底変換
概要
底変換（base change）とは、$S$ 上のスキーム $X$ と射 $S'\to S$ から、ファイバー積 $X\times_SS'$ として $S'$ 上のスキームを作る操作である。アフィンの場合は環のテンソル積のスペクトルであり、方程式の係数を別の環へ移すことに当たる。点の剰余体への底変換がファイバーであり、底変換は族の引き戻しとも解釈される。開埋め込み・閉埋め込み・有限型・分離・固有・平坦などの射の性質は底変換で保たれるが、既約性・連結性・被約性や射の単射性は保たれないことがある。
整数係数の方程式 $x^2+y^2=1$ は、有理数体 $\mathbb{Q}$ の上でも、有限体 $\mathbb{F}_p$ の上でも、複素数体 $\mathbb{C}$ の上でも考えられる。係数を別の環へ移して同じ方程式を眺め直すこの操作を、スキームの言葉で述べたものが底変換である。$S$ 上のスキーム $X$ と射 $S'\to S$ から、ファイバー積 $X\times_SS'$ として $S'$ 上のスキームが作られる。$S'$ が $S$ の 1 点（その剰余体のスペクトル）のときは、$X$ のその点の上の部分（ファイバー）が得られ、$S$ を「パラメータの空間」とみれば、底変換は族の引き戻しである。代数幾何学では射の性質の多くを「底変換で保たれるか」という観点で整理し、底変換で保たれない性質は「普遍的に」「幾何的に」と言い直して扱う。アフィンスキームの間では、底変換は環のテンソル積そのものである。
定義
$S$ 上のスキーム（構造射 $\pi\colon X\to S$ をもつスキーム $X$）とその射の言葉は スキーム の記事の定義「相対スキームと環上のスキーム」による。スキームの射のファイバー積はつねに存在し（同記事の定理「ファイバー積の存在」）、引き戻し(圏論) の記事の命題「引き戻しの一意性」により、射影を保つただ 1 つの同型を除いて一意である。
$S$ をスキーム、$\pi\colon X\to S$ を $S$ 上のスキーム、$g\colon S'\to S$ をスキームの射とする。ファイバー積
$$
X_{S'}:=X\times_SS'
$$
と、その射影 $g'\colon X_{S'}\to X$、$\pi'\colon X_{S'}\to S'$ を考える。
$$
\xymatrix{
X_{S'} \ar[r]^{g'} \ar[d]_{\pi'} & X \ar[d]^{\pi} \\
S' \ar[r]_{g} & S
}
$$
図式は可換、すなわち $\pi\circ g'=g\circ\pi'$ であり、この四角形は引き戻しである。$S'$ 上のスキーム $(X_{S'},\pi')$ を $X$ の $g$ に沿った底変換（base change）といい、射 $\pi'$ を $\pi$ の底変換という。$S=\operatorname{Spec}R$、$S'=\operatorname{Spec}R'$ のときは $X_{R'}$ や $X\times_RR'$ とも書く。
$S$ 上のスキーム $\pi_X\colon X\to S$、$\pi_Y\colon Y\to S$ の射 $f\colon X\to Y$（$\pi_Y\circ f=\pi_X$ をみたす $S$ 射）を考え、底変換の射影を $g'_X,\pi'_X$、$g'_Y,\pi'_Y$ と書く。射 $f\circ g'_X\colon X_{S'}\to Y$ と $\pi'_X\colon X_{S'}\to S'$ は $\pi_Y\circ(f\circ g'_X)=\pi_X\circ g'_X=g\circ\pi'_X$ をみたすので、$Y_{S'}$ の普遍性により $g'_Y\circ f_{S'}=f\circ g'_X$ かつ $\pi'_Y\circ f_{S'}=\pi'_X$ をみたす射 $f_{S'}\colon X_{S'}\to Y_{S'}$ がただ 1 つある。これを $f$ の底変換という（$f_{S'}=f\times\mathrm{id}_{S'}$ とも書く）。
$\pi\colon X\to S$ をスキームの射、$s\in S$ を点、$\kappa(s)$ をその剰余体とし、$\iota_s\colon\operatorname{Spec}\kappa(s)\to S$ を、点 $s$ と恒等写像 $\kappa(s)\to\kappa(s)$ に対応する射とする（スキーム の記事の命題「体からの射と点」）。$\iota_s$ に沿った底変換
$$
X_s:=X\times_S\operatorname{Spec}\kappa(s)
$$
を $\pi$ の $s$ の上のファイバー（fiber）という。$X_s$ は体 $\kappa(s)$ 上のスキームである。$S$ が既約なら、生成点の上のファイバーを生成ファイバー（generic fiber）という。
$X_s$ の底空間は、射影 $X_s\to X$ によって部分空間 $\pi^{-1}(s)$ と同相である（Stacks Tag 01K1）。ファイバーは集合としての逆像 $\pi^{-1}(s)$ に、体 $\kappa(s)$ 上のスキームの構造を与えたものであり、被約かどうか、何個の点に分かれるかといった情報を持っている。
スキームの射の性質 P が底変換で保たれる（stable under base change）とは、P をもつ任意の射 $\pi\colon X\to S$ と任意の射 $S'\to S$ について、底変換 $\pi'\colon X_{S'}\to S'$ も P をもつことをいう。射 $\pi$ が普遍的に P（universally P）であるとは、任意の射 $S'\to S$ について底変換 $\pi'$ が P をもつことをいう。
$S'=S$、$g=\mathrm{id}_S$ の底変換は $\pi$ 自身と同一視されるので、普遍的に P な射は P をもつ。固有射 の定義に使う普遍閉な射（同記事の定義「普遍閉な射」）がこの形の定義の代表例である。語について注意すると、底変換は change of base、pullback とも呼ばれる。「基底変換」と訳されることもある（「固有基底変換」など）が、線形代数の基底変換（ベクトル空間の基底の取り替え）とは別の概念である。
性質
アフィンスキームの底変換はテンソル積
まず、可換環のテンソル積が、可換環の圏で「2 つの環準同型を 1 つにまとめる」普遍性をもつことを確かめる。可換環 $R$ と環準同型 $\alpha\colon R\to A$、$\beta\colon R\to B$ に対し、$A\otimes_RB$ は $(a\otimes b)(a'\otimes b')=aa'\otimes bb'$ を積として可換環になる（テンソル積 の記事の注意「多元環のテンソル積と随伴」）。$\iota_A\colon A\to A\otimes_RB$、$a\mapsto a\otimes1$ と $\iota_B\colon B\to A\otimes_RB$、$b\mapsto1\otimes b$ は環準同型で、$\iota_A\circ\alpha=\iota_B\circ\beta$ をみたす（$\alpha(r)\otimes1=r(1\otimes1)=1\otimes\beta(r)$）。
可換環 $C$ と環準同型 $\varphi\colon A\to C$、$\psi\colon B\to C$ が $\varphi\circ\alpha=\psi\circ\beta$ をみたすとき、$\gamma\circ\iota_A=\varphi$ かつ $\gamma\circ\iota_B=\psi$ となる環準同型 $\gamma\colon A\otimes_RB\to C$ がただ 1 つある。これは $\gamma(a\otimes b)=\varphi(a)\psi(b)$ で与えられる。
要点：$(a,b)\mapsto\varphi(a)\psi(b)$ は $R$ 双線形なのでテンソル積の普遍性から加法的な写像 $\gamma$ を得て、単純テンソルの上で積を保つことから環準同型になる。一意性は $a\otimes b=(a\otimes1)(1\otimes b)$ から従う。
詳しい証明を開く
$C$ を $\varphi\circ\alpha=\psi\circ\beta$ によって $R$ 加群とみる。写像 $(a,b)\mapsto\varphi(a)\psi(b)$ は各変数について加法的で、$r\in R$ について $\varphi(\alpha(r)a)\psi(b)=\varphi(\alpha(r))\varphi(a)\psi(b)$、$\varphi(a)\psi(\beta(r)b)=\varphi(a)\psi(\beta(r))\psi(b)$ はともに $r\cdot\varphi(a)\psi(b)$ に等しいので、$R$ 双線形である。テンソル積 の記事の定義「テンソル積の普遍性」により、$\gamma(a\otimes b)=\varphi(a)\psi(b)$ をみたす $R$ 線形写像 $\gamma$ がただ 1 つある。$\gamma(xy)=\gamma(x)\gamma(y)$ は、両辺が $x,y$ のそれぞれについて加法的で、単純テンソル $x=a\otimes b$、$y=a'\otimes b'$ では $\varphi(aa')\psi(bb')=\varphi(a)\psi(b)\varphi(a')\psi(b')$ として成り立つので、すべての $x,y$ で成り立つ。$\gamma(1\otimes1)=1$ であり、$\gamma\circ\iota_A=\varphi$、$\gamma\circ\iota_B=\psi$ も定義から従う。一意性：$\gamma'$ も条件をみたす環準同型なら $\gamma'(a\otimes b)=\gamma'(\iota_A(a))\gamma'(\iota_B(b))=\varphi(a)\psi(b)$ であり、単純テンソルは $A\otimes_RB$ を加法的に生成するので $\gamma'=\gamma$ である。
可換環 $R$ と環準同型 $\alpha\colon R\to A$、$\beta\colon R\to B$ に対し、$\operatorname{Spec}(A\otimes_RB)$ と、$\iota_A,\iota_B$ が定める射 $p\colon\operatorname{Spec}(A\otimes_RB)\to\operatorname{Spec}A$、$q\colon\operatorname{Spec}(A\otimes_RB)\to\operatorname{Spec}B$ の組は、$\operatorname{Spec}\alpha$ と $\operatorname{Spec}\beta$ のファイバー積である。
$$
\xymatrix{
T \ar@/^1pc/[drr]^{b} \ar@/_1pc/[ddr]_{a} \ar@{.>}[dr]|{c} & & \\
& \operatorname{Spec}(A\otimes_RB) \ar[r]^{q} \ar[d]_{p} & \operatorname{Spec}B \ar[d]^{\operatorname{Spec}\beta} \\
& \operatorname{Spec}A \ar[r]_{\operatorname{Spec}\alpha} & \operatorname{Spec}R
}
$$
すなわち、四角形は可換（$\operatorname{Spec}\alpha\circ p=\operatorname{Spec}\beta\circ q$）であり、スキーム $T$ と射 $a\colon T\to\operatorname{Spec}A$、$b\colon T\to\operatorname{Spec}B$ が $\operatorname{Spec}\alpha\circ a=\operatorname{Spec}\beta\circ b$ をみたすとき、$p\circ c=a$、$q\circ c=b$ となる射 $c$ がただ 1 つある。とくに、$\operatorname{Spec}A\to\operatorname{Spec}R$ の $\operatorname{Spec}B\to\operatorname{Spec}R$ に沿った底変換は $\operatorname{Spec}(A\otimes_RB)\to\operatorname{Spec}B$ である。
スキーム $T$ について $\Gamma_T:=\Gamma(T,\mathcal{O}_T)$ とおき、スキーム の記事の命題「アフィンスキームへの射と大域切断」の全単射 $\rho\colon\operatorname{Hom}(T,\operatorname{Spec}D)\to\operatorname{Hom}_{\mathbf{Ring}}(D,\Gamma_T)$（射に大域切断の写像を対応させる）を使う。環準同型 $\theta\colon D\to D'$ について $\rho(\operatorname{Spec}\theta)=\theta$ であり（同記事の注意「アフィンスキームから使う事実」の 4）、同じ命題の自然性 $\rho(f\circ h)=h^\sharp\circ\rho(f)$ から、射 $h\colon T\to\operatorname{Spec}D'$ について
$$
\rho(\operatorname{Spec}\theta\circ h)=\rho(h)\circ\theta
$$
が成り立つ（$h^\sharp$ は $h$ の大域切断の写像 $\rho(h)$）。
可換性：$\iota_A\circ\alpha=\iota_B\circ\beta$ と $\operatorname{Spec}$ の関手性から $\operatorname{Spec}\alpha\circ p=\operatorname{Spec}(\iota_A\circ\alpha)=\operatorname{Spec}(\iota_B\circ\beta)=\operatorname{Spec}\beta\circ q$ である。
存在：$\operatorname{Spec}\alpha\circ a=\operatorname{Spec}\beta\circ b$ に $\rho$ を施すと、上の式により $\rho(a)\circ\alpha=\rho(b)\circ\beta$ である。lem-base-change-tensor-pushout により、$\gamma\circ\iota_A=\rho(a)$、$\gamma\circ\iota_B=\rho(b)$ となる環準同型 $\gamma\colon A\otimes_RB\to\Gamma_T$ がある。$c:=\rho^{-1}(\gamma)\colon T\to\operatorname{Spec}(A\otimes_RB)$ とおくと
$$
\rho(p\circ c)=\rho(c)\circ\iota_A=\gamma\circ\iota_A=\rho(a)
$$
なので、$\rho$ の単射性から $p\circ c=a$ である。同様に $q\circ c=b$ である。
一意性：$c'$ も $p\circ c'=a$、$q\circ c'=b$ をみたせば、$\rho(c')\circ\iota_A=\rho(a)$、$\rho(c')\circ\iota_B=\rho(b)$ であり、補題の一意性から $\rho(c')=\gamma=\rho(c)$、したがって $c'=c$ である。$\square$
この定理は スキーム の記事の命題「アフィンスキームのファイバー積」の証明にあたる。一般のスキームのファイバー積は、アフィン開被覆の上でこの定理を使い、開部分スキームのファイバー積（開埋め込み の記事の命題「開埋め込みの底変換」）を使って貼り合わせて作られる（スキーム の記事の注意「ファイバー積の構成の筋と出典」）。
$R\to R'$ を環準同型、$f_1,\dots,f_m\in R[x_1,\dots,x_n]$ とし、$f_i$ の係数を $R'$ へ写した多項式を $f_i'\in R'[x_1,\dots,x_n]$ とする。
$$
X:=\operatorname{Spec}R[x_1,\dots,x_n]/(f_1,\dots,f_m)
$$
の $\operatorname{Spec}R'\to\operatorname{Spec}R$ に沿った底変換は $\operatorname{Spec}R'[x_1,\dots,x_n]/(f_1',\dots,f_m')$ である。とくに $\mathbb{A}^n_R\times_RR'=\mathbb{A}^n_{R'}$ である。
要点：thm-base-change-affine により底変換は $R[x_1,\dots,x_n]/(f_1,\dots,f_m)\otimes_RR'$ のスペクトルであり、多項式環の係数拡大 $R[x]\otimes_RR'\cong R'[x]$ とテンソル積の右完全性から、この環は $R'[x]/(f_1',\dots,f_m')$ に同型である。
詳しい証明を開く
$x=(x_1,\dots,x_n)$、$(f)=(f_1,\dots,f_m)$ と略記する。$R[x]$ は単項式 $x^e$ を基底とする自由 $R$ 加群なので、$R[x]\otimes_RR'$ は $x^e\otimes1$ を基底とする自由 $R'$ 加群であり（テンソル積 の記事の系「自由加群とのテンソル積」）、$ax^e\otimes r'\mapsto\bar a r'x^e$（$\bar a$ は $a\in R$ の $R'$ での像）は積を保つ同型 $R[x]\otimes_RR'\to R'[x]$ である。完全列 $(f)\to R[x]\to R[x]/(f)\to0$ に $\otimes_RR'$ を施すと、右完全性（同記事の命題「テンソル積の右完全性」）により $(f)\otimes_RR'\to R'[x]\to R[x]/(f)\otimes_RR'\to0$ は完全であり、左の写像の像は $f_1',\dots,f_m'$ が生成するイデアルである。よって $R[x]/(f)\otimes_RR'\cong R'[x]/(f_1',\dots,f_m')$ である。$m=0$ の場合が $\mathbb{A}^n$ の主張である。$\square$
方程式で与えられたスキームの底変換は「同じ方程式を係数を移して考える」ことにほかならない。冒頭の $x^2+y^2=1$ でいえば、$X=\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x,y]/(x^2+y^2-1)$ の $\mathbb{Q}$、$\mathbb{F}_p$、$\mathbb{C}$ への底変換が、それぞれの体の上の円である。
推移性
底変換を 2 回続けることは、合成した射に沿った 1 回の底変換と同じである。
$h\colon S''\to S'$、$g\colon S'\to S$ をスキームの射、$\pi\colon X\to S$ を $S$ 上のスキームとする。$X_{S'}=X\times_SS'$ を $h$ に沿ってさらに底変換した $(X_{S'})_{S''}=X_{S'}\times_{S'}S''$ は、射影の合成 $(X_{S'})_{S''}\to X_{S'}\to X$ と射影 $(X_{S'})_{S''}\to S''$ によって、$g\circ h$ に沿った底変換 $X\times_SS''$ である。
$$
\xymatrix{
(X_{S'})_{S''} \ar[r]^{h'} \ar[d]_{\pi''} & X_{S'} \ar[r]^{g'} \ar[d]^{\pi'} & X \ar[d]^{\pi} \\
S'' \ar[r]_{h} & S' \ar[r]_{g} & S
}
$$
左の四角形の射影を $h'\colon(X_{S'})_{S''}\to X_{S'}$、$\pi''\colon(X_{S'})_{S''}\to S''$ と書くと、図式の可換性は $\pi\circ g'=g\circ\pi'$、$\pi'\circ h'=h\circ\pi''$ である。すなわち、右の四角形と左の四角形がともに引き戻しなら、外側の長方形も引き戻しであり、$S''$ 上のスキームとして $(X_{S'})_{S''}\cong X_{S''}$ が $X$ への射と両立する形で成り立つ。
引き戻し(圏論) の記事の命題「貼り合わせ補題」を、右の四角形（$X_{S'}$ の定義により引き戻し）と左の四角形（$(X_{S'})_{S''}$ の定義により引き戻し）に使う。同補題の「右の方形が引き戻しなら、左の方形が引き戻しであることと外側の長方形が引き戻しであることは同値」の前者から後者への向きにより、外側の長方形は $\pi$ と $g\circ h$ の引き戻しである。引き戻しの一意性（同記事の命題「引き戻しの一意性」）により、これは射影を保つ同型 $(X_{S'})_{S''}\cong X\times_SS''$ を与える。$\square$
同じ補題を逆向きに使うと、$S$ 射の底変換も底変換として書ける。
$f\colon X\to Y$ を $S$ 上のスキームの射、$g\colon S'\to S$ をスキームの射とし、記号を def-base-change のとおりとする。このとき次の四角形は引き戻しであり、$X_{S'}\cong X\times_YY_{S'}$ である。
$$
\xymatrix{
X_{S'} \ar[r]^{g'_X} \ar[d]_{f_{S'}} & X \ar[d]^{f} \\
Y_{S'} \ar[r]^{g'_Y} \ar[d]_{\pi'_Y} & Y \ar[d]^{\pi_Y} \\
S' \ar[r]_{g} & S
}
$$
図式の可換性は $g'_Y\circ f_{S'}=f\circ g'_X$ と $\pi_Y\circ g'_Y=g\circ\pi'_Y$ である。したがって、射の性質 P が底変換で保たれるなら、P をもつ $S$ 射 $f$ の底変換 $f_{S'}$ も P をもつ。
上の四角形の可換性は $f_{S'}$ の定義 $g'_Y\circ f_{S'}=f\circ g'_X$ である。下の四角形は $Y_{S'}$ の定義により引き戻しである。外側の長方形は、$\pi'_Y\circ f_{S'}=\pi'_X$ と $\pi_Y\circ f=\pi_X$ により、$X_{S'}$ を $\pi_X$ と $g$ の引き戻しとする四角形そのものであり、引き戻しである。引き戻し(圏論) の記事の命題「貼り合わせ補題」の「外側の長方形が引き戻しなら、もう一方の方形も引き戻し」の向き（縦に並べた形で同じ議論が成り立つ）により、上の四角形は引き戻しである。最後の主張は、$f_{S'}$ が $f$ の $g'_Y\colon Y_{S'}\to Y$ に沿った底変換であることから従う。$\square$
ファイバーの底変換
底変換したスキームの点の上のファイバーは、もとのファイバーの係数体を広げたものである。
$\pi\colon X\to S$、$g\colon S'\to S$ をスキームの射、$s'\in S'$ を点、$s:=g(s')$ とし、$g$ の茎の写像 $g^\sharp_{s'}\colon\mathcal{O}_{S,s}\to\mathcal{O}_{S',s'}$（局所準同型）が誘導する体の準同型を $\lambda\colon\kappa(s)\to\kappa(s')$ とする。このとき、$\pi'\colon X_{S'}\to S'$ の $s'$ の上のファイバーは、$\pi$ の $s$ の上のファイバー $X_s$ の $\operatorname{Spec}\lambda\colon\operatorname{Spec}\kappa(s')\to\operatorname{Spec}\kappa(s)$ に沿った底変換である。
$$
(X_{S'})_{s'}\cong X_s\times_{\operatorname{Spec}\kappa(s)}\operatorname{Spec}\kappa(s')
$$
ここで使う射は次の四角形をなす。
$$
\xymatrix{
\operatorname{Spec}\kappa(s') \ar[r]^{\iota_{s'}} \ar[d]_{\operatorname{Spec}\lambda} & S' \ar[d]^{g} \\
\operatorname{Spec}\kappa(s) \ar[r]_{\iota_s} & S
}
$$
すなわち $g\circ\iota_{s'}=\iota_s\circ\operatorname{Spec}\lambda$ である（証明の第 1 段で示す）。
まず、$\operatorname{Spec}\kappa(s')$ から $S$ への 2 つの射 $g\circ\iota_{s'}$ と $\iota_s\circ\operatorname{Spec}\lambda$ が等しいことを示す。スキーム の記事の命題「体からの射と点」により、体 $K$ のスペクトルからの射は、像の点 $x$ と、茎の写像が誘導する体の準同型 $\kappa(x)\to K$ の組で決まる。$g\circ\iota_{s'}$ の像は $g(s')=s$ で、茎の写像は $\mathcal{O}_{S,s}\xrightarrow{g^\sharp_{s'}}\mathcal{O}_{S',s'}\to\kappa(s')$ なので、誘導する体の準同型は定義により $\lambda$ である。$\iota_s\circ\operatorname{Spec}\lambda$ の像も $s$ で、茎の写像は $\mathcal{O}_{S,s}\to\kappa(s)\xrightarrow{\lambda}\kappa(s')$ なので、誘導する体の準同型も $\lambda$ である。よって 2 つの射は等しい。
prop-base-change-transitivity を $S''=\operatorname{Spec}\kappa(s')\xrightarrow{\iota_{s'}}S'\xrightarrow{g}S$ に使うと $(X_{S'})_{s'}\cong X\times_S\operatorname{Spec}\kappa(s')$（$g\circ\iota_{s'}$ に沿った底変換）である。同じ命題を $\operatorname{Spec}\kappa(s')\xrightarrow{\operatorname{Spec}\lambda}\operatorname{Spec}\kappa(s)\xrightarrow{\iota_s}S$ に使うと、$X_s\times_{\operatorname{Spec}\kappa(s)}\operatorname{Spec}\kappa(s')\cong X\times_S\operatorname{Spec}\kappa(s')$（$\iota_s\circ\operatorname{Spec}\lambda$ に沿った底変換）である。前段により 2 つの射は等しいので、主張の同型を得る。$\square$
たとえば $S'=\operatorname{Spec}\kappa(s)$ 自身（$g=\iota_s$）なら、底変換 $X_s$ の点の上のファイバーは $X_s$ そのものである。また $K\subset L$ を体の拡大とし、$K$ 上のスキーム $X$ を $L$ へ底変換すると、ファイバーは 1 つしかなく $X_L$ そのものなので、ファイバーについて成り立つ性質（被約・既約・連結など）が係数の拡大で保たれるかどうかという問題に帰着する。この問題の答えが一般に「いいえ」であることを後の反例で見る。
例と反例
$\mathbb{Z}[i]\cong\mathbb{Z}[x]/(x^2+1)$ が定める射 $\pi\colon\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[i]\to\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ のファイバーを調べる。素数 $p$ の点 $(p)$ の剰余体は $\mathbb{F}_p$ で、$\iota_{(p)}$ は $\mathbb{Z}\to\mathbb{F}_p$ が定める射なので、cor-base-change-equations により $(p)$ の上のファイバーは
$$
\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[i]\times_{\operatorname{Spec}\mathbb{Z}}\operatorname{Spec}\mathbb{F}_p\cong\operatorname{Spec}\mathbb{F}_p[x]/(x^2+1)
$$
である。
- $p=2$：$x^2+1=(x+1)^2$（$\mathbb{F}_2$ では $2=0$）なので、ファイバーは $\operatorname{Spec}\mathbb{F}_2[x]/((x+1)^2)$、すなわち 1 点で被約でない。$x+1$ の類は $0$ でない冪零元である。
- $p=3$：$x^2+1$ は $\mathbb{F}_3$ に根をもたない（$0,1,2$ を代入すると $1,2,2$）ので既約であり、ファイバーは $\operatorname{Spec}\mathbb{F}_9$、すなわち剰余体が $\mathbb{F}_3$ の 2 次拡大である 1 点である。
- $p=5$：$x^2+1=(x-2)(x+2)$ で、$(x-2)$ と $(x+2)$ は互いに素なので、中国剰余定理によりファイバーは $\operatorname{Spec}(\mathbb{F}_5\times\mathbb{F}_5)$、すなわち剰余体が $\mathbb{F}_5$ の 2 点である。
生成点 $(0)$ の上のファイバー（生成ファイバー）は $\operatorname{Spec}\mathbb{Q}[x]/(x^2+1)=\operatorname{Spec}\mathbb{Q}(i)$ の 1 点である。どのファイバーも $\kappa(s)$ 上 $2$ 次元の環のスペクトルだが、その $2$ が「2 点」「1 点で剰余体が 2 次」「1 点で被約でない」と異なる形で現れる。数論の言葉では、それぞれ素数 $p$ の分解・惰性・分岐に当たり、一般の $p$ では $p\equiv1\pmod 4$ なら分解、$p\equiv3\pmod 4$ なら惰性である（Gauss整数 の記事の定理「Gauss 素数の分類」）。
$k$ を体とし、$X=\operatorname{Spec}k[x,y,t]/(xy-t)\to S=\mathbb{A}^1_k=\operatorname{Spec}k[t]$ を考える。$a\in k$ に対応する閉点 $t=a$ の上のファイバーは、cor-base-change-equations と同じ計算（$k[t]\to k$、$t\mapsto a$ に沿った底変換）により $\operatorname{Spec}k[x,y]/(xy-a)$ である。
- $a\neq0$：$k[x,y]/(xy-a)\cong k[x,x^{-1}]$（$y\mapsto a x^{-1}$）であり、ファイバーは双曲線で、整である（閉埋め込み の記事の例「双曲線と乗法群」と同じ計算）。
- $a=0$：ファイバーは 2 本の座標軸 $\operatorname{Spec}k[x,y]/(xy)$ であり、連結だが既約でない（既約成分 の記事の例「2 本の座標軸」）。
生成ファイバーは $\operatorname{Spec}k(t)[x,y]/(xy-t)\cong\operatorname{Spec}k(t)[x,x^{-1}]$ で整である。既約な曲線の族が $t=0$ で 2 本の直線に退化している。この射は平坦であり（平坦射 の記事の例「平坦族の例：$xy=t$」）、底変換によって族を 1 点に制限したものがファイバーである。
$\operatorname{Spec}\mathbb{C}\to\operatorname{Spec}\mathbb{R}$ を、自分自身 $\operatorname{Spec}\mathbb{C}\to\operatorname{Spec}\mathbb{R}$ に沿って底変換する。$\mathbb{C}\cong\mathbb{R}[x]/(x^2+1)$ なので、cor-base-change-equations により
$$
\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}\cong\mathbb{C}[x]/(x^2+1)=\mathbb{C}[x]/((x-i)(x+i))\cong\mathbb{C}\times\mathbb{C}
$$
である（最後は $(x-i)$ と $(x+i)$ が互いに素なことによる中国剰余定理）。よって $\operatorname{Spec}\mathbb{C}\times_{\operatorname{Spec}\mathbb{R}}\operatorname{Spec}\mathbb{C}$ は 2 点からなり、2 点はそれぞれ開かつ閉である。
満たす性質：$\operatorname{Spec}\mathbb{C}$ は 1 点で、整（したがって既約・連結・被約）な $\mathbb{R}$ 上のスキームであり、$\operatorname{Spec}\mathbb{C}\to\operatorname{Spec}\mathbb{R}$ は単射である。
満たさない性質：底変換 $\operatorname{Spec}(\mathbb{C}\times\mathbb{C})\to\operatorname{Spec}\mathbb{C}$ の始域は 2 点の非交和で、既約でも連結でも整でもなく、底変換した射は単射でない。したがって「既約（連結・整）であること」「射が単射であること」は底変換で保たれない。被約性はこの例では保たれている（$\mathbb{C}\times\mathbb{C}$ は被約）。
$p$ を素数、$K=\mathbb{F}_p(t)$、$L=K(u)$（$u^p=t$）とする。$L\cong K[x]/(x^p-t)$ であり（$x^p-t$ は $K$ 上既約。完全体 の記事の例「反例：有理関数体と $x^p-t$」）、$\operatorname{Spec}L$ は被約な $K$ 上のスキームである。$\operatorname{Spec}L\to\operatorname{Spec}K$ に沿って底変換すると、cor-base-change-equations により
$$
L\otimes_KL\cong L[x]/(x^p-t)=L[x]/((x-u)^p)
$$
となる（標数 $p$ では $(x-u)^p=x^p-u^p$）。$x-u$ の類は $0$ でないが $p$ 乗すると $0$ なので、底変換は被約でない。この例は「被約な $K$ 上のスキーム」を満たすが「底変換しても被約」を満たさない（被約スキーム の記事の例「反例：完全でない体の上の底変換」）。$K$ が完全体なら、被約な $K$ 上のスキームは任意の体の拡大への底変換で被約のままである（同じ例の後半の注意）。
$k$ を体とすると、cor-base-change-equations により $\mathbb{A}^1_k\times_k\mathbb{A}^1_k=\operatorname{Spec}(k[x]\otimes_kk[y])=\operatorname{Spec}k[x,y]=\mathbb{A}^2_k$ である。点の集合としては直積集合 $\mathbb{A}^1_k\times\mathbb{A}^1_k$ ではない。たとえば素イデアル $(0)$ と $(x-y)$（対角線）はどちらも 2 つの射影によって 2 つの $\mathbb{A}^1_k$ の生成点に写る。$(x-y)\cap k[x]=0$ だからである（$g(x)=(x-y)h(x,y)$ なら $y=x$ を代入して $g=0$）。1 つの点の組（生成点, 生成点）の上に、$\mathbb{A}^2_k$ の多くの点が載っている。一般に、$X\times_SY$ の点は、$X$、$Y$ の点 $x,y$ で $S$ の同じ点 $s$ の上にあるものと、環 $\kappa(x)\otimes_{\kappa(s)}\kappa(y)$ の素イデアルの組に対応する（Stacks Tag 01JT）。ex-base-change-c-over-r では、$\kappa(x)\otimes_{\kappa(s)}\kappa(y)=\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$ が 2 つの素イデアルをもつ。
底変換で保たれる性質と保たれない性質
射の性質の多くは底変換で保たれる。各行の性質は、それぞれの記事で合成とあわせて証明されている。
| 射の性質 | 底変換で | 根拠 |
|---|---|---|
| 開埋め込み | 保たれる | 開埋め込み の記事の命題「開埋め込みの底変換」 |
| 閉埋め込み | 保たれる | 閉埋め込み の記事の命題「閉埋め込みの底変換」 |
| 局所有限型・有限型・有限表示 | 保たれる | 有限型射 の記事の命題「底変換で閉じること」 |
| アフィン射 | 保たれる | アフィン射 の記事の命題「アフィン射の合成と底変換」 |
| 分離射 | 保たれる | 分離射 の記事の命題「合成・底変換・積で閉じること」 |
| 固有射 | 保たれる | 固有射 の記事の定理「合成・底変換・積で閉じること」 |
| 射影射 | 保たれる | 射影射 の記事の定理「合成・底変換・積で閉じること」 |
| 平坦射 | 保たれる | 平坦射 の記事の命題「合成と底変換」 |
| エタール射 | 保たれる | エタール射 の記事の命題「合成と底変換」 |
| 滑らかな射 | 保たれる | 滑らかな射 の記事の命題「底変換と合成」 |
| 全射 | 保たれる | Stacks Tag 01S1 |
| 単射 | 保たれない | ex-base-change-c-over-r |
$S$ 上のスキームの性質（構造射のファイバーの性質）では、保たれないものが目立つ。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 底が完全体であること | $\mathbb{F}_p(t)$ 上の $\operatorname{Spec}\mathbb{F}_p(t^{1/p})$ | 被約な体上のスキームの体の拡大への底変換は被約 |
| 底が代数閉体であること | $\mathbb{R}$ 上の $\operatorname{Spec}\mathbb{C}$ | 既約（連結・整）な体上のスキームの体の拡大への底変換は既約（連結・整） |
底変換で保たれない性質は、2 通りに補われる。1 つは「普遍的に P」と言い直すことで、普遍閉（固有射 の記事の定義「普遍閉な射」）や普遍単射がこの形である。普遍的に P な射は定義により底変換で保たれる（prop-base-change-transitivity により、普遍的に P な射の底変換をさらに底変換したものは、もとの射の底変換である）。もう 1 つは、ファイバーを代数閉体へ底変換してから性質を問うことで、体 $k$ 上のスキーム $X$ が幾何的に被約（既約・連結・整）であるとは、任意の体の拡大 $K/k$ に対して $X_K$ が被約（既約・連結・整）であることをいう。これは $k$ の代数閉包 $\bar k$ への底変換 $X_{\bar k}$ で確かめれば十分である（Stacks Varieties, Sections 33.6–33.9）。$\operatorname{Spec}\mathbb{C}$ は幾何的に被約だが幾何的に既約でない $\mathbb{R}$ 上のスキームである（ex-base-change-c-over-r）。
補足
- 族の引き戻し：射 $X\to S$ を $S$ の点でパラメータ付けられたスキームの族とみると、底変換 $X_{S'}\to S'$ は写像 $S'\to S$ による族の引き戻しであり、ファイバーは 1 点への引き戻しである（Stacks Schemes, Section 26.18, Tag 01JW）。
- 係数の拡大：体 $k$ 上のスキーム $X$ を拡大体 $L$ へ底変換して $X_L$ を考えることは、方程式の解を大きな体の中で探すことに当たる。ファイバー積の普遍性により、$k$ 射 $\operatorname{Spec}L\to X$ は $X_L$ の $L$ 有理点（$L$ 射 $\operatorname{Spec}L\to X_L$）と 1 対 1 に対応する（有理点）。
- 降下：底変換 $X_{S'}$ に「どういう追加の情報があれば $S$ 上の対象に戻せるか」を問うのが降下の理論である（忠実平坦降下）。有限局所自由な射 $X'\to X$ に沿った底変換 $Y\mapsto Y\times_XX'$ の右随伴に当たる関手として、Weil制限 が定義される（同記事の定義「制限関手 $R_{X'/X}$」）。
- コホモロジーとの交換：層のコホモロジーが底変換と交換するかは重要な問題で、Noether スキームの間の分離的で有限型の射の平坦な底変換では、準連接層のコホモロジーは底変換と交換する（平坦射 の記事の定理「平坦な底変換とコホモロジーの交換」）。複素代数多様体の上の構成可能層の導来圏では、ファイバー積の四角形について固有底変換の同型が成り立つ（六演算 の記事の定理「射影公式と固有基底変換」）。
底変換の定義と基本性質は Stacks の Schemes の章にある。
所在の一覧を開く
Stacks：Schemes, Section 26.17（Tag 01JO、ファイバー積。Tag 01JQ がアフィンの場合、Tag 01JT が点の記述）、Section 26.18（Tag 01JW、底変換。Tag 01JX が定義、Tag 01JY が埋め込みの底変換、Tag 01JZ が底変換で保たれる性質の定義、Tag 01K0 がファイバーの定義、Tag 01K1 がファイバーの底空間）、Morphisms, Tag 01S1（全射の底変換）、Varieties, Sections 33.6–33.9（Tags 035U, 0361, 0364, 0366、幾何的な被約性・連結性・既約性・整性）。本記事の thm-base-change-affine の証明は、スキーム の記事の命題「アフィンスキームへの射と大域切断」とテンソル積の普遍性を組み合わせたものである。
関連項目
参考文献
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