アルベロス

$AC=4$、$CB=2$ とする。$AB=6$ である。
(1) 図形の面積。直径 $6$、$4$、$2$ の半円の面積は、半径がそれぞれ $3$、$2$、$1$ なので $\dfrac12\pi\cdot3^2=\dfrac92\pi$、$\dfrac12\pi\cdot2^2=2\pi$、$\dfrac12\pi\cdot1^2=\dfrac12\pi$ である。囲まれた図形は、大きい半円から 2 つの小さい半円を取り除いたものなので、面積は
$$ \frac92\pi-2\pi-\frac12\pi=\frac{9-4-1}{2}\pi=2\pi $$
である。
(2) $C$ で立てた垂線。$A$ を原点、直線 $AB$ を $x$ 軸にとると、$C=(4,0)$ で、大きい半円は中心 $(3,0)$、半径 $3$ の円 $(x-3)^2+y^2=9$ の $y\ge0$ の部分である。$C$ で $AB$ に立てた垂線 $x=4$ との交点を $D$ とすると、$(4-3)^2+y^2=9$ より $y^2=8$、$y>0$ から $y=2\sqrt2$ である。よって $CD=2\sqrt2$ である。
(3) $CD$ を直径とする円の面積。半径は $\sqrt2$ なので、面積は $\pi\left(\sqrt2\right)^2=2\pi$ である。
(1) と (3) の値が一致した。

1. $a=b=1$（$C$ が $AB$ の中点）。$AC=CB=2$、$AB=4$ で、面積は $\dfrac12\pi\cdot4-\dfrac12\pi-\dfrac12\pi=\pi$ である。$\Gamma$ は $(x-2)^2+y^2=4$ で、$x=2$ のとき $y=2$ なので $CD=2$ である。$CD$ を直径とする円の面積は $\pi\cdot1^2=\pi$ で、面積と一致する。
2. $a=3$、$b=1$。$AC=6$、$CB=2$、$AB=8$ で、面積は $\dfrac12\pi\cdot16-\dfrac12\pi\cdot9-\dfrac12\pi\cdot1=\dfrac{16-9-1}{2}\pi=3\pi$ である。$\Gamma$ は $(x-4)^2+y^2=16$ で、$x=6$ のとき $y^2=16-4=12$、$y=2\sqrt3$ なので $CD=2\sqrt3$ である。$CD$ を直径とする円の面積は $\pi\left(\sqrt3\right)^2=3\pi$ で、やはり一致する。

$AC=6$、$CB=4$、$AB=10$ とする。アルベロスの面積は
$$ \frac12\pi\cdot5^2-\frac12\pi\cdot3^2-\frac12\pi\cdot2^2=\frac{25-9-4}{2}\pi=\boxed{6\pi} $$
である。$\Gamma$ は $(x-5)^2+y^2=25$ で、$x=6$ のとき $y^2=24$ なので $CD=2\sqrt6$ である。$CD^2=24=6\cdot4=AC\cdot CB$ で lem-arb-cd と合い、$CD$ を直径とする円の面積 $\pi\left(\sqrt6\right)^2=6\pi$ も一致する。

ex-arb-start の $AC=4$、$CB=2$ では、$r=\dfrac{2\cdot1}{2+1}=\dfrac23$ である。
(1) 左の双子の円。中心は $\left(4-\dfrac23,\ q\right)=\left(\dfrac{10}3,\ q\right)$ で、(1) から $q^2=4\cdot2\cdot\dfrac23=\dfrac{16}3$、$q=\dfrac{4\sqrt3}{3}$ である。$O_1=(2,0)$ との距離の 2 乗は $\left(\dfrac43\right)^2+\dfrac{16}3=\dfrac{16+48}{9}=\dfrac{64}9$ で、距離 $\dfrac83=2+\dfrac23$（半径の和）である。$O=(3,0)$ との距離の 2 乗は $\left(\dfrac13\right)^2+\dfrac{16}3=\dfrac{1+48}9=\dfrac{49}9$ で、距離 $\dfrac73=3-\dfrac23$（半径の差）である。
(2) 右の双子の円。中心は $\left(\dfrac{14}3,\ q'\right)$ で、(3) から $q'^2=4\cdot1\cdot\dfrac23=\dfrac83$、$q'=\dfrac{2\sqrt6}3$ である。$O_2=(5,0)$ との距離の 2 乗は $\left(\dfrac13\right)^2+\dfrac83=\dfrac{25}9$ で、距離 $\dfrac53=1+\dfrac23$、$O$ との距離の 2 乗は $\left(\dfrac53\right)^2+\dfrac83=\dfrac{49}9$ で、距離 $\dfrac73=3-\dfrac23$ である。
2 つの円の中心の高さは $\dfrac{4\sqrt3}3\approx2.31$ と $\dfrac{2\sqrt6}3\approx1.63$ で違う。2 つの円は直線 $CD$ に関して対称な位置にはないが、半径は等しい。

1. $a=2$、$b=1$（ex-arb-start）。$S=4+2+1=7$ で、$\rho=\dfrac{2\cdot1\cdot3}{7}=\dfrac67$、$p=\dfrac{2\cdot3\cdot5}{7}=\dfrac{30}7$、$q=\dfrac{12}7$ である。$O_1=(2,0)$ との距離の 2 乗は $\left(\dfrac{16}7\right)^2+\left(\dfrac{12}7\right)^2=\dfrac{400}{49}$ で、距離 $\dfrac{20}7=2+\dfrac67$ である。$O_2=(5,0)$ との距離の 2 乗は $\left(\dfrac57\right)^2+\left(\dfrac{12}7\right)^2=\dfrac{169}{49}$ で、距離 $\dfrac{13}7=1+\dfrac67$ である。$O=(3,0)$ との距離の 2 乗は $\left(\dfrac97\right)^2+\left(\dfrac{12}7\right)^2=\dfrac{225}{49}$ で、距離 $\dfrac{15}7=3-\dfrac67$ である。
2. $a=b=1$。$S=3$ で、$\rho=\dfrac{2}{3}$、$p=\dfrac{2\cdot3}{3}=2$、$q=\dfrac43$ である。中心は $C=(2,0)$ の真上にある（$a=b$ なので図が左右対称）。

$A=(0,0)$、$C=(4,0)$、$B=(6,0)$ で、$\Gamma$ は $y\ge0$ の側に、$\gamma_1$、$\gamma_2$ は $y\le0$ の側に描く。3 つの弧は $A\to B\to C\to A$ とつながって 1 つの図形を囲む。この図形は、上半分の半円 $\Gamma$ と、下半分の 2 つの半円を合わせたもので、面積は
$$ \frac92\pi+2\pi+\frac12\pi=7\pi $$
である。$CD$ を直径とする円の面積 $2\pi$ とは等しくない。3 つの半円が同じ側にあるときは、小さい半円の面積を「引く」ので $\pi ab$ が残った。反対側にあると「足す」ことになり、$\dfrac12\pi\bigl((a+b)^2+a^2+b^2\bigr)=\pi(a^2+ab+b^2)$ になる。

ex-arb-start の図で、$\Gamma$ の最も高い点 $D'=(3,3)$ をとる。$CD'^2=(4-3)^2+(0-3)^2=10$ で、$AC\cdot CB=8$ と等しくない。$CD'$ を直径とする円の面積は $\pi\cdot\dfrac{10}{4}=\dfrac52\pi$ で、アルベロスの面積 $2\pi$ と等しくない。
prf-arb-cd のどこが崩れるかを見る。直線 $CD'$ が $\Gamma$ を含む円ともう一度交わる点を $E$ とすると、方べきの定理から $CD'\cdot CE=CA\cdot CB=8$ はやはり成り立つ。しかし $CE=\dfrac{8}{\sqrt{10}}=\dfrac{4\sqrt{10}}5$ で、$CD'=\sqrt{10}$ とは等しくない。$CD'$ が直径 $AB$ に垂直でないので、段 1 の「折り返すと $CE=CD'$」が使えない。

$a=b=1$ では、アルベロスは直線 $CD$ に関して左右対称である。双子の円の半径は $\dfrac{1\cdot1}{1+1}=\dfrac12$、内接円の半径は ex-arb-incircle (2) の $\dfrac23$ で、等しくない。内接円の中心 $(2,\tfrac43)$ は直線 $CD$（$x=2$）の上にあり、内接円は直線 $CD$ に接するのではなく、$CD$ に切られる。条件 (i) の「直線 $CD$ に接する」を「もう一方の小さい半円に接する」に替えると、別の円になる。