J準同型

前提知識: 古典群のホモトピー群, 安定ホモトピー群, 球面上のベクトル束の分類, Thom空間

J準同型（J-homomorphism）とは、特殊直交群のホモトピー群から球面のホモトピー群への準同型
$$ J\colon\pi_r(SO(n))\to\pi_{r+n}(S^n) $$
で、球面 $S^r$ を径数とする回転の族 $\alpha$ に、円板 $D^n$ を $\alpha(x)$ で回してから境界を 1 点につぶす写像を対応させるものである（Hopf と Whitehead）。$n$ を大きくすると、安定な群の間の準同型 $J\colon\pi_r(SO)\to\pi_r^{\mathrm S}$ が得られる。球面の安定ホモトピー群 $\pi_r^{\mathrm S}$ の中で $J$ の像は最も規則的な部分であり、$r\equiv0,1\pmod 8$（$r>0$）では $J$ は単射で像は位数 $2$ の群、$r=4s-1$ では像は Bernoulli 数の分母で位数が決まる巡回群である（Adams、Quillen）。
$n\ge2$ のとき、$J(\alpha)$ を貼り付け写像として球面 $S^n$ に胞体を 1 つ貼った空間は、$\alpha$ を貼り合わせ関数とする $S^{r+1}$ 上のベクトル束の Thom空間 とホモトピー同値である。この記事の主定理（jh-thm-thom）はこの事実で、$J(\alpha)=0$ ならこの Thom 空間は 2 つの球面の一点和に分かれるので、Thom 空間のコホモロジーや $K$ 群の構造から $J(\alpha)\ne0$ を示せるようになる。Adams の単射性定理は、この Thom 空間を実 $K$ 理論で調べて得られた。この記事では $J$ を定義し、準同型であることと安定化との両立を示して主定理を証明する。応用として次数 $1$ の $J$ が同型であることと、mod 2 コホモロジーによる検出の限界を示す。Adams の定理は所在を示して引用する。$J$ の像は、ホモトピー球面の群を安定幹で記述するときに現れる（Kervaire–Milnorの群）。

記号と定義

$D^m\subset\mathbb R^m$ を閉単位球体、$S^{m-1}=\partial D^m$ とする。$\hat S^n:=D^n/S^{n-1}$ を、境界の像 $*$ を基点とする空間とし（$S^n$ と同相）、$p\colon D^n\to\hat S^n$ を商写像とする。$SO(n)$ の元は $D^n$ と $S^{n-1}$ を保つので、$\hat S^n$ に基点を保って作用する。$r\ge0$、$n\ge1$ について
$$ \Pi_{r,n}:=D^{r+1}\times D^n,\qquad\partial\Pi_{r,n}=(S^r\times D^n)\cup(D^{r+1}\times S^{n-1}) $$
とおく。$\Pi_{r,n}$ は内部に原点を含む有界な凸閉集合なので、原点からの放射状の写像により $\partial\Pi_{r,n}$ は $S^{r+n}$ と同相である。この同相写像を 1 つ固定して $\partial\Pi_{r,n}$ を $S^{r+n}$ と同一視する（選び方を変えると以下の $J$ は全体に符号 $\pm1$ が掛かるだけである）。$S^r$ の基点を $x_0:=e_1$、$\partial\Pi_{r,n}$ の基点を $(x_0,e_1)\in D^{r+1}\times S^{n-1}$ とする。

2 つの式は共通部分 $S^r\times S^{n-1}$ の上でともに $*$ を与える（$\alpha(x)v\in S^{n-1}$）ので、$j_\alpha$ は連続で、基点を基点に写す。$S^r\times D^n$ は $S^r\times\{0\}$ の管状近傍であり、$j_\alpha$ はその外を 1 点につぶし、管の中では法方向の座標を $\alpha(x)$ で回してから読む。すなわち $j_\alpha$ は、$S^r$ に標準の法枠を $\alpha$ でひねった枠を付けた枠付き部分多様体の潰し写像である（Thom空間 の命題「Pontryagin–Thom の潰し写像」と同じ形）。この定義は Rav04 Definition 1.1.12（p. 4）と同じであり、Adams の Hopf 構成による記述（Ada66 §10、p. 52）とは、$D^{r+1}\times S^{n-1}$ を下半球に写してから下半球をつぶす違いしかない。
$\iota\colon SO(n)\to SO(n+1)$、$A\mapsto\operatorname{diag}(A,1)$ を最初のブロックへの包含とし、$E\colon\pi_{r+n}(S^n)\to\pi_{r+n+1}(S^{n+1})$ を懸垂準同型とする（安定ホモトピー群 の定義節）。

$\pi_r(SO(n))$ と $\pi_{r+n}(S^n)$ はどちらも $n\ge r+2$ で $n$ によらない（古典群のホモトピー群 の定理「最初のブロックへの包含の安定性」、安定ホモトピー群 の定理「安定範囲」）。$\delta_{r,2}:=1$、$\delta_{r,n+1}:=\varepsilon_{r,n}\delta_{r,n}$ とおくと、$\delta_{r,n}J$ は $\iota_*$ と $E$ に両立するので、帰納極限の準同型
$$ J\colon\pi_r(SO)=\operatorname*{colim}_n\pi_r(SO(n))\longrightarrow\pi_r^{\mathrm S}=\operatorname*{colim}_n\pi_{r+n}(S^n) $$
を定める。これを安定 J 準同型という。符号の付け方を変えても $J$ は全体に $\pm1$ が掛かるだけで、核と像は変わらない。

主定理：写像錐と Thom 空間

貼り合わせによる束は 球面上のベクトル束の分類 の定義「貼り合わせで作る束」のとおりとする。$S^{r+1}\subset\mathbb R^{r+2}$ の閉半球 $D_\pm$ を最後の座標を忘れる写像で $D^{r+1}$ と同一視し、赤道を $S^r$ とする。基点付き写像 $\alpha\colon S^r\to SO(n)$ について、$E_\alpha$ は $D_+\times\mathbb R^n$ と $D_-\times\mathbb R^n$ を $(x,w)_-\sim(x,\alpha(x)w)_+$（$x\in S^r$）で貼った階数 $n$ の実ベクトル束である。$\alpha(x)$ は直交行列なので、両側の標準内積は貼り合わさって Euclid 計量を与え、円板束 $D(E_\alpha)$ と球面束 $S(E_\alpha)$ は $D_\pm\times D^n$、$D_\pm\times S^{n-1}$ を同じ規則で貼ったものになる。写像 $f\colon\partial\Pi_{r,n}\to\hat S^n$ の写像錐を $C_f:=\hat S^n\cup_f\Pi_{r,n}$ と書く（$\Pi_{r,n}$ は $(r+n+1)$ 次元の円板と同相）。

この補題は Ada66 Lemma 10.1（p. 51）にあたり、Adams はそこで、Hopf 構成で作った 2 胞体複体が Thom 空間になると述べている。

逆向きの主張、すなわち Thom 空間が一点和とホモトピー同値なら $J([\alpha])=0$ であることは、この記事では使わない。$J(\alpha)$ が $0$ でないことを示すには、Thom 空間のコホモロジーに働く演算で、上の胞体と下の胞体が結びついていることを見つければよい。次の 2 つの節はその例である。

例：次数 1

四元数の左からの掛け算 $S^3\to SO(4)$、八元数の掛け算 $S^7\to SO(8)$ を使うと、同じ議論で Thom 空間は四元数射影平面と八元数射影平面になり、$J$ は Hopf 不変量 $1$ の Hopf 写像 $\nu\colon S^7\to S^4$、$\sigma\colon S^{15}\to S^8$ を与える。安定 J 準同型の像は、次数 $1,3,7$ で $\eta,\nu,\sigma$ の生成する巡回群である（Rav04 Theorem 1.1.13、pp. 4–5。この記事では証明しない）。

mod 2 コホモロジーによる検出とその限界

係数は $\mathbb F_2$ とする。階数 $n$ の束 $E$ の Thom 類 $u\in\tilde H^n(\mathrm{Th}(E))$ と Thom 同型 $\Phi_E(b)=\pi^*b\smile u$ は Thom空間 の命題「Thom 空間のコホモロジー」と Stiefel–Whitney類 の節「Thom の公式」のとおりとする。

$r=1$ では、$\pi_1(SO(n))$（$n\ge3$）の生成元 $\alpha$ について $E_\alpha$ は jh-prf-degree-one の複素直線束と自明束の和で、$w_2(E_\alpha)$ はその第 1 Chern 類の mod 2 還元（MS74 Problem 14-B、p. 171）、すなわち $H^2(S^2;\mathbb F_2)$ の生成元である。1 から、jh-prop-degree-one の 2 の単射性がもう一度従う。これに対し、$r\equiv0,1\pmod 8$ かつ $r\ge8$ では $r+1\equiv1,2\pmod 8$、$r+1\ge9$ なので $r+1$ は $2$ の冪でなく、2 により Thom 空間の mod 2 コホモロジーは $J(\alpha)$ を検出できない。Adams はこの次数で実 $K$ 理論とその演算を使った。

Adams の単射性定理

$r=4s-1$ では $\pi_r(SO)\cong\mathbb Z$ で、像は位数 $m(2s)$（$B_{2s}/4s$ を既約分数にしたときの分母。$B_{2s}$ は Bernoulli数 で、$B_2=\tfrac16$、$B_4=-\tfrac1{30}$）の巡回群である。$r\equiv3\pmod 8$ では Ada66 Theorem 1.5（p. 22）、$r\equiv7\pmod 8$ では Adams が位数を $m(2s)$ か $2m(2s)$ まで決め（同 Theorem 1.6）、Adams 予想の証明（Quillen ら）で $m(2s)$ に定まった（Rav04 Theorem 1.1.13 とその後の段落、pp. 4–5。この記事では証明しない）。

低い次数の表

$\pi_r(SO)$ の行は 古典群のホモトピー群 の安定な群の表、$J$ の像と生成元の行は Rav04 Theorem 1.1.13（pp. 4–5。$m(2)=24$、$m(4)=240$）による。$\pi_3^{\mathrm S}\cong\mathbb Z/24$、$\pi_7^{\mathrm S}\cong\mathbb Z/240$ なので（安定ホモトピー群 の節「球面の安定ホモトピー群」の表）、$r=1,3,7$ では $J$ は全射である。$r=8k,8k+1$ の像が $\pi_r^{\mathrm S}$ の位数 $2$ の部分群になることは Hat02 p. 387 にも述べられている。

条件を外した反例

補足

jh-def-main の直後に述べたとおり、$j_\alpha$ は標準の球面 $S^r$ に $\alpha$ でひねった法枠を付けた枠付き部分多様体の潰し写像であり、$J$ の像は標準の球面の枠を付け替えて得られる写像の類の全体である。Kervaire と Milnor は、ホモトピー球面の群 $\Theta_n$ を、境界を張る部分 $bP_{n+1}$ と、商 $\Theta_n/bP_{n+1}$ から $\pi_n^{\mathrm S}/\operatorname{im}J$ への単射とで記述した（Kervaire–Milnorの群）。
Adams は一般の有限 CW 複体 $X$ について、$\widetilde{KO}(X)$ を安定ファイバーホモトピー同値で割った群 $J(X)$ を調べ、$X$ が球面のときに安定 J 準同型の像を求めた（Ada66 §1、pp. 21–24）。実射影空間の場合は 球面上の独立なベクトル場 で扱われている。

関連項目

• 前提: 古典群のホモトピー群, 安定ホモトピー群, 球面上のベクトル束の分類, Thom空間
• 道具: Hopf不変量, Stiefel–Whitney類, Steenrod平方, クラッチング構成
• 比較: Bott周期性, Bottの周期性定理(古典群のループ空間), Hopf写像
• 応用: Kervaire–Milnorの群, 球面上の独立なベクトル場
• 関連: 球面のホモトピー群, 位相的K理論, Adams演算, Hopf不変量1の定理