遺伝的Lindelöf数

1 ⇒ 2 は定義から明らかである。
2 ⇒ 3：$U=\bigcup\mathcal U$ は開集合であり、$\mathcal U$ は開部分空間 $U$ の開被覆である。$L(U)\le\kappa$ から、$U$ を覆う濃度 $\kappa$ 以下の部分族 $\mathcal V$ がとれる。
3 ⇒ 4：$S=\{p_\xi:\xi<\kappa^+\}$ が型 $\kappa^+$ で右に分離されているとする。各 $\xi$ について、始切片 $\{p_\eta:\eta<\xi\}$ は $S$ で開なので、$X$ の開集合 $G_\xi$ で $G_\xi\cap S=\{p_\eta:\eta<\xi\}$ となるものを選べる。族 $\{G_\xi:\xi<\kappa^+\}$ に 3 を使い、濃度 $\kappa$ 以下の添字集合 $A$ で $\bigcup_{\xi\in A}G_\xi=\bigcup_{\xi<\kappa^+}G_\xi$ となるものをとる。$\kappa^+$ は正則基数なので $\zeta=\sup A<\kappa^+$ であり、$\bigcup_{\xi\in A}G_\xi\cap S\subset\{p_\eta:\eta<\zeta\}$ である。ところが $p_\zeta\in G_{\zeta+1}$ なので $p_\zeta$ は右辺の和 $\bigcup_{\xi<\kappa^+}G_\xi$ に属し、左辺には属さない。これは矛盾である。
4 ⇒ 1：ある $Y\subset X$ で $L(Y)>\kappa$ とし、$Y$ の開被覆 $\mathcal G$ で濃度 $\kappa$ 以下の部分被覆をもたないものをとる。$\xi<\kappa^+$ に関する超限帰納法で、$p_\xi\in Y$ と $G_\xi\in\mathcal G$ を選ぶ。$\{G_\eta:\eta<\xi\}$ は濃度 $\kappa$ 以下なので $Y$ を覆わず、
$$ p_\xi\in Y\setminus\bigcup_{\eta<\xi}G_\eta $$
がとれる。そこで $p_\xi\in G_\xi$ となる $G_\xi\in\mathcal G$ を選ぶ（選択公理を使う）。$\eta<\xi$ なら $p_\xi\notin G_\eta\ni p_\eta$ なので点は互いに異なり、$G_\eta\cap S\subset\{p_\zeta:\zeta\le\eta\}$ となる（$S=\{p_\xi:\xi<\kappa^+\}$）。よって始切片は
$$ \{p_\eta:\eta<\xi\}=S\cap\bigcup_{\eta<\xi}G_\eta $$
と書けて $S$ で開であり、$S$ は型 $\kappa^+$ で右に分離されている。これは 4 に反する。$\square$

$D\subset X$ が離散部分空間なら、一点集合全体は $D$ の開被覆で、どの真の部分族も $D$ を覆わないので $|D|\le L(D)\le hL(X)$ である。
$\mathcal N$ を $X$ のネットワーク、$Y\subset X$、$\mathcal U$ を $X$ の開集合からなる $Y$ の被覆とする。$\mathcal N'=\{N\in\mathcal N:\ \text{ある }U\in\mathcal U\text{ で }N\subset U\}$ とおき、各 $N\in\mathcal N'$ について $N\subset U_N$ となる $U_N\in\mathcal U$ を選ぶ。各 $y\in Y$ は $y\in U\in\mathcal U$ となる $U$ をもち、ネットワークの定義から $y\in N\subset U$ となる $N\in\mathcal N'$ がある。よって $y\in U_N$ であり、$\{U_N:N\in\mathcal N'\}$ は濃度 $|\mathcal N|$ 以下で $Y$ を覆う。したがって $L(Y)\le nw(X)$ である。$\square$

$U$ を開集合とする。正則性から、各 $x\in U$ に開集合 $V_x$ で $x\in V_x\subset\overline{V_x}\subset U$ となるものがある。$\{V_x:x\in U\}$ に thm-hl-characterization の 3 を $\kappa=\aleph_0$ で使い、可算個の $V_{x_n}$ で $\bigcup_nV_{x_n}=U$ となるものをとる。$U=\bigcup_n\overline{V_{x_n}}$ である。$\square$

各 $y\ne x$ に、Hausdorff 性から互いに素な開集合 $W_y\ni x$、$V_y\ni y$ をとる。$W_y$ は $V_y$ と交わらない開集合なので $x\notin\overline{V_y}$ である。$\{V_y:y\ne x\}$ は部分空間 $X\setminus\{x\}$ の開被覆なので、濃度 $hL(X)$ 以下の部分集合 $A\subset X\setminus\{x\}$ で $\{V_y:y\in A\}$ が $X\setminus\{x\}$ を覆うものがある。$F_y=X\setminus V_y$ は閉集合で、開集合 $X\setminus\overline{V_y}$ を含み $x$ を含むので、$x$ の閉近傍である。
$$ \bigcap_{y\in A}F_y=X\setminus\bigcup_{y\in A}V_y=\{x\} $$
なので $\mathcal F=\{F_y:y\in A\}$ が求めるものである。また開集合 $X\setminus\overline{V_y}$（$y\in A$）は $x$ を含み、共通部分は $\bigcap F_y=\{x\}$ に含まれるので $\{x\}$ に等しい。よって $\psi(x,X)\le hL(X)$ である。$\square$

2 は 1 と prop-hl-pseudocharacter から従うので、1 を示す。$\kappa=hL(X)\cdot\psi(X)$ とおく。各 $x\in X$ に、$x$ を含む開集合の族 $\mathcal V_x$ で $|\mathcal V_x|\le\kappa$、$\bigcap\mathcal V_x=\{x\}$ となるものを選ぶ。部分集合 $H\subset X$ について $\mathcal V(H)=\bigcup_{x\in H}\mathcal V_x$ とおく。さらに、$X$ を覆わない開集合の族 $\mathcal W$ ごとに、点 $q(\mathcal W)\in X\setminus\bigcup\mathcal W$ を一つ選んでおく。
$X\ne\emptyset$ としてよい。$\alpha<\kappa^+$ に関する超限帰納法で $H_\alpha\subset X$ を定める。$H_0$ は一点集合、極限順序数 $\alpha$ では $H_\alpha=\bigcup_{\beta<\alpha}H_\beta$ とし、
$$ H_{\alpha+1}=H_\alpha\cup\Bigl\{q(\mathcal W):\ \mathcal W\subset\mathcal V(H_\alpha),\ |\mathcal W|\le\kappa,\ \bigcup\mathcal W\ne X\Bigr\} $$
とする。$|H_\alpha|\le2^\kappa$ を帰納法で示す。$|\mathcal V(H_\alpha)|\le2^\kappa\cdot\kappa=2^\kappa$ なので、濃度 $\kappa$ 以下の部分族 $\mathcal W$ は $(2^\kappa)^\kappa=2^\kappa$ 個以下であり、$|H_{\alpha+1}|\le2^\kappa$ となる。極限の段は $2^\kappa$ 以下の集合の $\kappa$ 個以下の和である。$H=\bigcup_{\alpha<\kappa^+}H_\alpha$ とおくと $|H|\le2^\kappa\cdot\kappa^+=2^\kappa$ である。
$H=X$ を示す。$p\in X\setminus H$ があるとする。各 $x\in H$ について $p\ne x$ なので、$p\notin V_x$ となる $V_x\in\mathcal V_x$ がある。$\{V_x:x\in H\}$ は部分空間 $H$ の開被覆であり、$L(H)\le hL(X)\le\kappa$ から、濃度 $\kappa$ 以下の $B\subset H$ で $\{V_x:x\in B\}$ が $H$ を覆うものがある。$B$ の各点はある $H_{\alpha_x}$ に属し、$\kappa^+$ は正則基数なので $\alpha=\sup_{x\in B}\alpha_x<\kappa^+$ であり、$B\subset H_\alpha$ である。$\mathcal W=\{V_x:x\in B\}$ は $\mathcal V(H_\alpha)$ の濃度 $\kappa$ 以下の部分族で、$p\notin\bigcup\mathcal W$ だから $X$ を覆わない。したがって $q(\mathcal W)\in H_{\alpha+1}\subset H$ であり、$q(\mathcal W)\notin\bigcup\mathcal W$ となる。これは $\mathcal W$ が $H$ を覆うことに反する。よって $X=H$ であり、$|X|\le2^\kappa$ である。$\square$