留数定理

1. Laurent展開 の記事の定理「Laurent 展開の収束」（$r=0$ の場合）により、$w$ の冪級数 $h(w):=\sum_{n\ge1}a_{-n}w^n$ の 収束半径 は $+\infty$ である。したがって $h$ は $\mathbb{C}$ 全体で収束し、正則関数 の記事の定理「冪級数の正則性」により 整関数 である。$P_a(z)=h(1/(z-a))$ は正則関数の合成なので $\mathbb{C}\setminus\{a\}$ 上で正則である。$K\subset\mathbb{C}\setminus\{a\}$ がコンパクトなら、連続関数 $|z-a|$ は $K$ 上で正の最小値 $\rho_1$ をとるので、$z\in K$ に対し $|1/(z-a)|\le1/\rho_1$ であり、冪級数は閉円板 $|w|\le1/\rho_1$ 上で一様に収束する（Taylor展開(複素解析) の記事の命題「収束半径の性質」）。ゆえに $P_a$ の級数は $K$ 上で一様に収束する。
2. $A(a;0,R)$ 上では $f(z)-P_a(z)=\sum_{n\ge0}a_n(z-a)^n$ であり、同じ定理によりこの冪級数の収束半径は $R$ 以上である。右辺は $B(a,R)$ 上の正則関数を定め、$A(a;0,R)$ 上で $f-P_a$ に一致する。
3. $\gamma^*$ は $\mathbb{C}\setminus\{a\}$ のコンパクトな部分集合なので、1 により $P_a$ の級数は $\gamma^*$ 上で一様に収束し、Cauchyの積分定理 の記事の命題「複素線積分の基本性質」の 3 により項別に積分できる。$n\ge2$ のとき $(z-a)^{-n}$ は $\mathbb{C}\setminus\{a\}$ 上に原始関数 $-(z-a)^{-n+1}/(n-1)$ をもつので、同命題の 4 により $\oint_\gamma(z-a)^{-n}\,dz=0$ である。$n=1$ の項は回転数の定義により $a_{-1}\oint_\gamma\frac{dz}{z-a}=2\pi i\,n(\gamma,a)\,a_{-1}$ である。よって $\oint_\gamma P_a\,dz=2\pi i\,n(\gamma,a)\,a_{-1}$ である。$\square$

$S=\{a_1,\dots,a_m\}$（相異なる）とし、$m=0$ なら Cauchy の積分定理そのものなので $m\ge1$ とする。$U$ は開集合で $S$ は有限なので、各 $k$ について $R_k>0$ を $B(a_k,R_k)\subset U$ かつ $B(a_k,R_k)$ が $a_k$ 以外の $S$ の点を含まないようにとれる。このとき $f$ は $A(a_k;0,R_k)$ 上で正則であり、その $a_k$ における主要部を $P_k$ とする。lem-residue-theorem-principal-part の 1 により $P_k$ は $\mathbb{C}\setminus\{a_k\}$ 上で正則だから、
$$g:=f-\sum_{j=1}^mP_j$$
は $U\setminus S$ 上の正則関数である。
$g$ が $U$ 上の正則関数に延長されることを示す。$k$ を固定すると、$A(a_k;0,R_k)$ 上で
$$g=(f-P_k)-\sum_{j\neq k}P_j$$
である。右辺の第 1 項は lem-residue-theorem-principal-part の 2 により $B(a_k,R_k)$ 上の正則関数に延長され、$j\neq k$ の $P_j$ は $a_j\notin B(a_k,R_k)$ なので $B(a_k,R_k)$ 上で正則である。よって $g$ は $B(a_k,R_k)$ 上の正則関数 $g_k$ の制限であり、$g(a_k):=g_k(a_k)$ と定めれば、$g$ は $a_k$ の近傍 $B(a_k,R_k)$ で $g_k$ に一致するので $a_k$ でも正則である。これをすべての $k$ で行えば、$g$ は $U$ 上の正則関数になる。
$U$ は単連結な領域で $\gamma$ は $U$ 内の閉曲線なので、Cauchyの積分定理 の記事の定理「単連結領域に対する Cauchy の積分定理」により $\oint_\gamma g\,dz=0$ である。$\gamma^*\subset U\setminus S$ の上では $g=f-\sum_jP_j$ であり、lem-residue-theorem-principal-part の 3（$\gamma^*\subset\mathbb{C}\setminus\{a_j\}$）により
$$\oint_\gamma f\,dz=\sum_{j=1}^m\oint_\gamma P_j\,dz=2\pi i\sum_{j=1}^mn(\gamma,a_j)\operatorname{Res}(f,a_j)$$
である。$\square$

閉円板はコンパクトで、閉集合 $\mathbb{C}\setminus W$ と交わらないので両者の距離は正であり、$R>r$ を $B(c,R)\subset W$ となるようにとれる。$B(c,R)$ は 凸集合 なので単連結な領域であり、$S':=S\cap B(c,R)$ は有限で、$f$ は $B(c,R)\setminus S'$ 上で正則である。thm-residue-theorem-main を $U=B(c,R)$、$S'$、円周 $\gamma$ に適用すると $\oint_\gamma f\,dz=2\pi i\sum_{a\in S'}n(\gamma,a)\operatorname{Res}(f,a)$ である。回転数の性質により、$|a-c|< r$ なら $n(\gamma,a)=1$、$r<|a-c|< R$ なら $n(\gamma,a)=0$ であり、$S$ は円周と交わらないので主張を得る。$\square$

$F(z):=f(z)/(z-z_0)^{n+1}$ は $U\setminus\{z_0\}$ 上で正則である。$B(z_0,R)\subset U$ をとり、$f$ を $z_0$ で Taylor 展開して $f(z)=\sum_{k\ge0}c_k(z-z_0)^k$（$|z-z_0|< R$、$c_k=f^{(k)}(z_0)/k!$。Taylor展開(複素解析) の記事の定理「正則関数の冪級数展開」）とすると、$A(z_0;0,R)$ 上で $F(z)=\sum_{k\ge0}c_k(z-z_0)^{k-n-1}$ であり、これは Laurent 級数として収束するので、Laurent 展開の一意性により $\operatorname{Res}(F,z_0)=c_n=f^{(n)}(z_0)/n!$ である。thm-residue-theorem-main を $S=\{z_0\}$ に適用すれば主張を得る。$\square$

1. $\varphi$ の $a$ における Taylor 展開を $\varphi(z)=\sum_{k\ge0}c_k(z-a)^k$（$|z-a|< R$、$c_k=\varphi^{(k)}(a)/k!$）とすると、$A(a;0,R)$ 上で $f(z)=\sum_{k\ge0}c_k(z-a)^{k-m}$ であり、右辺は各点で収束する Laurent 級数である。Laurent 展開の一意性（Laurent展開 の記事の定理「Laurent 展開の一意性」）により $f$ の $(z-a)^{-1}$ の係数は $k=m-1$ の項の係数 $c_{m-1}=\varphi^{(m-1)}(a)/(m-1)!$ である。$A(a;0,R)$ 上では $\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}[(z-a)^mf(z)]=\varphi^{(m-1)}(z)$ であり、$\varphi^{(m-1)}$ は正則ゆえ連続なので（Cauchyの積分公式 の記事の定理「導関数の積分表示」）、$z\to a$ の極限は $\varphi^{(m-1)}(a)$ である。
2. $B(a,R_0)\subset V$ をとり、$h$ を Taylor 展開すると $h(a)=0$ より $h(z)=\sum_{k\ge1}b_k(z-a)^k=(z-a)h_1(z)$、$h_1(z):=\sum_{k\ge1}b_k(z-a)^{k-1}$ である。$h_1$ は $B(a,R_0)$ 上の正則関数で $h_1(a)=b_1=h'(a)\neq0$ である。$h_1$ は連続なので、$0< R\le R_0$ を $B(a,R)$ 上で $h_1\neq0$ となるようにとれる。すると $A(a;0,R)$ 上で $h\neq0$ だから $g/h$ は正則であり、$(z-a)\,g(z)/h(z)=g(z)/h_1(z)$ は $B(a,R)$ 上の正則関数に延長される。1 を $m=1$、$\varphi=g/h_1$ に適用して $\operatorname{Res}(g/h,a)=g(a)/h_1(a)=g(a)/h'(a)$ を得る。$\square$

$P=0$ なら両辺は $0$ なので $P\neq0$ とし、$f:=P/Q$ とおく。$f$ は $Q$ の零点の集合 $S$（有限集合）を除いた $\mathbb{C}\setminus S$ 上の正則関数である。
評価：$d:=\deg Q$、$e:=\deg P\le d-2$ とし、$Q(z)=b_dz^d+\cdots+b_0$（$b_d\neq0$）と書く。$A$ を $P$ の係数の絶対値の和、$B:=|b_{d-1}|+\cdots+|b_0|$ とすると、$|z|\ge1$ で $|P(z)|\le A|z|^e$、$|Q(z)|\ge|b_d||z|^d-B|z|^{d-1}$ である。$R_0:=\max(1,2B/|b_d|)$ とおくと、$|z|\ge R_0$ で $|Q(z)|\ge|b_d||z|^d/2$ であり、
$$|f(z)|\le\frac{2A}{|b_d|}|z|^{e-d}\le\frac{M}{|z|^2}\qquad(|z|\ge R_0,\ M:=2A/|b_d|)$$
である。$f$ は実軸上で連続で、$|x|\ge R_0$ で $|f(x)|\le M/x^2$ だから、広義積分は絶対収束する。
回転数：$R>R_0$ を $S$ のすべての点 $a$ について $|a|< R$ となるようにとる。$S$ は実軸と交わらず、$C_R$ とも交わらないので $\gamma_R^*\cap S=\emptyset$ である。$a\in S$ が $\operatorname{Im}a<0$ なら、開半平面 $H:=\{z\mid\operatorname{Im}z>\operatorname{Im}a\}$ は凸で $\gamma_R^*$ を含み、$1/(z-a)$ は $H$ 上で正則なので、Cauchyの積分定理 の記事の定理「円板に対する Cauchy の積分定理」（星型な開集合の場合）により $n(\gamma_R,a)=0$ である。$\operatorname{Im}a>0$ なら、下半円 $\theta\mapsto Re^{i\theta}$（$\pi\le\theta\le2\pi$）の後に線分 $[R,-R]$ をつないだ閉曲線 $\delta_R$ を考える。$\gamma_R$ と $\delta_R$ に沿う積分の和では $[-R,R]$ と $[R,-R]$ の寄与が打ち消し合うので、
$$n(\gamma_R,a)+n(\delta_R,a)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z|=R}\frac{dz}{z-a}=1$$
である（回転数の性質、$|a|< R$）。$\delta_R^*$ は凸な開半平面 $\{z\mid\operatorname{Im}z<\operatorname{Im}a\}$ に含まれ、そこで $1/(z-a)$ は正則なので同じ理由で $n(\delta_R,a)=0$、したがって $n(\gamma_R,a)=1$ である。
結論：thm-residue-theorem-main を $U=\mathbb{C}$（凸なので単連結）、$S$、$\gamma_R$ に適用すると
$$\int_{-R}^Rf(x)\,dx+\int_{C_R}f(z)\,dz=2\pi i\sum_{a\in S,\ \operatorname{Im}a>0}\operatorname{Res}(f,a)$$
である。$C_R$ の長さは $\pi R$ で、その上で $|f|\le M/R^2$ だから、Cauchyの積分定理 の記事の命題「複素線積分の基本性質」の評価により $\bigl|\int_{C_R}f\,dz\bigr|\le\pi M/R\to0$（$R\to\infty$）である。左辺の第 1 項は $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx$ に収束するので主張を得る。$\square$