エタール基本群

$\operatorname{Spec}k$ 上の有限エタール被覆は $\operatorname{Spec}A$（$A$ は有限エタール $k$ 代数）であり、有限エタール $k$ 代数は有限個の有限分離拡大体の直積 $A\cong K_1\times\dots\times K_r$ である（エタール射、Mil80 I §3）。$\operatorname{Spec}$ は $k$ 代数の圏との反同値なので、$\mathbf{F\acute{E}t}_{\operatorname{Spec}k}$ は有限エタール $k$ 代数と $k$ 代数準同型の圏の反対圏であり、ファイバー関手は
$$ F(A)=\operatorname{Hom}_{k\text{-alg}}(A,k^{\mathrm{sep}}) $$
である。$G:=\operatorname{Gal}(k^{\mathrm{sep}}/k)$ とおく。
$G\to\operatorname{Aut}(F)$ の構成。$\sigma\in G$ に対し、$\sigma_A\colon F(A)\to F(A)$, $\iota\mapsto\sigma\circ\iota$ とおく。$k$ 代数準同型 $\varphi\colon A\to B$ に対し $F(\varphi)(\iota')=\iota'\circ\varphi$ であり、$\sigma\circ(\iota'\circ\varphi)=(\sigma\circ\iota')\circ\varphi$ なので $\sigma$ は自然変換である。逆元 $\sigma^{-1}$ が逆を与えるので $\sigma\in\operatorname{Aut}(F)$ であり、$\sigma\mapsto(\sigma_A)_A$ は群準同型である。
単射性。$\sigma\neq1$ なら $\sigma(\alpha)\neq\alpha$ となる $\alpha\in k^{\mathrm{sep}}$ があり、$A=k(\alpha)$ と包含 $\iota\colon k(\alpha)\hookrightarrow k^{\mathrm{sep}}$ に対して $\sigma\circ\iota\neq\iota$ である。
全射性。$\tau\in\operatorname{Aut}(F)$ をとる。$k^{\mathrm{sep}}$ に含まれる $k$ の有限 Galois拡大 $L$ をとり、包含を $\iota_L\colon L\hookrightarrow k^{\mathrm{sep}}$ とする。$L/k$ が Galois なので $F(L)=\operatorname{Hom}_k(L,k^{\mathrm{sep}})=\{\iota_L\circ g\mid g\in\operatorname{Gal}(L/k)\}$ であり、$g\mapsto\iota_L\circ g$ は全単射である。各 $g\in\operatorname{Gal}(L/k)$ は $k$ 代数準同型 $L\to L$ だから $\tau$ の自然性により
$$ \tau_L(\iota_L\circ g)=\tau_L(F(g)(\iota_L))=F(g)(\tau_L(\iota_L))=\tau_L(\iota_L)\circ g $$
である。$\tau_L(\iota_L)=\iota_L\circ g_L$ となる $g_L\in\operatorname{Gal}(L/k)$ がただ 1 つあり、したがって $\tau_L$ は $F(L)$ 上で $\iota_L\circ g\mapsto\iota_L\circ g_Lg$ と書ける。$L\subset L'$ がともに有限 Galois 拡大で $j\colon L\hookrightarrow L'$ を包含とすると、$F(j)(\iota_{L'})=\iota_{L'}\circ j=\iota_L$ なので、自然性により
$$ \iota_L\circ g_L=\tau_L(\iota_L)=\tau_L(F(j)(\iota_{L'}))=F(j)(\tau_{L'}(\iota_{L'}))=\iota_{L'}\circ g_{L'}\circ j $$
となり、$g_{L'}|_L=g_L$ を得る。$k^{\mathrm{sep}}$ は有限 Galois 拡大の合併なので、両立する族 $(g_L)_L$ はただ 1 つの $\sigma\in G=\varprojlim_L\operatorname{Gal}(L/k)$ を定め、$\sigma|_L=g_L$ である。
この $\sigma$ が $\tau$ を与えることを示す。一般の有限エタール $k$ 代数 $A=K_1\times\dots\times K_r$ と $\iota\in F(A)$ をとる。$\iota$ はある成分 $K_i$ 上の $k$ 埋め込み $\iota_i\colon K_i\to k^{\mathrm{sep}}$ と射影 $p_i\colon A\to K_i$ により $\iota=\iota_i\circ p_i$ と書ける。$\iota_i(K_i)$ を含む有限 Galois 拡大 $L\subset k^{\mathrm{sep}}$ をとると、$\iota_i=\iota_L\circ\varphi$（$\varphi\colon K_i\to L$ は $\iota_i$ の終域を $L$ に制限したもの）である。$\psi:=\varphi\circ p_i\colon A\to L$ は $k$ 代数準同型で $\iota=F(\psi)(\iota_L)$ なので、自然性により
$$ \tau_A(\iota)=F(\psi)(\tau_L(\iota_L))=\iota_L\circ g_L\circ\psi=\sigma\circ\iota_L\circ\psi=\sigma\circ\iota $$
である。よって $\tau=\sigma$ であり、$G\to\operatorname{Aut}(F)$ は全単射である。
位相。$\sigma$ の $F(A)$ への作用は、上と同じ $L$ をとれば $\operatorname{Gal}(L/k)$ を経由するので、$G\to\operatorname{Aut}(F(A))$ は開部分群 $\operatorname{Gal}(k^{\mathrm{sep}}/L)$ 上で定数であり連続である。したがって $G\to\operatorname{Aut}(F)$ は連続全単射で、$G$ はコンパクト、$\operatorname{Aut}(F)$ は Hausdorff なので同相である。

$f\colon Y\to\mathbb{A}^1_k$ を連結な有限エタール被覆、次数を $n\ge1$ とする。$Y$ は $\mathbb{A}^1_k$ 上エタールなので $k$ 上滑らか（滑らかな射）で 1 次元、連結な正則スキームは整なので $Y$ は $k$ 上の非特異アフィン曲線である。$K:=K(Y)$ を $Y$ の関数体とすると、$Y$ は正規で $\mathbb{A}^1_k$ 上有限だから、$Y=\operatorname{Spec}B$ で $B$ は $k[t]$ の $K$ における整閉包である。$\mathbb{P}^1_k$ の $K$ における正規化 $\bar Y\to\mathbb{P}^1_k$ をとる（Har77 I §6）。$\bar Y$ は $k$ 上の非特異射影曲線で、$\mathbb{A}^1_k$ の逆像は $Y$ に一致し、$\bar f\colon\bar Y\to\mathbb{P}^1_k$ は次数 $n$ の有限射である。$\bar f$ は $\mathbb{A}^1_k$ 上ではエタールなので、$\infty$ 以外の点の上で不分岐（分岐点をもたない）である。
$\bar Y$ の種数を $g$ とする。標数 $0$ なので分岐はすべて順であり、Riemann–Hurwitzの公式（Har77 IV 2.4）により
$$ 2g-2=n\,(2\cdot0-2)+\sum_{P\in\bar Y}(e_P-1) $$
である。$e_P=1$ が $\infty$ の上にない点で成り立つので、右辺の和は $\infty$ の上の点 $P_1,\dots,P_r$（$r\ge1$）だけを走り、$\sum_{i}e_{P_i}=n$（Har77 II 6.9）から $\sum_i(e_{P_i}-1)=n-r$ である。よって
$$ 2g-2=-2n+n-r=-n-r,\qquad 2g=2-n-r . $$
$g\ge0$、$n\ge1$、$r\ge1$ より $n=r=1$ であり、$\bar f$ は次数 $1$ の有限射、すなわち同型である。したがって $f$ も同型である。
すべての有限エタール被覆は連結成分の非交和であり、各成分は $\mathbb{A}^1_k$ に同型なので、$F_{\bar x}(Y)$ は成分の集合と同一視される。各成分 $Y_i\cong\mathbb{A}^1_k$ の包含 $Y_i\to Y$ は $\mathbf{F\acute{E}t}_X$ の射で、$F_{\bar x}(Y_i)$ は 1 点だから、$\tau\in\operatorname{Aut}(F_{\bar x})$ は自然性により $F_{\bar x}(Y)$ の各点を固定する。よって $\pi_1(\mathbb{A}^1_k,\bar x)=1$ である。

$Y\to\mathbb{G}_{m,k}$ を次数 $n$ の連結な有限エタール被覆とし、prop-etale-pi1-affine-line の証明と同様に $\mathbb{P}^1_k$ の $K(Y)$ における正規化 $\bar f\colon\bar Y\to\mathbb{P}^1_k$ をとる。$\bar f$ は $0,\infty$ 以外で不分岐なので、$0$ の上の点の個数を $r_0$、$\infty$ の上の点の個数を $r_\infty$ とすると Riemann–Hurwitz の公式は
$$ 2g-2=-2n+(n-r_0)+(n-r_\infty)=-r_0-r_\infty $$
となる。$r_0,r_\infty\ge1$ より $g=0$、$r_0=r_\infty=1$ である。よって $\bar Y\cong\mathbb{P}^1_k$ で、$\bar f$ は $0$ の上にただ 1 点 $Q_0$、$\infty$ の上にただ 1 点 $Q_\infty$ をもち、ともに分岐指数 $n$ である。$\bar Y$ の座標 $w$ を $Q_0=0$、$Q_\infty=\infty$ となるようにとると、有理関数 $\bar f^*z$ の因子は $n[0]-n[\infty]$ であり、$w^n$ の因子と一致するので $\bar f^*z=c\,w^n$（$c\in k^\times$）である。$c$ の $n$ 乗根で $w$ を取り替えれば $\bar f^*z=w^n$、すなわち $\bar f$ は $w\mapsto w^n$ であり、$Y=\bar f^{-1}(\mathbb{G}_{m,k})=\mathbb{G}_{m,k}$ 上で $Y\to\mathbb{G}_{m,k}$ は Kummer 被覆である。逆に Kummer 被覆は $k[z,z^{-1}]\to k[w,w^{-1}]$, $z\mapsto w^n$ で与えられ、$B:=k[w,w^{-1}]$ は $A:=k[z,z^{-1}]$ 上 $1,w,\dots,w^{n-1}$ を基底とする自由加群であり、Kähler微分加群 $\Omega_{B/A}$ は $dw$ で生成され、$0=dz=nw^{n-1}\,dw$ で $nw^{n-1}$ が $B$ の単数（標数 $0$）だから $\Omega_{B/A}=0$、よって有限エタールであり、$\mu_n(k)$ が $w\mapsto\zeta w$ で推移的にファイバーに作用するので Galois である。
最後の同型は、Galois 圏の一般論で、$\pi_1$ は連結な Galois 被覆 $Y_\lambda$ の族に沿った $\operatorname{Aut}_X(Y_\lambda)$ の逆極限として書ける（SGA1 V §4・§5、Sza09 第 5 章）ことによる。$m\mid n$ のとき Kummer 被覆 $w\mapsto w^n$ は $w\mapsto w^m$ を経由し、自己同型群の対応する射は $\mu_n(k)\to\mu_m(k)$, $\zeta\mapsto\zeta^{n/m}$ なので、$\pi_1\cong\varprojlim_n\mu_n(k)$ である。$\mu_n(k)\cong\mathbb{Z}/n$（標数 $0$）の族の逆極限は $\widehat{\mathbb{Z}}$ である。

$B=k[x,y]/(y^p-y-x)$ は $k[x]$ 上 $1,y,\dots,y^{p-1}$ を基底とする自由加群である。$x=y^p-y$ なので $B\cong k[y]$ であり、$Y\cong\mathbb{A}^1_k$ は連結である。$g(y)=y^p-y-x$ の $y$ についての導関数は $g'(y)=-1$ で単数だから、$\Omega_{B/k[x]}=B\,dy/(g'(y)\,dy)=0$ であり、$B$ は $k[x]$ 上有限自由かつ不分岐、すなわち有限エタールである（エタール射）。$a\in\mathbb{F}_p$ に対し $y\mapsto y+a$ は $(y+a)^p-(y+a)=y^p-y$ により $B$ の $k[x]$ 代数自己同型を与え、ファイバー $\{y\mid y^p-y=x_0\}$ に単純推移的に作用する。よって $Y\to\mathbb{A}^1_k$ は群 $\mathbb{Z}/p$ の Galois 被覆であり、thm-etale-pi1-galois-category の 3 により $\pi_1(\mathbb{A}^1_k,\bar x)$ は $\mathbb{Z}/p$ への連続全射をもつ。

基底変換は関手 $f^*\colon\mathbf{F\acute{E}t}_{X'}\to\mathbf{F\acute{E}t}_X$, $Y'\mapsto Y'\times_{X'}X$ を定める（有限エタール射は基底変換で保たれる）。$\bar x'=f\circ\bar x$ なので、ファイバー積の普遍性により
$$ F_{\bar x}(f^*Y')=\operatorname{Hom}_X(\operatorname{Spec}\Omega,\,Y'\times_{X'}X)=\operatorname{Hom}_{X'}(\operatorname{Spec}\Omega,\,Y')=F_{\bar x'}(Y') $$
が $Y'$ について自然に成り立つ。すなわち $F_{\bar x}\circ f^*=F_{\bar x'}$ である。$\gamma\in\operatorname{Aut}(F_{\bar x})$ に対し、$(f_*\gamma)_{Y'}:=\gamma_{f^*Y'}$ とおく。$Y'\to Y''$ が $X'$ 上の射なら $f^*Y'\to f^*Y''$ は $X$ 上の射なので、$\gamma$ の自然性から $f_*\gamma$ は $F_{\bar x'}$ の自然変換であり、$\gamma^{-1}$ から逆が得られるので自然自己同型である。$(\gamma\delta)_{f^*Y'}=\gamma_{f^*Y'}\delta_{f^*Y'}$ より $f_*$ は群準同型である。連続性は、$\operatorname{Aut}(F_{\bar x'})$ の位相の定め方から、各 $Y'$ に対する成分 $\gamma\mapsto\gamma_{f^*Y'}$ が連続である（積位相の射影の 1 つ）ことによる。関手性の 2 式は $(g\circ f)^*=f^*\circ g^*$ と $\operatorname{id}^*=\operatorname{id}$ から従う。

thm-etale-pi1-galois-category の同値により、有限エタール $G$ トーサーは、$\pi_1:=\pi_1(X,\bar x)$ が連続に左から作用し、$G$ がそれと可換に右から作用する有限集合 $S$ で、$S\times G\to S\times S$, $(s,g)\mapsto(s,sg)$ が全単射であるもの（$G$ の作用が単純推移的なもの）と対応する。実際、ファイバー関手は有限極限と有限余積を保つ（Galois 圏の公理）ので $Y\times_XY$ は $S\times S$ に、$Y\times G=\coprod_{g\in G}Y$ は $S\times G$ に対応し、同型は同型に対応する。$S$ の右 $G$ 作用は $X$ 上の射 $Y\times G\to Y$ から来るので $\pi_1$ の作用と可換である。

1. $s\in S$ をとる。$\gamma\in\pi_1$ に対し $\gamma s\in S$ なので、単純推移性により $\gamma s=s\,\varphi(\gamma)$ となる $\varphi(\gamma)\in G$ がただ 1 つ存在する。$\gamma\gamma's=\gamma(s\varphi(\gamma'))=(\gamma s)\varphi(\gamma')=s\varphi(\gamma)\varphi(\gamma')$ より $\varphi$ は準同型であり、$\gamma\mapsto\gamma s$ が連続で $S$ が離散なので $\varphi$ は連続である。逆に連続準同型 $\varphi\colon\pi_1\to G$ に対し、$S_\varphi:=G$ に $\gamma\cdot g:=\varphi(\gamma)g$、右作用を右乗法として定めると、これは連続な $\pi_1$ 作用と可換な単純推移的右 $G$ 作用をもち、点 $e\in G$ から $\varphi$ が復元される。点つきトーサー $(S,s)$ に対して $G\to S$, $g\mapsto sg$ は $(S_\varphi,e)\to(S,s)$ の点つき同型である。点つきトーサーの同型 $(S,s)\to(S',s')$ は $\varphi$ を保つので、1 の全単射を得る。
2. 同じトーサー $S$ の別の点は $s'=sg_0$（$g_0\in G$）と書け、$\gamma s'=\gamma s\,g_0=s\varphi(\gamma)g_0=s'\,g_0^{-1}\varphi(\gamma)g_0$ なので $\varphi'=g_0^{-1}\varphi g_0$ である。したがって点を忘れたトーサーの同型類は $\varphi$ の共役類に対応する。