omega)\ne0\}$ が正の測度をもつとする。$\int_\Omega\lvert g\rvert^t\,d\mu$ が有限になる正の数 $t$ の集合に含まれる区間 $I$ の上で、$\varphi(t):=\int_E\lvert g\rvert^t\,d\mu$ は対数凸である。$E$ の上で $t\mapsto\lvert g(\omega)\rvert^t=e^{t\log\lvert g(\omega)\rvert}$ は対数凸なので、$E$ の上の測度について thm-lcf-integral を使えばよい。
$p,q\in I$、$0< \lambda< 1$、$r:=\lambda p+(1-\lambda)q$ とすると、$\varphi(r)\le\varphi(p)^{\lambda}\varphi(q)^{1-\lambda}$ は $\|g\|_r^r\le\|g\|_p^{\lambda p}\|g\|_q^{(1-\lambda)q}$ である。$\theta:=\frac{\lambda p}r$ とおくと $\frac\theta p+\frac{1-\theta}q=\frac1r$ で、これは $\|g\|_r\le\|g\|_p^{\theta}\|g\|_q^{1-\theta}$、すなわち Hölderの不等式 の系「補間の不等式」の形である。
確率変数 $X$ の積率母関数 $M(t)=E[e^{tX}]$ も、有限な範囲の区間で対数凸である。各値 $X(\omega)$ について $t\mapsto e^{tX(\omega)}$ が対数凸だからである（BV04 Example 3.41、p. 106）。
正の数の列 $(a_k)$ が、すべての $k\ge1$ で $a_k^2\le a_{k-1}a_{k+1}$ をみたすとき、対数凸な数列という。対数凸関数 $f$ を整数点に制限した $a_k=f(k)$ は、$k=\frac12(k-1)+\frac12(k+1)$ から対数凸な数列である。たとえば $a_k=k!=\Gamma(k+1)$ では $(k!)^2\le(k-1)!\,(k+1)!$、すなわち $k\le k+1$ である。不等号を逆にした対数凹な数列は 対数凹数列 で扱う。
反例：条件を外したとき
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $\log f$ が凸（$f$ が凸に弱める） | $(0,\infty)$ 上の $f(x)=x$ | $f$ が対数凸 |
| 和の両方が対数凸（thm-lcf-sum） | $(0,\infty)$ 上の $1$（対数凸）と $x$（凸） | $1+x$ が対数凸 |
| 積の両方が対数凸（prop-lcf-closure の 1） | $(0,\infty)$ 上の $e^{-x}$（対数凸）と $x$（凸） | $xe^{-x}$ が凸 |
| 最大値をとる（最小値に替える。prop-lcf-closure の 2） | $\mathbb{R}$ 上の $\min\{e^{x},e^{-x}\}$ | $e^{-\lvert x\rvert}$ が対数凸 |
| すべての $\alpha$（thm-lcf-characterization の 2） | $\mathbb{R}$ 上の $f(x)=1+x^2$ と $\alpha=0$ | $f$ が対数凸 |
1 行目：$\log x$ は狭義凹なので凸でない。$\log\frac{1+4}2=\log\frac52>\frac12(\log1+\log4)=\log2$ である。
2 行目：$\log(1+x)$ は $(0,\infty)$ で狭義凹で、$1+x$ は対数凸でない。凸関数の和なので凸ではある。
3 行目：$(xe^{-x})''=(x-2)e^{-x}< 0$（$0< x< 2$）なので、$xe^{-x}$ は凸でもない。したがって prop-lcf-convex により対数凸でない。
4 行目：最小値に替えると、$\log$ は $-\lvert x\rvert$ で、$-\lvert0\rvert=0>\frac12\bigl(-1-1\bigr)$ なので凸でない。
5 行目：$1+x^2$ は凸（$\alpha=0$ での条件は成り立つ）だが、$f(0)f''(0)=2$、$f'(0)^2=0$ に対し $x=2$ では $f(2)f''(2)=10< f'(2)^2=16$ なので、prop-lcf-second-derivative により対数凸でない。thm-lcf-characterization により、ある $\alpha\ne0$ では $e^{\alpha x}(1+x^2)$ が凸でない。
関連項目
- 前提: 凸関数
- 証明の道具: 平均の大小関係, Hölderの不等式
- 例: Γ関数, Riemannゼータ関数
- 応用: Bohr–Mollerupの定理
- 比較: 対数凹数列, Brunn–Minkowskiの不等式
参考文献
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