回転数(円周の同相写像)

$g_n:=F^n-\mathrm{id}$ は周期 $1$ の連続関数なので最大値 $M_n$ と最小値 $m_n$ をとる。$x< y< x+1$ なら $F^n(x)< F^n(y)< F^n(x)+1$ なので、$F^n(y)-F^n(x)$ と $y-x$ はどちらも $(0,1)$ にあり、$\lvert g_n(y)-g_n(x)\rvert< 1$ である。周期性からすべての $x,y$ でこれが成り立ち、$M_n-m_n< 1$ である。

$F^{n+k}(x)-x=g_n(F^k(x))+g_k(x)$ なので $M_{n+k}\le M_n+M_k$、$m_{n+k}\ge m_n+m_k$ である。Feketeの補題 の定理「Feketeの補題」を $(M_n)$ と $(-m_n)$ に当てると、$M_n/n\to\rho^+:=\inf_nM_n/n$、$m_n/n\to\rho^-:=\sup_nm_n/n$ である（$M_n\ge m_n\ge nm_1$ から $\rho^+\ge m_1$ で、値は有限）。$\lvert M_n/n-m_n/n\rvert< 1/n$ なので $\rho^+=\rho^-=:\rho$ で、$m_n\le n\rho\le M_n$ である。$g_n(x)$ と $n\rho$ はどちらも長さ $1$ 未満の区間 $[m_n,M_n]$ にあるので $\lvert g_n(x)-n\rho\rvert< 1$ で、$n$ で割って極限が $\rho$ になる。$\square$

1：$F^q$ は整数の平行移動と可換なので $(F^q-p)^n=F^{qn}-np$ で、$\frac{F^{qn}(x)-x-np}{n}\to q\rho(F)-p$ である。$y_n:=F^n(x)$ とおくと $\frac{F^{-n}(y_n)-y_n}{n}=-\frac{F^n(x)-x}{n}$ で、thm-rn-exist の評価 $\lvert F^{-n}(y)-y-n\rho(F^{-1})\rvert< 1$ は $y$ によらないので、$\rho(F^{-1})=-\rho(F)$ である。

2：帰納法で $F^n\le G^n$ である（$G^n=G\circ G^{n-1}\ge G\circ F^{n-1}\ge F\circ F^{n-1}$。最初の不等号は $G$ の単調性）。

3：$F(x_0)\ge x_0$ なら単調性から $F^n(x_0)\ge F^{n-1}(x_0)\ge\dots\ge x_0$ なので $\rho(F)\ge0$ である。すべての $x$ で $F(x)>x$ なら、周期 $1$ の連続関数 $F-\mathrm{id}$ は正の最小値 $\varepsilon$ をもち、$F^n(x)\ge x+n\varepsilon$ から $\rho(F)\ge\varepsilon>0$ である。

4：不動点 $x$ があれば $F^n(x)=x$ で $\rho(F)=0$ である。不動点がなければ、中間値の定理により $F-\mathrm{id}$ の符号は一定で、3 により $\rho(F)\ne0$ である。

5：$(F\circ G)^n=F^n\circ G^n$ である。$y:=G^n(x)$ とおくと $(F\circ G)^n(x)-x=(F^n(y)-y)+(G^n(x)-x)$ で、thm-rn-exist によりこれは $n\rho(F)+n\rho(G)$ との差が $2$ 未満である。$\square$

1：$f^k(\pi x)=\pi x$（$k\ge1$）なら $F^k(x)=x+m$ となる整数 $m$ があり、$F^{kj}(x)=x+jm$ から $\rho(F)=m/k$ である。

2：prop-rn-basic の 1 により $\rho(G)=q\rho(F)-p=0$ で、同じ命題の 4 により $G$ は不動点 $x$ をもち、$f^q(\pi x)=\pi x$ である。次に $\pi y$ を最小の周期 $k$ の周期点とすると、$F^k(y)=y+m$ となる整数 $m$ があり、1 の計算から $m/k=p/q$ である。$p,q$ は互いに素なので $k=jq$、$m=jp$（$j\ge1$）と書け、$G^j(y)=F^{jq}(y)-jp=y$ である。もし $G(y)>y$ なら $G$ の単調性から $G^2(y)>G(y)>y$ と続き $G^j(y)>y$ となって矛盾し、$G(y)< y$ でも同様なので $G(y)=y$、つまり $f^q(\pi y)=\pi y$ である。$k$ の最小性から $k\le q$、よって $j=1$、$k=q$ である。

3：$G$ の不動点の集合 $\Phi$ は空でない閉集合で、$\Phi+1=\Phi$ である。$x\notin\Phi$ で $G(x)>x$ とし、$y:=\min\{z\in\Phi\mid z>x\}$ とおく（$\Phi$ は閉で、$x$ より大きい点を含む）。$x< y$ と $G$ の単調性から $x< G(x)< G(y)=y$ で、帰納的に $G^n(x)$ は増加して $y$ 未満である。極限 $z$ は $G$ の連続性から不動点で $x< z\le y$ なので $z=y$ である。$G(x)< x$ も同様である。$G^n(x)=F^{qn}(x)-np$ なので、$f^{qn}(\pi x)\to\pi z$ で、$\pi z$ は周期点である。$\square$

$\rho$ が無理数なので $n\rho+m$ は $(n,m)$ を決め、$\psi$ は well-defined で、lem-rn-order により狭義単調増加である。$S$ は $\mathbb{R}$ で稠密である（円周の回転 の定理「無理回転は極小」）。

段 1（定義と単調性）． $y\in\mathbb{R}$ について、$m$ が十分小さい整数なら $\psi(m)=x_0+m\le y$、十分大きければ $\psi(m)>y$ で、$\psi$ が増加なので集合 $\{s\in S\mid\psi(s)\le y\}$ は空でなく上に有界である。よって $H(y)$ が定まり、$y$ について単調非減少である。$\psi(s+1)=\psi(s)+1$ から $H(y+1)=H(y)+1$ である。

段 2（$H(\psi(s))=s$ と連続性）． $\psi$ は狭義単調増加なので、$\psi(s')\le\psi(s)$ と $s'\le s$ は同値で、$H(\psi(s))=s$ である。よって $H$ の像は稠密な $S$ を含む。単調関数が点 $y$ で跳ぶと、像は開区間 $(H(y-0),H(y+0))$ から高々 1 点しか含まないが、その区間は $S$ の点を無限個含むので矛盾する。よって $H$ は連続である。

段 3（$H\circ F=H+\rho$）． $F$ は狭義単調増加で $F^{-1}(\psi(s))=\psi(s-\rho)$ なので、$\psi(s)\le F(y)$ と $\psi(s-\rho)\le y$ は同値である。よって $H(F(y))=\sup\{s\mid\psi(s-\rho)\le y\}=\sup\{s'+\rho\mid\psi(s')\le y\}=H(y)+\rho$ である。

段 4（全射と共役）． $H$ は連続で $H(y+1)=H(y)+1$ なので全射で、$h$ は全射である。$\{F^n(x_0)+m\}=\psi(S)$ が稠密なら、$y< y'$ に対し $y< \psi(s_1)< \psi(s_2)< y'$ となる $s_1< s_2$ があり、$H(y)\le s_1< s_2\le H(y')$ である。よって $H$ は狭義単調増加な同相写像で、$h$ は同相写像である。$\square$

1 ⇒ 2：$R_\rho$ のすべての軌道は稠密で（円周の回転 の定理「無理回転は極小」）、同相写像は稠密な集合を稠密な集合に移す。2 ⇒ 3 は明らかである。3 ⇒ 1：$\pi x_0$ の軌道が $\mathbb{T}$ で稠密なら $\{F^n(x_0)+m\}$ は $\mathbb{R}$ で稠密で、thm-rn-poincare の最後の主張による。

1 ⇒ 4：$J$ が $f$ の遊走区間なら $h(J)$ は $R_\rho$ の遊走区間で、$R_\rho$ は長さを保つので、交わらない弧 $R_\rho^n(h(J))$（$n\ge0$）の長さの和が無限大になり、$\mathbb{T}$ の長さ $1$ を越えて矛盾する。

4 ⇒ 1：任意の $x_0$ で thm-rn-poincare の $H$ を作る。$H$ が狭義単調増加でないなら、単調非減少なので、長さが $0$ より大きく $1$ 未満の閉区間 $\tilde J$ の上で一定値 $c$ をとる。$J:=\pi(\tilde J)$ について、$H\circ F^n=H+n\rho$ から $H$ は $F^n(\tilde J)$ の上で $c+n\rho$ に等しい。$n\ne n'$ なら $c+n\rho$ と $c+n'\rho$ は整数の差でないので、$f^n(J)$ と $f^{n'}(J)$ は交わらず、$J$ は遊走区間である。よって $H$ は狭義単調増加な同相写像で、1 が成り立つ。$\square$

$\mu$ を周期 $1$ で $\mathbb{R}$ に広げ、$\Phi(s):=\mu([0,s))$（$s\ge0$、負の側も同様に $\Phi(s+1)=\Phi(s)+1$ となるように）とおく。$\Phi$ は狭義単調増加で、跳びは $s\equiv n\rho$ の点でちょうど $\ell_n$ である。$I_n$ を $s=n\rho+k$ での跳びの閉区間 $[\Phi(s),\Phi(s)+\ell_n]$ とし、それ以外の点 $y$ を $y=\Phi(s)$ と表す（$\Phi$ は軌道の外の点で連続で単調なので、軌道の外の $s$ の値 $\Phi(s)$ と跳びの区間は $\mathbb{R}$ を分割する）。$F$ を、$y=\Phi(s)$（$s$ は軌道 $\mathbb{Z}\rho+\mathbb{Z}$ の外）では $F(y):=\Phi(s+\rho)$、跳びの区間 $[\Phi(s),\Phi(s)+\ell_n]$ は $[\Phi(s+\rho),\Phi(s+\rho)+\ell_{n+1}]$ へ増加する 1 次式で移す、と定める。$F$ は $\mathbb{R}$ からそれ自身への狭義単調増加な全単射で、$F(y+1)=F(y)+1$ を満たす。単調な全単射は値を跳び越えないので連続で、逆写像も同様なので、$F\in\mathcal{D}$ である。

$H(y):=s$（$y=\Phi(s)$ または $y$ が $s$ での跳びの区間にあるとき）は連続な単調非減少関数で、$H(y+1)=H(y)+1$、$H\circ F=H+\rho$ を満たす。thm-rn-semiconj により $\rho(F)=\rho$ である。$f^k(I_0)$ は $I_k$ の像で、$I_k$ どうしは交わらないので $I_0$ は遊走区間である。$\square$

$F\in\mathcal{D}$、$\varepsilon>0$ とし、$2/q< \varepsilon$ となる $q\ge1$ と、$p< q\rho(F)< p'$、$p'-p\le2$ となる整数 $p,p'$ をとる。prop-rn-basic の 1 により $\rho(F^q-p')< 0$ なので、同じ命題の 3 からすべての $x$ で $F^q(x)-p'< x$ である。周期性から、ある $\eta>0$ ですべての $x$ について $F^q(x)-x-p'\le-\eta$ である。同様に $F^q(x)-x-p\ge\eta$ としてよい。

$F$ は一様連続である（$F-\mathrm{id}$ が周期的で連続）。$\lvert G^k-F^k\rvert\le\lvert G\circ G^{k-1}-F\circ G^{k-1}\rvert+\lvert F\circ G^{k-1}-F\circ F^{k-1}\rvert$ から、$k$ についての帰納法により、$d(F,G)$ が十分小さければ $d(F^q,G^q)< \eta$ である。このとき $G^q(x)-p'< x$ かつ $G^q(x)-p>x$ がすべての $x$ で成り立ち、prop-rn-basic の 1 と 3 から $p\le q\rho(G)\le p'$ である。よって $\lvert\rho(G)-\rho(F)\rvert\le2/q< \varepsilon$ である。$\square$

帰納法で $G^k\ge F^k+\delta$（$k\ge1$）である：$G^k=G\circ G^{k-1}\ge F\circ G^{k-1}+\delta\ge F\circ F^{k-1}+\delta$。

$\rho:=\rho(F)$ が無理数のとき、$\{q\rho\bmod1\}$ は稠密なので（円周の回転 の定理「無理回転は極小」）、$q\ge1$ と整数 $p$ で $q\rho< p\le q\rho+\delta$ となるものがある。$F^q-\mathrm{id}$ が最大値 $M_q$ をとる点を $x_0$ とすると、prf-rn-exist の $M_q\ge q\rho$ から $G^q(x_0)\ge x_0+M_q+\delta\ge x_0+p$ である。prop-rn-basic の 1 と 3 により $q\rho(G)-p\ge0$ で、$\rho(G)\ge p/q>\rho$ である。

$\rho:=\rho(G)$ が無理数のときも同様で、$q\rho-\delta\le p< q\rho$ となる $q,p$ をとり、$G^q-\mathrm{id}$ が最小値 $m_q\le q\rho$ をとる点 $x_0$ で $F^q(x_0)\le x_0+m_q-\delta\le x_0+p$ から $\rho(F)\le p/q< \rho$ を得る。$\square$

1：連続性は thm-rn-continuity（$d(F_s,F_t)=\lvert s-t\rvert$）、単調性は prop-rn-basic の 2 である。$F_{t+1}=F_t+1$ と同じ命題の 1 から $r(t+1)=r(t)+1$ で、中間値の定理により全射である。2：$\delta:=\lvert t-t_0\rvert$ として lem-rn-strict を当てる。

3：$G_t:=F_t^q-p\in\mathcal{D}$ とおくと $\rho(G_t)=qr(t)-p$ である。$\min(G_t-\mathrm{id})\le0\le\max(G_t-\mathrm{id})$ なら、prop-rn-basic の 3 により $\rho(G_t)=0$ である。逆に $\rho(G_t)=0$ なら同じ命題の 4 により不動点があり、この不等式が成り立つ。$r$ は連続で単調なので、$r^{-1}(p/q)$ は閉区間で、$r(t+1)=r(t)+1$ から有界であり、1 から空でない。

$s< t$ なら $F_t\ge F_s+(t-s)$ で、prf-lem-rn-strict の帰納法から $G_t\ge G_s+(t-s)$ である。$r(t_0)=p/q$ で $G_{t_0}\ne\mathrm{id}$ とする。$\max(G_{t_0}-\mathrm{id})>0$ なら、$t< t_0$ が $t_0$ に近いとき $\max(G_t-\mathrm{id})>0$ のままで（$t$ についての連続性）、$\min(G_t-\mathrm{id})\le\min(G_{t_0}-\mathrm{id})\le0$ なので $r(t)=p/q$ である。$\min(G_{t_0}-\mathrm{id})< 0$ なら同様に $t>t_0$ の側に広がる。よって区間は 1 点でない。逆に $G_{t_0}=\mathrm{id}$ なら、$t>t_0$ で $G_t\ge\mathrm{id}+(t-t_0)$、$t< t_0$ で $G_t\le\mathrm{id}-(t_0-t)$ なので $r(t)\ne p/q$ である。$\square$