Newtonの恒等式
概要
Newtonの恒等式（Newton's identities）とは、$n$ 変数の冪和 $p_k=x_1^k+\cdots+x_n^k$ と基本対称多項式 $e_k$ を結ぶ等式 $\sum_{j=0}^{k-1}(-1)^je_jp_{k-j}+(-1)^kke_k=0$（$k\ge1$）と、完全対称多項式 $h_k$ についての $kh_k=\sum_{i=1}^kp_ih_{k-i}$ のことであり、整数係数の恒等式なので任意の可換環の上で成り立つ。$k>n$ では冪和の $n$ 項の線形漸化式になり、行列に当てはめると固有多項式の係数と $\mathrm{tr}(A^k)$ を結ぶ等式になる。$n!$ が可逆な環では冪和や跡の列から基本対称式・固有多項式が復元できるが、標数が小さいとこれは崩れる。λ環の Adams 演算や指標の計算、判別式、跡による冪零性の判定に使われる。
Newton の恒等式は、$n$ 個の変数の冪和 $p_k=x_1^k+\cdots+x_n^k$ と基本対称多項式 $e_k$ を結ぶ一連の等式である。$k=1,2,3$ では
$$
p_1=e_1,\qquad p_2=e_1p_1-2e_2,\qquad p_3=e_1p_2-e_2p_1+3e_3
$$
となり、一般の $k$ でも $p_k$ は $p_1,\dots,p_{k-1}$ と $e_1,\dots,e_k$ から一次の漸化式で決まる。等式は整数係数の多項式の等式なので、任意の可換環の上で成り立つ。
この等式は、対称多項式の環の二つの生成系 $\{e_k\}$ と $\{p_k\}$ のあいだの変換規則であり、行列に当てはめると、固有多項式の係数と冪の跡 $\operatorname{tr}(A^k)$ を結ぶ等式になる。$1,2,\dots,n$ が可逆な環では、跡の列から固有多項式が復元できる。
定義と主定理
以下 $R$ を可換環、$n\ge1$ とし、$R[x_1,\dots,x_n]$ の元として、対称多項式 の定義「基本対称多項式・完全対称多項式・冪和」のとおり
$$
e_k=\sum_{i_1< \cdots< i_k}x_{i_1}\cdots x_{i_k},\qquad h_k=\sum_{i_1\le\cdots\le i_k}x_{i_1}\cdots x_{i_k},\qquad p_k=\sum_{i=1}^nx_i^k
$$
を用いる。$e_0=h_0=1$、$k>n$ や $k<0$ では $e_k=0$、$k<0$ では $h_k=0$ と約束する。
任意の可換環 $R$、任意の $n\ge1$、任意の整数 $k\ge1$ に対し、$R[x_1,\dots,x_n]$ で次が成り立つ。
- （基本対称多項式の形）
$$ \sum_{j=0}^{k-1}(-1)^je_j\,p_{k-j}+(-1)^kk\,e_k=0, $$
すなわち $p_k-e_1p_{k-1}+e_2p_{k-2}-\cdots+(-1)^{k-1}e_{k-1}p_1+(-1)^kke_k=0$ である。 - （完全対称多項式の形）
$$ k\,h_k=\sum_{i=1}^kp_i\,h_{k-i}. $$
$k>n$ のときは $e_k=0$ なので、1 は $k-n$ 番目以降の冪和についての $n$ 項の線形漸化式
$$
p_k=e_1p_{k-1}-e_2p_{k-2}+\cdots+(-1)^{n-1}e_np_{k-n}\qquad(k>n)
$$
になる。$k\le n$ では最後の項 $(-1)^kke_k$ が残り、係数 $k$ が現れる。この係数が、後で見る「割り算が要るかどうか」の分かれ目になる。
1 の生成関数による証明は 対称多項式 の定理「Newton の恒等式」にある。ここでは各単項式の係数を直接数える証明を与える。こちらは形式的冪級数を使わず、どの項がどの項と打ち消し合うかが見える。
両辺は整数係数の多項式なので、$R=\mathbb{Z}$ の場合に示せば、係数を $R$ に写す環準同型 $\mathbb{Z}[x_1,\dots,x_n]\to R[x_1,\dots,x_n]$ によって一般の $R$ でも成り立つ。添字の集合 $A\subset\{1,\dots,n\}$ に対し $x_A:=\prod_{a\in A}x_a$（$x_\emptyset=1$）とおく。
1 の証明。 次の条件を満たす組 $(A,i)$ の全体を $T$ とする：$A\subset\{1,\dots,n\}$、$i\in\{1,\dots,n\}$、$|A|\le k$ であり、$|A|=k$ のときは $i\in A$。組 $(A,i)$ の重みを
$$
w(A,i):=(-1)^{|A|}\,x_A\,x_i^{\,k-|A|}
$$
と定める。$|A|=j< k$ の組では $i$ は自由に動けるので、それらの重みの和は $(-1)^j\sum_{|A|=j}x_A\sum_ix_i^{k-j}=(-1)^je_jp_{k-j}$ である。$|A|=k$ の組では $i$ は $A$ の $k$ 個の元を動くので、重みの和は $(-1)^kke_k$ である。したがって $T$ 全体の重みの和は主張の左辺に等しい。
$T$ の写像 $\iota$ を、$i\in A$ なら $\iota(A,i)=(A\setminus\{i\},i)$、$i\notin A$ なら $\iota(A,i)=(A\cup\{i\},i)$ と定める。$\iota$ は $T$ に値をとる。実際、$i\in A$ のとき $|A\setminus\{i\}|< k$ なので条件は空である。$i\notin A$ のとき $(A,i)\in T$ から $|A|< k$ であり、$|A\cup\{i\}|\le k$ かつ $i\in A\cup\{i\}$ である。$\iota\circ\iota=\mathrm{id}$ であり、$\iota$ は $A$ の大きさを $1$ だけ変えるので不動点をもたない。さらに $i\in A$、$|A|=j$ のとき
$$
w(A\setminus\{i\},i)=(-1)^{j-1}x_{A\setminus\{i\}}\,x_i^{\,k-j+1}=-(-1)^jx_A\,x_i^{\,k-j}=-w(A,i)
$$
である。よって $T$ は互いに重みが打ち消し合う 2 元の組 $\{(A,i),\iota(A,i)\}$ に分かれ、重みの総和は $0$ である。
2 の証明。 両辺はともに $k$ 次斉次なので、$k$ 次の単項式 $x^\alpha=x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}$（$\alpha_1+\cdots+\alpha_n=k$）の係数を比べる。左辺の係数は $k$ である（$h_k$ は $k$ 次単項式すべての和）。右辺の $p_ih_{k-i}=\sum_jx_j^i\,h_{k-i}$ を展開すると、$x^\alpha$ は $x_j^i$ と $x^\alpha/x_j^i$ の積として、$\alpha_j\ge i$ を満たす $j$ ごとにちょうど 1 回ずつ現れる（$h_{k-i}$ の各単項式の係数は $1$）。したがって右辺の $x^\alpha$ の係数は
$$
\sum_{i=1}^k\#\{j:\alpha_j\ge i\}=\sum_{j=1}^n\#\{i:1\le i\le\alpha_j\}=\sum_{j=1}^n\alpha_j=k
$$
であり、左辺と一致する。$\square$
$R[x_1,\dots,x_n]$ 上の形式的冪級数環で $E(t)=\prod_i(1+x_it)=\sum_ke_kt^k$、$H(t)=\prod_i(1-x_it)^{-1}=\sum_kh_kt^k$、$P(t)=\sum_{k\ge1}p_kt^k$ とおき、$E'(t)$ などを $t$ についての形式微分とする。このとき
$$
P(t)\,E(-t)=t\,E'(-t),\qquad P(t)\,H(t)=t\,H'(t)
$$
が成り立つ。
$E(-t)=\sum_j(-1)^je_jt^j$、$tE'(-t)=\sum_jj\,e_j(-1)^{j-1}t^j$ なので、第 1 式の $t^k$ の係数を比べた等式は $\sum_{j=0}^{k-1}(-1)^je_jp_{k-j}=(-1)^{k-1}ke_k$ であり、これは thm-nwt-main の 1 そのものである（$t^0$ の係数はともに $0$）。第 2 式の $t^k$ の係数は $\sum_{i=1}^kp_ih_{k-i}=kh_k$ で、thm-nwt-main の 2 である。$\square$
$E(-t)$ は定数項 $1$ をもつので可逆であり、第 1 式は $P(t)=tE'(-t)/E(-t)$、すなわち「冪和の母関数は基本対称多項式の母関数の対数微分」と読める。λ環では、この形を逆に定義として使い、外冪の演算 $\lambda^k$ から冪和に当たる Adams 演算を作る（λ環 の定義「Adams演算の定義」）。
直感
変数 $x_1,\dots,x_n$ を、方程式 $\prod_i(t-x_i)=0$ の根と見る。係数は根の基本対称式 $e_k$ であり（対称多項式 の命題「根と係数の関係」）、Newton の恒等式は「係数だけから根の冪和を順に計算する規則」である。根そのものを求めなくても、$p_1,p_2,\dots$ はすべて係数の整数係数多項式として得られる。
一般に、根の対称多項式はすべて係数（基本対称多項式）の多項式としてただ一通りに書ける。これが 対称多項式 の定理「対称多項式の基本定理」（対称式の基本定理）であり、その証明は先頭の単項式を順に消していく手続きを与える。Newton の恒等式は、冪和という特定の対称多項式について、その手続きを閉じた漸化式にまとめたものである。
逆向きに $p_1,\dots,p_k$ から $e_k$ を求めるには、1 の最後の項 $ke_k$ を $k$ で割る必要がある。$\mathbb{Q}$ を含む環ではこれができ、冪和 $p_1,\dots,p_n$ だけで $e_1,\dots,e_n$ が決まる。したがって基本定理と合わせると、$\mathbb{Q}$ を含む環の上では $p_1,\dots,p_n$ も対称多項式の環を生成する（対称多項式 の系「冪和による生成」）。標数 $p$ の体で $n\ge p$ のときは $k=p$ のところで割り算ができず、冪和は根の情報を失う（反例の節）。thm-nwt-main の証明の打ち消し合いは、隣り合う $e_{j-1}p_{k-j+1}$ と $e_jp_{k-j}$ に同じ単項式が逆の符号で現れることを表している。端の $e_{k-1}p_1$ では、$|A|=k$ の単項式 $x_A$ が「$A$ から 1 つの添字 $i$ を選んで $x_{A\setminus\{i\}}\cdot x_i$ と書く」方法の数、すなわち $k$ 回現れる。これを打ち消すのが $ke_k$ の項であり、係数 $k$ の出どころである。
例
$n=3$ で $x+y+z=2$、$x^2+y^2+z^2=6$、$x^3+y^3+z^3=8$ とする（$\mathbb{Q}$ の元、あるいは $\mathbb{C}$ の元として）。thm-nwt-main の 1 を $k=1,2,3$ で使うと
$$
\begin{align}
e_1&=p_1=2,\\
2e_2&=e_1p_1-p_2=4-6,\quad e_2=-1,\\
3e_3&=p_3-e_1p_2+e_2p_1=8-12-2,\quad e_3=-2
\end{align}
$$
である。$k=4>n$ では漸化式 $p_4=e_1p_3-e_2p_2+e_3p_1=16+6-4=18$ を得る。実際、根と係数の関係から $x,y,z$ は $t^3-2t^2-t+2=(t-2)(t-1)(t+1)$ の根 $2,1,-1$ であり、$2^4+1^4+(-1)^4=18$ と一致する。
thm-nwt-main の 1 を順に $p_k$ について解くと
$$
p_1=e_1,\quad p_2=e_1^2-2e_2,\quad p_3=e_1^3-3e_1e_2+3e_3,\quad p_4=e_1^4-4e_1^2e_2+2e_2^2+4e_1e_3-4e_4
$$
となる（$n\ge4$ の場合。$n< 4$ なら $e_4=0$ などとおく）。$p_4$ は $p_4=e_1p_3-e_2p_2+e_3p_1-4e_4$ に $p_1,p_2,p_3$ を代入して得られる。2 の形からは $h_1=p_1$、$2h_2=p_1^2+p_2$、$3h_3=p_1h_2+p_2h_1+p_3$ が出る。$n=2$、$(x_1,x_2)=(1,2)$ で確かめると、$p_1=3$、$p_2=5$、$h_2=1+2+4=7$ で $2\cdot7=9+5$ である。
行列の跡と固有多項式
$A\in M_n(R)$ の固有多項式を $\chi_A(t):=\det(tI_n-A)=t^n+c_1t^{n-1}+\cdots+c_n\in R[t]$ と書く（特性多項式）。$c_1=-\operatorname{tr}A$、$c_n=(-1)^n\det A$ である。
$R$ を可換環、$A\in M_n(R)$ とし、$j>n$ では $c_j=0$ とおく。任意の $k\ge1$ に対し
$$
\operatorname{tr}(A^k)+c_1\operatorname{tr}(A^{k-1})+\cdots+c_{k-1}\operatorname{tr}(A)+k\,c_k=0
$$
が成り立つ。
普遍的な行列に帰着する。 $S:=\mathbb{Z}[x_{ij}\mid1\le i,j\le n]$ を $n^2$ 変数の多項式環、$X:=(x_{ij})\in M_n(S)$ とする。$A=(a_{ij})$ に対し $x_{ij}\mapsto a_{ij}$ で定まる環準同型 $\varphi\colon S\to R$ を成分ごとに行列に施すと、積を保つので $\varphi(X^k)=A^k$ であり、跡は成分の和、行列式は成分の多項式なので $\varphi(\operatorname{tr}X^k)=\operatorname{tr}A^k$ で、$\chi_X$ の係数は $\chi_A$ の係数に写る。よって $X$ について主張を示せば $A$ についても従う。
固有値で書く。 $S$ は整域なので、商体 $\operatorname{Frac}(S)$ の代数閉包 $K$ に含まれる。$K$ の上で $\chi_X(t)=\prod_{i=1}^n(t-\lambda_i)$（$\lambda_i\in K$）と分解し、三角化 の系「対角成分と固有値」により、正則な $P\in M_n(K)$ で $T:=P^{-1}XP$ が対角成分 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ の上三角行列になるものをとる。上三角行列の積は上三角で、対角成分は対角成分の積になる（三角化 の補題「上三角行列の積と多項式」）ので、$T^k$ の対角成分は $\lambda_i^k$ であり、
$$
\operatorname{tr}(X^k)=\operatorname{tr}(PT^kP^{-1})=\operatorname{tr}(T^k)=\sum_i\lambda_i^k=p_k(\lambda_1,\dots,\lambda_n)
$$
である（跡 の命題「跡の基本性質」の $\operatorname{tr}(PBP^{-1})=\operatorname{tr}B$）。また 対称多項式 の命題「根と係数の関係」により $c_j=(-1)^je_j(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ である。
恒等式を代入する。 $x_i\mapsto\lambda_i$ で定まる環準同型 $\mathbb{Z}[x_1,\dots,x_n]\to K$ を thm-nwt-main の 1 に施すと
$$
\sum_{j=0}^{k-1}(-1)^je_j(\lambda)\,p_{k-j}(\lambda)+(-1)^kk\,e_k(\lambda)=\sum_{j=0}^{k-1}c_j\operatorname{tr}(X^{k-j})+k\,c_k=0
$$
を得る（$c_0=1$）。この等式の各項は $S$ の元であり、$S\subset K$ なので $S$ の中で成り立つ。$\square$
$k>n$ では最後の項が消え、$\sum_{j=0}^nc_j\operatorname{tr}(A^{k-j})=0$ となる。これは Cayley–Hamiltonの定理 $\chi_A(A)=0$ に $A^{k-n}$ を掛けて跡をとった式でもある。$k\le n$ の場合は Cayley–Hamilton の定理からは出ない情報であり、係数 $k$ が現れる。
$R$ で $n!$ が可逆なら、$\chi_A$ の係数は $\operatorname{tr}(A),\operatorname{tr}(A^2),\dots,\operatorname{tr}(A^n)$ の $\mathbb{Z}[1/n!]$ 係数の多項式で、$A$ によらない一つの式で表される。とくに $A,B\in M_n(R)$ が $k=1,\dots,n$ で $\operatorname{tr}(A^k)=\operatorname{tr}(B^k)$ を満たせば $\chi_A=\chi_B$ である。
thm-nwt-trace で $k\le n$ とし、$k$ が可逆なので $c_k=-k^{-1}\sum_{j=0}^{k-1}c_j\operatorname{tr}(A^{k-j})$ と書ける。$k=1,2,\dots,n$ の順に代入していけば、$c_k$ は $\operatorname{tr}(A),\dots,\operatorname{tr}(A^k)$ の多項式で、係数は $1/k!$ の整数倍の範囲にある。この式は thm-nwt-trace だけから決まり $A$ によらない。$\square$
$n=2$ では $c_1=-\operatorname{tr}A$ であり、$2$ が $R$ で可逆なら、$2c_2=-(c_1\operatorname{tr}A+\operatorname{tr}A^2)$ より
$$
\det A=c_2=\tfrac12\bigl((\operatorname{tr}A)^2-\operatorname{tr}(A^2)\bigr)
$$
である。一般の $n$ でも $c_2$ は 2 次の主小行列式の和（特性多項式 の定理「固有多項式の係数と主小行列式」）なので、$\frac12\bigl((\operatorname{tr}A)^2-\operatorname{tr}(A^2)\bigr)$ は 2 次の主小行列式の和に等しい。$A=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}$ では $\operatorname{tr}A=3$、$A^2$ の対角成分は $1,1,1$ なので $\operatorname{tr}A^2=3$、$\frac12(9-3)=3$ である。主小行列式は $\begin{vmatrix}1&2\\0&1\end{vmatrix}=1$、$\begin{vmatrix}1&0\\1&1\end{vmatrix}=1$、$\begin{vmatrix}1&1\\0&1\end{vmatrix}=1$ で、和は $3$ と一致する。
冪零行列 の定理「跡による冪零性の判定」（体 $K$ の標数が $0$ か $n$ より大きいとき、$A$ が冪零 $\iff$ $k=1,\dots,n$ で $\operatorname{tr}(A^k)=0$）は、thm-nwt-trace からも次のように導ける。$\operatorname{tr}(A^k)=0$（$k\le n$）なら $kc_k=0$ で、$k$ は $K$ で $0$ でないので $c_k=0$、よって $\chi_A=t^n$ となり、Cayley–Hamilton の定理から $A^n=O$ である。逆に $A$ が冪零なら $\chi_A=t^n$（冪零行列 の定理「冪零行列の特徴づけ」）なので、thm-nwt-trace を $k=1,2,\dots$ の順に使うと $\operatorname{tr}(A^k)=0$ が帰納的に従う。逆向きでは割り算を使っていない。
行列式による表示
任意の可換環 $R$ と $k\ge1$ に対し、$R[x_1,\dots,x_n]$ で
$$
p_k=\det\begin{pmatrix}
e_1&1&0&\cdots&0\\
2e_2&e_1&1&\cdots&0\\
3e_3&e_2&e_1&\ddots&\vdots\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&1\\
ke_k&e_{k-1}&e_{k-2}&\cdots&e_1
\end{pmatrix}
$$
が成り立つ。ここで右辺の $k$ 次正方行列 $M_k$ の $(i,1)$ 成分は $ie_i$、$j\ge2$ のとき $(i,j)$ 成分は $e_{i-j+1}$ である（$e_0=1$、添字が負なら $0$）。
$D_k:=\det M_k$、$D_0:=1$ とおく。$M_k$ は $(i,i+1)$ 成分が $1$ で、$j>i+1$ の $(i,j)$ 成分が $0$ の行列である。最終行で余因子展開すると、$(k,i)$ 成分に対応する小行列（第 $k$ 行と第 $i$ 列を除いたもの）は、左上が $M_{i-1}$、右下が対角成分 $1$ の下三角行列（$M_k$ の第 $i,\dots,k-1$ 行と第 $i+1,\dots,k$ 列）、右上が $0$ のブロック下三角行列なので、その行列式は $D_{i-1}$ である。よって
$$
D_k=(-1)^{k+1}ke_k+\sum_{i=2}^k(-1)^{k+i}e_{k-i+1}D_{i-1}=\sum_{j=1}^{k-1}(-1)^{j-1}e_jD_{k-j}+(-1)^{k-1}ke_k
$$
である（$j=k-i+1$ とおいた）。一方 thm-nwt-main の 1 は $p_k=\sum_{j=1}^{k-1}(-1)^{j-1}e_jp_{k-j}+(-1)^{k-1}ke_k$ と書ける。$D_k$ と $p_k$ は同じ漸化式を満たし、$D_1=e_1=p_1$ なので、$k$ に関する帰納法で $D_k=p_k$ である。$\square$
$k=2,3$ では $\det\begin{pmatrix}e_1&1\\2e_2&e_1\end{pmatrix}=e_1^2-2e_2$、$\det\begin{pmatrix}e_1&1&0\\2e_2&e_1&1\\3e_3&e_2&e_1\end{pmatrix}=e_1^3-3e_1e_2+3e_3$ で、ex-nwt-small と一致する。この表示は $p_k$ を $e_1,\dots,e_k$ の多項式として一度に書き下すもので、漸化式を順にたどらなくても係数が整数であることが見える。
条件を外した反例
thm-nwt-main そのものは任意の可換環で成り立つ。仮定が効くのは、逆向きに冪和から基本対称式を決める次の主張である：$n!$ が可逆な可換環 $R$ の元 $a_1,\dots,a_n$ と $b_1,\dots,b_n$ が $k=1,\dots,n$ で $p_k(a)=p_k(b)$ を満たせば、すべての $k$ で $e_k(a)=e_k(b)$ であり、$\prod_i(t-a_i)=\prod_i(t-b_i)$ である（cor-nwt-trace-determines と同じく、$ke_k$ を $k$ で割って順に解けばよい）。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $n!$ が $R$ で可逆 | $R=\mathbb{F}_2$、$n=2$、$a=(1,1)$、$b=(0,0)$ | $p_1,p_2$ は一致するが $e_2$ が異なる |
| $k$ を $n$ まで動かす | $R=\mathbb{Q}$、$n=2$、$a=(1,-1)$、$b=(0,0)$、$k=1$ だけ | $p_1$ は一致するが $e_2$ が異なる |
1 行目：$\mathbb{F}_2$ で $p_1(1,1)=1+1=0$、$p_2(1,1)=0$ で、$b=(0,0)$ の値と一致する。一方 $e_2(1,1)=1\ne0=e_2(0,0)$ であり、多項式も $(t-1)^2=t^2+1\ne t^2$ と異なる。thm-nwt-main の 1 で $k=2$ とすると $p_2-e_1p_1+2e_2=0$ であり、$2=0$ なので $e_2$ の情報が式から消えている。行列で言えば、$\mathbb{F}_2$ 上の $I_2$ と零行列 $O$ は $\operatorname{tr}(A^k)$ がすべて $0$ で一致するが、固有多項式が異なり、$I_2$ は冪零でない。
2 行目：$p_1(1,-1)=0=p_1(0,0)$ だが、$e_2(1,-1)=-1\ne0$ である。$p_2(1,-1)=2\ne0$ なので、$k=2$ まで比べれば区別できる。
使われ方
- λ環 と Adams 演算。 cor-nwt-generating の $P(t)=tE'(-t)/E(-t)$ を、外冪の演算 $\lambda^k$ を基本対称式に見立てて定義に使ったものが Adams 演算 $\psi^k$ である。線元 $\ell$ には $\psi^k(\ell)=\ell^k$ と働き、有限群の表現環では指標の上で $\chi(g)\mapsto\chi(g^k)$ と働く（λ環 の命題「Adams演算の基本性質」）。
- 表現の指標。 有限群 $G$ の複素表現 $V$ の指標 $\chi$ について、交代 2 乗 $\operatorname{Alt}^2(V)$ の指標は $\frac12\bigl(\chi(g)^2-\chi(g^2)\bigr)$ である（Ser77 §2.1, Proposition 3, p. 11）。$g$ の作用の固有値を $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ とすれば、これは ex-nwt-matrix の $e_2=\frac12(p_1^2-p_2)$ を固有値に当てはめた式である。
- 判別式。 多項式の根の冪和は係数から Newton の恒等式で計算でき、判別式(多項式) は冪和を並べた行列式 $\det(p_{i+j-2})_{1\le i,j\le n}$（$p_0=n$）としても表される（DF04 §14.6, Exercises 22–27, pp. 618–619 に、Newton の恒等式・跡による冪零性の判定・この行列式表示が演習として並ぶ）。
- 冪零性の判定。 標数 $0$ の体の上で、$k=1,\dots,n$ の跡 $\operatorname{tr}(A^k)$ がすべて $0$ の行列は冪零である（thm-nwt-trace の後の段落）。
関連項目
- 前提: 対称多項式, 多項式環, 可換環, 行列式
- 高校数学版: Newtonの恒等式（高校数学）, 対称式の基本定理（高校数学）
- 比較: 特性多項式, 跡, Cayley–Hamiltonの定理
- 例: 冪零行列, 三角化
- 発展: λ環, Schur多項式, 判別式(多項式), 形式的冪級数
参考文献
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