正則凸包

1：$K\subset\widehat K_X$ は定義から明らかである。$\widehat K_X$ は閉集合 $\{x\in X\mid|f(x)|\le\|f\|_K\}$ の、$f\in\mathcal{O}(X)$ にわたる共通部分なので閉である。2：$\|f\|_K\le\|f\|_L$ による。3：$K\subset\widehat K_X$ から $\ge$、定義から $\le$ が従う。$\widehat K_X$ がコンパクトなら、$x\in\widehat{(\widehat K_X)}_X$ は $|f(x)|\le\|f\|_{\widehat K_X}=\|f\|_K$ を満たすので $x\in\widehat K_X$ であり、逆の包含は 1 による。

4：$C$ を $K$ の閉凸包とする。$K$ は有界なので $C$ も有界閉集合である。$z\notin C$ とし、$c\in C$ を $z$ に最も近い点とする（$C$ はコンパクトなので存在する）。$\mathbb{R}^{2n}$ の内積で $\lambda(w):=\langle w,z-c\rangle$ とおくと、$C$ が凸であることから $w\in C$ で $\langle w-c,z-c\rangle\le0$（$c+t(w-c)$ と $z$ の距離を $t\in[0,1]$ で微分する）、すなわち $\lambda(w)\le\lambda(c)< \lambda(c)+|z-c|^2=\lambda(z)$ である。$\ell(w):=\lambda(w)-i\lambda(iw)$ は複素線形で（$\ell(iw)=\lambda(iw)+i\lambda(w)=i\ell(w)$）$\operatorname{Re}\ell=\lambda$ だから、$f:=e^{\ell}\in\mathcal{O}(X)$ について $|f(z)|=e^{\lambda(z)}>e^{\max_K\lambda}=\|f\|_K$ となり、$z\notin\widehat K_X$ である。

$X$ は局所コンパクト Hausdorff で可算開基をもつので、閉包がコンパクトな開集合 $V_1,V_2,\dots$ からなる開基がある。$L_1:=\overline{V_1}$ とし、$L_j$ を決めたら、$L_j$ を覆う有限個の $V_i$ をとって、$L_j\subset V_1\cup\cdots\cup V_m$ となる $m\ge j+1$ を選び、$L_{j+1}:=\overline{V_1}\cup\cdots\cup\overline{V_m}$ とする。$L_j$ は開集合 $V_1\cup\cdots\cup V_m\subset L_{j+1}$ に含まれ、$V_{j+1}\subset L_{j+1}$ なので $\bigcup_jL_j=X$ である。コンパクト集合 $C$ は増大する開集合 $\operatorname{int}L_j$ で覆われるので、ある $\operatorname{int}L_j$ に含まれる。$p\in X$ は、ある $\operatorname{int}L_m$ に入り、$j\ge m$ なら $x_j\notin L_j\supset L_m$ なので、近傍 $\operatorname{int}L_m$ には $x_1,\dots,x_{m-1}$ しか入らない。

コンパクト性．$\Omega=\mathbb{C}$ なら prop-hch-basic の 1・4 により $\widehat K_\Omega$ は有界閉集合である。$\Omega\ne\mathbb{C}$ とし、$\delta>0$ を $K$ と $\mathbb{C}\setminus\Omega$ の距離とする。$p\notin\Omega$ について $f(z)=\frac{1}{z-p}\in\mathcal{O}(\Omega)$ を使うと、$z\in\widehat K_\Omega$ では $\frac{1}{|z-p|}\le\max_{w\in K}\frac{1}{|w-p|}\le\frac1\delta$、すなわち $|z-p|\ge\delta$ である。よって $\widehat K_\Omega$ の $\mathbb{C}$ での閉包は $\mathbb{C}\setminus\Omega$ と交わらず、$\widehat K_\Omega$ は $\Omega$ で閉なので $\mathbb{C}$ でも閉である。有界でもあるのでコンパクトである。

相対コンパクトな成分は凸包に入る．$O$ を $\Omega\setminus K$ の成分で $\Omega$ で相対コンパクトなものとする。$O$ の境界点 $q$ は $\overline O\subset\Omega$ に属する。$q\notin K$ なら、$q$ を含む $\Omega\setminus K$ の成分は $q$ の開近傍として $O$ と交わるので $O$ に等しく、$O$ は開集合だから $q$ は境界点でなくなる。よって $\partial O\subset K$ である。$f\in\mathcal{O}(\Omega)$ とする。$|f|$ はコンパクト集合 $\overline O$ の上で最大値をとる。開写像定理(複素解析) の系「正則関数の最大値原理」により、最大値を $O$ の点でとるなら $f$ は連結な $O$ の上で定数、したがって $\overline O$ の上で定数である。どちらの場合も最大値は $\partial O$（$O$ は有界なので空でない）でとられ、$z\in O$ では $|f(z)|\le\max_{\partial O}|f|\le\|f\|_K$ となる。

それ以外の点は凸包に入らない．$K_1$ を、$K$ と相対コンパクトな成分すべての和集合とする。前段により $K_1\subset\widehat K_\Omega$ である。$\Omega\setminus K_1$ は残りの成分の和で開集合なので、$K_1$ は $\Omega$ で閉であり、コンパクトな $\widehat K_\Omega$ の閉部分集合としてコンパクトである。$\Omega\setminus K_1$ の成分は、$\Omega\setminus K$ の成分のうち相対コンパクトでないものそのものである。

$z_0\in\Omega\setminus K_1$ とし、$K_2:=K_1\cup\{z_0\}$ とおく。Riemann球面 $\hat{\mathbb{C}}$ の開集合 $\hat{\mathbb{C}}\setminus K_2$ の各成分 $W$ が $\hat{\mathbb{C}}\setminus\Omega$ と交わることを示す。$W\subset\Omega$ と仮定する。$W$ の境界は $K_2$ に含まれるので、$\overline W=W\cup\partial W$ は $\Omega$ に含まれ、$\infty$ を含まないから $\mathbb{C}$ のコンパクト集合である。一方 $W$ は $\Omega\setminus K_1$ のある成分 $O'$ に含まれる。$O'$ から $z_0$ を除いた集合（$z_0\notin O'$ なら $O'$ 自身）は、連結な開集合から 1 点を除いたものなので連結であり、$\hat{\mathbb{C}}\setminus K_2$ に含まれて $W$ と交わるから $W$ に含まれる。その閉包は $O'$ の閉包に等しく、$O'$ は相対コンパクトでないので、$\overline W\subset\Omega$ がコンパクトであることに反する。

$K_1$ と $z_0$ の交わらない開近傍 $U_1,U_2$ をとり、$U_1$ の上で $0$、$U_2$ の上で $1$ となる関数 $g$ を考える。$g$ は $U_1\cup U_2$ の上で正則である。Rungeの定理 の定理「Runge の定理（コンパクト集合）」を $S=\hat{\mathbb{C}}\setminus\Omega$ として使うと、極がすべて $\hat{\mathbb{C}}\setminus\Omega$ にある有理関数 $R$ で、$K_2$ の上で $|R-g|< \frac13$ となるものがある。$R\in\mathcal{O}(\Omega)$ であり、$\|R\|_K< \frac13< \frac23<|R(z_0)|$ だから $z_0\notin\widehat K_\Omega$ である。$\square$