Dolbeault–Grothendieckの補題
概要
Dolbeault–Grothendieckの補題（Dolbeault–Grothendieck lemma）とは、$\mathbb C^n$ の多重円板の上の $\bar\partial$ 閉な $(p,q)$ 形式（$q\ge1$）は、閉包がコンパクトに含まれる多重円板の上で $\bar\partial$ 完全である、という Poincaré の補題の $\bar\partial$ 版である。1 変数の方程式 $\partial u/\partial\bar z=g$ を Cauchy 変換で解き、$d\bar z_j$ の添字について帰納法を行うと示される。増大列の上の解をつなぐと多重円板全体（$\mathbb C^n$ を含む）で解ける。帰結として、複素多様体の上で滑らかな $(p,q)$ 形式の層が正則 $p$ 形式の層の分解を与え、Dolbeault の定理の要になる。
前提知識: Dolbeaultコホモロジー, Cauchy–Pompeiuの積分公式, 多重円板, 多変数正則関数
Dolbeault–Grothendieck の補題（Dolbeault–Grothendieck lemma）とは、$\mathbb C^n$ の多重円板の上の $\bar\partial$ 閉な $(p,q)$ 形式（$q\ge1$）は、閉包がコンパクトでその多重円板に含まれる多重円板の上で $\bar\partial$ 完全である、という主張である。もとの多重円板全体の上でも $\bar\partial$ 完全であることが、この補題から導かれる。実の微分形式についての Poincaréの補題（星型の開集合の上で閉形式は完全形式である）の、$\bar\partial$ 作用素についての類似であり、$\bar\partial$ Poincaré の補題とも呼ばれる。
方程式 $\bar\partial\beta=\alpha$ は、1 変数では非斉次の Cauchy–Riemann 方程式 $\partial u/\partial\bar z=g$ であり、Cauchy 核との畳み込みで解ける（Cauchy–Pompeiuの積分公式）。多変数では、$\alpha$ に現れる $d\bar z_j$ の添字を大きいほうから 1 つずつ消していく帰納法で、1 変数の解法に帰着させる。この記事では次の 3 つを証明する。
- 多重円板 $\Delta$ の上の $\bar\partial$ 閉形式は、閉包がコンパクトで $\Delta$ に含まれる多重円板の上で $\bar\partial$ 完全である（thm-dgl-local）。
- さらに $\Delta$ 全体の上で $\bar\partial$ 完全である。すなわち $H^{p,q}_{\bar\partial}(\Delta)=0$（$q\ge1$）である（thm-dgl-polydisc）。半径は $\infty$ でもよいので、$\mathbb C^n$ 全体も含む。
- 任意の複素多様体の上で、滑らかな $(p,q)$ 形式の層は正則 $p$ 形式の層の分解を与える（cor-dgl-resolution）。これが Dolbeaultの定理 の証明の要である。
定義と記号
$n\ge1$ とし、$\mathbb C^n$ の座標を $z=(z_1,\dots,z_n)$、$z_j=x_j+iy_j$ と書く。$r=(r_1,\dots,r_n)$、$0< r_j\le\infty$ に対し、原点を中心とする多重円板を
$$
\Delta(r):=\{z\in\mathbb C^n\mid|z_j|< r_j\ (1\le j\le n)\}
$$
と書く（多重円板 の定義「多重円板」。$r_j=\infty$ の因子は $\mathbb C$ 全体）。$\rho=(\rho_1,\dots,\rho_n)$ の成分がすべて有限で、すべての $j$ について $\rho_j< r_j$ のとき、閉包 $\overline{\Delta(\rho)}$ はコンパクトで $\Delta(r)$ に含まれる。このことを $\Delta(\rho)\Subset\Delta(r)$ と書く。
型 $(p,q)$ の微分形式と作用素 $\bar\partial$ は Dolbeaultコホモロジー の定義「型 $(p,q)$ の微分形式と $\bar\partial$ 作用素」のとおりとし、開集合 $U$ の上の滑らかな $(p,q)$ 形式の空間を $\mathcal A^{p,q}(U)$ と書く（$\mathcal A^{p,-1}(U):=0$）。
$U\subset\mathbb C^n$ を開集合とし、$\alpha\in\mathcal A^{p,q}(U)$ を
$$
\alpha=\sum_{|I|=p,\ |J|=q}f_{IJ}\,dz_I\wedge d\bar z_J
$$
と書く（$I,J$ は添字の増加列、$f_{IJ}$ は $C^\infty$ 級関数）。係数ごとの偏微分を $\partial_{\bar z_j}\alpha:=\sum_{I,J}(\partial f_{IJ}/\partial\bar z_j)\,dz_I\wedge d\bar z_J$ と書くと
$$
\bar\partial\alpha=\sum_{j=1}^nd\bar z_j\wedge\partial_{\bar z_j}\alpha
$$
である。$\bar\partial\alpha=0$ のとき $\alpha$ は $\bar\partial$ 閉であるといい、$\alpha=\bar\partial\beta$ となる $\beta\in\mathcal A^{p,q-1}(U)$ があるとき $\bar\partial$ 完全であるという。
$\bar\partial\circ\bar\partial=0$ なので $\bar\partial$ 完全な形式は $\bar\partial$ 閉である。逆が成り立つかどうかのずれを測るのが Dolbeault コホモロジー $H^{p,q}_{\bar\partial}(U)$（Dolbeaultコホモロジー の定義「Dolbeault コホモロジー群」）である。$q=0$ では $\bar\partial$ 完全な $(p,0)$ 形式は $0$ だけであり、$\bar\partial$ 閉な $(p,0)$ 形式は係数が正則な形式、すなわち正則 $p$ 形式である（同記事の定義「型 $(p,q)$ の微分形式と $\bar\partial$ 作用素」の後の議論）。以下で $q\ge1$ を仮定するのはこのためである。
1 変数の方程式とパラメータ
$n=1$ では、$(0,1)$ 形式 $g\,d\bar z$ について方程式 $\bar\partial u=g\,d\bar z$ は $\partial u/\partial\bar z=g$ である。台がコンパクトな $C^\infty$ 級関数 $g\colon\mathbb C\to\mathbb C$ に対しては、Cauchy 変換
$$
(Tg)(\zeta):=-\frac1\pi\iint_{\mathbb C}\frac{g(w)}{w-\zeta}\,dA(w)\qquad(dA\text{ は Lebesgue 測度})
$$
が $\mathbb C$ 上の $C^\infty$ 級の解である（Cauchy–Pompeiuの積分公式 の定理「$\bar\partial$ 方程式の解の公式」の 1）。多変数の帰納法では、ほかの変数をパラメータとしてこの解を使う。
$\Delta(r)\subset\mathbb C^n$ を多重円板、$1\le k\le n$ とし、$\rho_k$ を $0<\rho_k< r_k$ をみたす有限の数とする。$g$ を $\Delta(r)$ 上の $C^\infty$ 級関数で、$j>k$ について $\Delta(r)$ 上 $\partial g/\partial\bar z_j=0$ をみたすものとする。このとき $\Delta(r)$ 上の $C^\infty$ 級関数 $G$ で、次の 2 つをみたすものがある。
- $j>k$ について、$\Delta(r)$ 上で $\partial G/\partial\bar z_j=0$ である。
- $\{z\in\Delta(r)\mid|z_k|<\rho_k\}$ の上で $\partial G/\partial\bar z_k=g$ である。
要点：$z_k$ の方向に切り落とし関数 $\chi$（$\{|w|\le\rho_k\}$ の近くで $1$、台は $\{|w|< r_k\}$ の中のコンパクト集合）を掛け、$z_k$ についての Cauchy 変換
$$
G(z):=-\frac1\pi\iint_{\mathbb C}\frac{\chi(w)\,g(z[w])}{w-z_k}\,dA(w)
$$
をとる。ここで $z[w]$ は $z$ の第 $k$ 座標を $w$ に替えた点で、被積分関数は $|w|\ge r_k$ では $0$ とする。$\bar z_k$ で微分すると Cauchy–Pompeiuの積分公式 の定理「$\bar\partial$ 方程式の解の公式」により $\chi g$ に戻り、$\bar z_j$（$j>k$）で微分すると積分の中に $\partial g/\partial\bar z_j=0$ が現れて $0$ になる。
詳しい証明を開く
隆起関数 の定理「コンパクト集合に対する隆起関数」により、$\mathbb C$ 上の $C^\infty$ 級関数 $\chi$ で、台がコンパクトで円板 $\{|w|< r_k\}$ に含まれ、閉円板 $\{|w|\le\rho_k\}$ のある開近傍の上で $\chi\equiv1$ となるものをとる。$z\in\Delta(r)$ と $|w|< r_k$ に対し、$z$ の第 $k$ 座標を $w$ に替えた点を $z[w]\in\Delta(r)$ と書き、$$\psi(z,w):=\chi(w)\,g(z[w])\quad(|w|< r_k),\qquad\psi(z,w):=0\quad(|w|\ge r_k)$$とおく。$\chi$ の台は $\{|w|< r_k\}$ の中のコンパクト集合なので、$\psi$ は $\Delta(r)\times\mathbb C$ 上の $C^\infty$ 級関数で、$w$ についての台は $z$ によらないコンパクト集合 $\operatorname{supp}\chi$ に含まれる。また $\psi(z,w)$ は $z_k$ によらない。$$G(z):=-\frac1\pi\iint_{\mathbb C}\frac{\psi(z,w)}{w-z_k}\,dA(w)=-\frac1\pi\iint_{\mathbb C}\frac{\psi(z,z_k+\zeta)}{\zeta}\,dA(\zeta)\qquad(z\in\Delta(r))$$とおく。
滑らかさ． $z$ が $\Delta(r)$ のコンパクト部分集合 $K$ を動くとき、右側の積分の被積分関数は、$\zeta$ について一定のコンパクト集合の外で $0$ であり（$|\zeta|\le\max_{w\in\operatorname{supp}\chi}|w|+\max_{z\in K}|z_k|$）、$\psi$ の各階の偏導関数は $K\times\operatorname{supp}\chi$ の上で有界である。$1/|\zeta|$ は局所可積分なので、優収束定理 により積分記号の下で何回でも微分でき、$G$ は $C^\infty$ 級である。
1． $j\ne k$ のとき、左側の積分の核 $1/(w-z_k)$ は $z_j$ によらないので、同じ評価のもとで積分記号の下で微分して$$\frac{\partial G}{\partial\bar z_j}(z)=-\frac1\pi\iint_{\mathbb C}\frac{\chi(w)\,(\partial g/\partial\bar z_j)(z[w])}{w-z_k}\,dA(w)$$を得る。$j>k$ なら被積分関数は $0$ なので、$\partial G/\partial\bar z_j=0$ である。
2． $z_k$ 以外の座標を止め、$\psi_0(w):=\psi(z,w)$ とおく（$z_k$ によらない）。$\psi_0$ は台がコンパクトな $C^\infty$ 級関数で、$z_k\mapsto G(z)$ はその Cauchy 変換 $T\psi_0$ である。Cauchy–Pompeiuの積分公式 の定理「$\bar\partial$ 方程式の解の公式」の 1 により $\partial G/\partial\bar z_k=\psi_0(z_k)=\chi(z_k)\,g(z)$ であり、$|z_k|<\rho_k$ では $\chi(z_k)=1$ なので $\partial G/\partial\bar z_k=g(z)$ である。$\square$
$\partial G/\partial\bar z_k=g$ は $\chi=1$ の所でしか成り立たないので、帰納法の各段で第 $k$ 座標の方向だけを少し縮める。補題の 1、すなわち「右辺が $z_{k+1},\dots,z_n$ について正則なら解もそうである」ことが帰納法を回す。
少し小さい多重円板の上での可解性
$\Delta(r)\subset\mathbb C^n$ を多重円板（$0< r_j\le\infty$）、$\Delta(\rho)\Subset\Delta(r)$、$q\ge1$ とする。$\Delta(r)$ 上の $\bar\partial$ 閉な $(p,q)$ 形式 $\alpha$ に対し、$\Delta(\rho)$ 上の $(p,q-1)$ 形式 $\beta$ で、$\Delta(\rho)$ 上 $\bar\partial\beta=\alpha$ となるものがある。
$p=0$ への帰着．$\alpha=\sum_{|I|=p}dz_I\wedge\alpha_I$（$\alpha_I$ は $(0,q)$ 形式）と書く。$dz_I$ の係数は定数なので $\bar\partial(dz_I\wedge\alpha_I)=(-1)^pdz_I\wedge\bar\partial\alpha_I$ であり、$I$ が違えば $dz_I\wedge(\cdot)$ の項は違う基底元の組み合わせになる。よって $\bar\partial\alpha=0$ から各 $I$ について $\bar\partial\alpha_I=0$ である。各 $\alpha_I$ について $\Delta(\rho)$ 上で $\alpha_I=\bar\partial\beta_I$ となる $\beta_I$ があれば、$\beta:=(-1)^p\sum_Idz_I\wedge\beta_I$ が $\bar\partial\beta=\sum_Idz_I\wedge\bar\partial\beta_I=\alpha$ をみたす。したがって $p=0$ の場合を示せばよい。
帰納法の主張．多重円板 $\Delta(s)$ と $0\le k\le n$ に対し、$\Delta(s)_{\rho,k}:=\{z\in\Delta(s)\mid|z_j|<\rho_j\ (1\le j\le k)\}$ とおく（$\Delta(s)$ の第 $1$〜第 $k$ 座標の半径を $\rho_j$ に縮めた多重円板）。$0\le k\le n$ について、次の主張 $(P_k)$ を $k$ についての帰納法で示す。
$(P_k)$：多重円板 $\Delta(s)$ が $j\le k$ について $\rho_j< s_j$ をみたすとする。$\Delta(s)$ 上の $\bar\partial$ 閉な $(0,q)$ 形式 $\alpha$ で、$d\bar z_1,\dots,d\bar z_k$ だけを含むもの（$\alpha=\sum_{J\subset\{1,\dots,k\}}f_J\,d\bar z_J$）に対し、$\Delta(s)_{\rho,k}$ 上で $\bar\partial\beta=\alpha$ となる $(0,q-1)$ 形式 $\beta$ がある。
$\Delta(r)$ に $(P_n)$ を当てると $\Delta(r)_{\rho,n}=\Delta(\rho)$ なので、これが定理の主張である。$k=0$ のとき、$q\ge1$ なので $d\bar z$ を含まない $(0,q)$ 形式は $0$ だけであり、$\beta=0$ でよい。
帰納法の段．$k\ge1$ とし、$(P_{k-1})$ を仮定する。$\alpha$ を
$$ \alpha=d\bar z_k\wedge\gamma+\eta,\qquad\gamma=\sum_{J}\gamma_J\,d\bar z_J\ \ (J\subset\{1,\dots,k-1\},\ |J|=q-1) $$
と分ける。ここで $\eta$ も $d\bar z_1,\dots,d\bar z_{k-1}$ だけを含む。
まず、$\alpha$ の係数（したがって $\gamma_J$ と $\eta$ の係数）は $z_{k+1},\dots,z_n$ について正則である。実際、def-dgl-closed-exact の式 $\bar\partial\alpha=\sum_jd\bar z_j\wedge\partial_{\bar z_j}\alpha$ のうち $j>k$ の項 $d\bar z_j\wedge\partial_{\bar z_j}\alpha$ は、$\partial_{\bar z_j}\alpha$ が $d\bar z_1,\dots,d\bar z_k$ だけを含むので、$k$ より大きい添字として $j$ だけを含む基底元 $d\bar z_{\{j\}\cup J}$（$J\subset\{1,\dots,k\}$）の組み合わせである。$j\le k$ の項は $k$ より大きい添字を含まない。よって $\bar\partial\alpha=0$ から各 $j>k$ について $d\bar z_j\wedge\partial_{\bar z_j}\alpha=0$ であり、$\partial_{\bar z_j}\alpha$ は $d\bar z_j$ を含まないので $\partial_{\bar z_j}\alpha=0$ である。
lem-dgl-parameter を $\Delta(s)$、$\rho_k$、各 $\gamma_J$ に当てると、$\Delta(s)$ 上の $C^\infty$ 級関数 $G_J$ で、$j>k$ について $\partial G_J/\partial\bar z_j=0$、かつ $\Delta':=\{z\in\Delta(s)\mid|z_k|<\rho_k\}$ の上で $\partial G_J/\partial\bar z_k=\gamma_J$ となるものがある。$G:=\sum_JG_J\,d\bar z_J$ とおくと、$\Delta'$ の上で
$$ \bar\partial G=\sum_J\sum_{j=1}^n\frac{\partial G_J}{\partial\bar z_j}\,d\bar z_j\wedge d\bar z_J=d\bar z_k\wedge\gamma+\sum_J\sum_{j< k}\frac{\partial G_J}{\partial\bar z_j}\,d\bar z_j\wedge d\bar z_J $$
である（$j>k$ の項は $0$ で、$j=k$ の項が $d\bar z_k\wedge\gamma$）。したがって $\alpha':=\alpha-\bar\partial G$ は $\Delta'$ 上の $(0,q)$ 形式で、$\bar\partial\alpha'=\bar\partial\alpha-\bar\partial^2G=0$ をみたし、$d\bar z_1,\dots,d\bar z_{k-1}$ だけを含む。
$\Delta'$ は $\Delta(s)$ の第 $k$ 座標の半径を $\rho_k$ に替えた多重円板で、$j\le k-1$ についての半径は $s_j>\rho_j$ のままである。$(P_{k-1})$ を $\Delta'$ と $\alpha'$ に当てると、$\Delta'_{\rho,k-1}=\Delta(s)_{\rho,k}$ の上で $\bar\partial\beta'=\alpha'$ となる $\beta'$ がある。$\beta:=G+\beta'$ とおけば、$\Delta(s)_{\rho,k}$ 上で $\bar\partial\beta=\bar\partial G+\alpha'=\alpha$ である。これで $(P_k)$ が示された。$\square$
閉包がコンパクトで $\Delta(r)$ に含まれる開集合は、ある $\Delta(\rho)\Subset\Delta(r)$ に含まれるので、その上でも解ける。有界な多重円板についてのこの形の主張と、同じ帰納法による証明が Hor90 Theorem 2.3.3（pp. 32–33）にある。Dem12 Ch. I (3.29)（p. 28）は、原点の近傍の上で解ける形を Bochner–Martinelli 核を使って証明している。Wel08 Ch. II Example 2.12（pp. 48–49）は、少し小さい多重円板の上で解けるこの形を、$\bar\partial$ 作用素についての Poincaré の補題の Grothendieck による版と呼んでいる。
多重円板全体での可解性
thm-dgl-local の解は少し小さい多重円板の上でしか得られない。多重円板の増大列の上の解をつなぐと、$\Delta(r)$ 全体の上の解が得られる。
$\Delta=\Delta(r)\subset\mathbb C^n$ を多重円板（$0< r_j\le\infty$）、$q\ge1$ とする。$\Delta$ 上の $\bar\partial$ 閉な $(p,q)$ 形式 $\alpha$ に対し、$\Delta$ 上の $(p,q-1)$ 形式 $\beta$ で $\bar\partial\beta=\alpha$ となるものがある。すなわち $H^{p,q}_{\bar\partial}(\Delta)=0$（$q\ge1$）であり、とくに $H^{p,q}_{\bar\partial}(\mathbb C^n)=0$（$q\ge1$）である。
要点：$\Delta$ を多重円板の増大列 $\Delta_1\Subset\Delta_2\Subset\cdots$ で尽くし、thm-dgl-local で得た各 $\Delta_m$ の上の解を順に修正して、隣り合う解が 1 つ小さい多重円板の上で一致する（$q\ge2$）か、差が一様に小さい正則形式になる（$q=1$）ようにしてから極限をとる。$q\ge2$ では、隣り合う解の差が次数 $q-1\ge1$ の $\bar\partial$ 閉形式なので、もう一度 thm-dgl-local で $\bar\partial\sigma$ と書き、切り落とし関数を掛けた $\bar\partial(\chi\sigma)$ を引く。$q=1$ では差が正則な形式で、もう $\bar\partial$ では消せないので、Taylor 展開を打ち切った多項式で近似して引き、修正の和を一様収束させる。
詳しい証明を開く
多重円板の列．$m\ge1$ と $1\le j\le n$ について、$r_j<\infty$ なら $\rho_j^{(m)}:=r_j\bigl(1-\frac1{m+1}\bigr)$、$r_j=\infty$ なら $\rho_j^{(m)}:=m$ とおき、$\Delta_m:=\Delta(\rho^{(m)})$ とする。$\rho_j^{(m)}<\rho_j^{(m+1)}$ なので $\Delta_m\Subset\Delta_{m+1}\Subset\Delta$ であり、$\bigcup_m\Delta_m=\Delta$ である。thm-dgl-local により、各 $m$ について $\Delta_m$ 上の $(p,q-1)$ 形式 $\gamma_m$ で $\Delta_m$ 上 $\bar\partial\gamma_m=\alpha$ となるものがある。
解の修正．$\Delta_m$ 上で $\bar\partial\beta_m=\alpha$ となる $(p,q-1)$ 形式 $\beta_m$ を、$m$ について帰納的に作る。$\beta_1:=\gamma_1$、$\beta_2:=\gamma_2$ とする。$m\ge2$ とし $\beta_m$ ができたとして、$\Delta_m$ 上の $(p,q-1)$ 形式 $\kappa:=\gamma_{m+1}-\beta_m$ を考える。$\bar\partial\kappa=\alpha-\alpha=0$ である。
$q\ge2$ のとき：半径を $\rho^{(m-1)}$ と $\rho^{(m)}$ の中点にした多重円板 $\Delta'$ をとると $\Delta_{m-1}\Subset\Delta'\Subset\Delta_m$ である。$\kappa$ は次数 $q-1\ge1$ の $\bar\partial$ 閉形式なので、thm-dgl-local により $\Delta'$ 上の $(p,q-2)$ 形式 $\sigma$ で $\Delta'$ 上 $\bar\partial\sigma=\kappa$ となるものがある。隆起関数 の定理「コンパクト集合に対する隆起関数」により、$C^\infty$ 級関数 $\chi\colon\mathbb C^n\to[0,1]$ で、$\overline{\Delta_{m-1}}$ のある開近傍の上で $\chi\equiv1$、台がコンパクトで $\Delta'$ に含まれるものをとる。$\chi\sigma$ を $\Delta'$ の外で $0$ と定めると $\mathbb C^n$ 上の滑らかな形式である。$\beta_{m+1}:=\gamma_{m+1}-\bar\partial(\chi\sigma)$ とおくと、$\Delta_{m+1}$ 上 $\bar\partial\beta_{m+1}=\alpha$ であり、$\Delta_{m-1}$ の上では $\bar\partial(\chi\sigma)=\bar\partial\sigma=\kappa$ なので $\beta_{m+1}=\beta_m$ である。
$q=1$ のとき：$\kappa=\sum_I\kappa_I\,dz_I$ は $\bar\partial$ 閉な $(p,0)$ 形式なので、係数 $\kappa_I$ は $\Delta_m$ 上で正則である。多重円板 の定理「冪級数展開」により、$\kappa_I$ の原点での Taylor 級数はコンパクト集合 $\overline{\Delta_{m-1}}\subset\Delta_m$ の上で一様に $\kappa_I$ に収束するので、それを打ち切った多項式 $P_I$ で $\sup_{\Delta_{m-1}}|\kappa_I-P_I|\le2^{-m}$ となるものがある。$P:=\sum_IP_I\,dz_I$ は $\mathbb C^n$ 上の正則 $p$ 形式で $\bar\partial P=0$ である。$\beta_{m+1}:=\gamma_{m+1}-P$ とおくと、$\Delta_{m+1}$ 上 $\bar\partial\beta_{m+1}=\alpha$ であり、$\Delta_m$ 上で $\beta_{m+1}-\beta_m=\kappa-P$ は正則 $p$ 形式で、その係数の絶対値は $\Delta_{m-1}$ の上で $2^{-m}$ 以下である。
極限．$k\ge1$ を固定する。$m\ge k+1$ なら $\Delta_k\subset\Delta_{m-1}$ である。
$q\ge2$ のとき：$\Delta_k$ の上で $\beta_{k+1}=\beta_{k+2}=\cdots$ なので、$\Delta_k$ 上で $\beta:=\beta_{k+1}$ と定めると、$k$ によらずに $\Delta$ 上の滑らかな形式が定まり、$\bar\partial\beta=\alpha$ である。
$q=1$ のとき：$\Delta_k$ の上で、級数 $h^{(k)}:=\sum_{l\ge k+1}(\beta_{l+1}-\beta_l)$ の各項は正則 $p$ 形式で、係数の絶対値は $2^{-l}$ 以下である。よって係数ごとに一様に収束し、多変数正則関数 の定理「局所一様極限」により $h^{(k)}$ は $\Delta_k$ 上の正則 $p$ 形式である。$\Delta_k$ 上で $\beta_m=\beta_{k+1}+\sum_{l=k+1}^{m-1}(\beta_{l+1}-\beta_l)$ なので、$m\to\infty$ で $\beta_m$ は $\Delta_k$ の各点で $\beta_{k+1}+h^{(k)}$ に収束する。この各点での極限 $\beta$ は $k$ によらずに $\Delta$ 上で定まり、$\Delta_k$ の上で $\beta=\beta_{k+1}+h^{(k)}$ は滑らかで、$\bar\partial\beta=\bar\partial\beta_{k+1}+\bar\partial h^{(k)}=\alpha$ である。
$k$ は任意なので、$\Delta$ 上で $\bar\partial\beta=\alpha$ である。$\square$
$q=1$ で近似により修正してから足し合わせる手順は、主要部を指定した有理型関数を作る Mittag-Lefflerの定理 の証明と同じ型である。$n=1$ では、円板を任意の開集合 $U\subset\mathbb C$ に替えても、Taylor 展開の打ち切りの代わりに Rungeの定理 による有理関数の近似を使って同じく $\partial u/\partial\bar z=g$ が $U$ 全体で解ける（Hor90 Theorem 1.4.4、p. 12。この記事では証明しない）。Hor90 p. 34 も、多重円板全体での解がこの議論で得られることを注意している。
複素多様体の上の Dolbeault 分解
thm-dgl-local は局所的な主張なので、正則座標を通して任意の複素多様体の上で使える。
$X$ を複素次元 $n$ の複素多様体とし、$\mathcal A^{p,q}_X$ を滑らかな $(p,q)$ 形式の層、$\Omega^p_X$ を正則 $p$ 形式の層とする。任意の $p\ge0$ について、層の列
$$
0\to\Omega^p_X\to\mathcal A^{p,0}_X\xrightarrow{\bar\partial}\mathcal A^{p,1}_X\xrightarrow{\bar\partial}\cdots\xrightarrow{\bar\partial}\mathcal A^{p,n}_X\to0
$$
は完全である。
層の列の完全性は茎で調べればよい。$\mathcal A^{p,0}_X$ での完全性は、$\bar\partial$ 閉な $(p,0)$ 形式が正則 $p$ 形式であること、すなわち $\Omega^p_X=\ker(\bar\partial\colon\mathcal A^{p,0}_X\to\mathcal A^{p,1}_X)$ である（def-dgl-closed-exact の後の段落）。$q\ge1$ とし、点 $x$ での $\bar\partial$ 閉な $(p,q)$ 形式の芽をとる。$x$ を原点とする正則座標で、芽の代表 $\alpha$ はある多重円板 $\Delta(r)$ の上で定義され $\bar\partial$ 閉である。$\bar\partial$ は正則な座標変換と可換なので、thm-dgl-local により、より小さい $\Delta(\rho)\Subset\Delta(r)$ の上で $\alpha=\bar\partial\beta$ となり、芽として $\alpha$ は $\bar\partial$ 完全である。$\square$
$X$ が Hausdorff で第 2 可算公理をみたすとき、各 $\mathcal A^{p,q}_X$ は滑らかな関数の層の上の加群の層なので細層であり（細層 の命題「滑らかな関数の層の加群は細層」）、高次の層コホモロジーをもたない。よって cor-dgl-resolution は $\Omega^p_X$ の非輪状分解であり、大域切断をとると Dolbeault 同型 $H^{p,q}_{\bar\partial}(X)\cong H^q(X,\Omega^p_X)$ が得られる。これが Dolbeaultの定理 である。層の完全性に要るのは thm-dgl-local の局所的な形だけで、thm-dgl-polydisc は要らない。
例
$\Delta(r)\subset\mathbb C^n$ 上の $(0,n)$ 形式 $\alpha=g\,d\bar z_1\wedge\cdots\wedge d\bar z_n$ は、$(0,n+1)$ 形式が $0$ しかないので必ず $\bar\partial$ 閉である。thm-dgl-local の証明の帰納法では $k=n$ の段だけで終わる。実際、$d\bar z_1\wedge\cdots\wedge d\bar z_n=(-1)^{n-1}d\bar z_n\wedge d\bar z_1\wedge\cdots\wedge d\bar z_{n-1}$ なので、$0<\rho_n< r_n$ をとり、$\{z\in\Delta(r)\mid|z_n|<\rho_n\}$ の上で $\partial G_0/\partial\bar z_n=g$ となる $G_0$（lem-dgl-parameter の $k=n$ の場合で、条件 1 は空）をとり
$$
\beta:=(-1)^{n-1}G_0\,d\bar z_1\wedge\cdots\wedge d\bar z_{n-1}
$$
とおくと、$\bar\partial\beta$ では $d\bar z_n$ の項だけが残り $\bar\partial\beta=\alpha$ である。たとえば $n=2$、$g=1$ では $G_0=\bar z_2$ がとれ、$\beta=-\bar z_2\,d\bar z_1$ について $\bar\partial\beta=-d\bar z_2\wedge d\bar z_1=d\bar z_1\wedge d\bar z_2$ である。
$\mathbb C^2$ 上の $(0,1)$ 形式
$$
\alpha=(\bar z_2+z_1\bar z_1)\,d\bar z_1+\bar z_1\,d\bar z_2
$$
は、$\bar\partial\alpha=\frac{\partial(\bar z_2+z_1\bar z_1)}{\partial\bar z_2}\,d\bar z_2\wedge d\bar z_1+\frac{\partial\bar z_1}{\partial\bar z_1}\,d\bar z_1\wedge d\bar z_2=(-1+1)\,d\bar z_1\wedge d\bar z_2=0$ をみたす。帰納法に沿って解く。
- $k=2$ の段：$d\bar z_2$ の係数 $\gamma=\bar z_1$ について $\partial G/\partial\bar z_2=\bar z_1$ を解き、$G=\bar z_1\bar z_2$ をとる。$\bar\partial G=\bar z_2\,d\bar z_1+\bar z_1\,d\bar z_2$ なので、$\alpha':=\alpha-\bar\partial G=z_1\bar z_1\,d\bar z_1$ は $d\bar z_1$ だけを含み、係数は $z_2$ によらない。
- $k=1$ の段：$\partial H/\partial\bar z_1=z_1\bar z_1$ を解き、$H=\frac12z_1\bar z_1^2$ をとる。
$\beta:=G+H=\bar z_1\bar z_2+\frac12z_1\bar z_1^2$ は $\bar\partial\beta=(\bar z_2+z_1\bar z_1)\,d\bar z_1+\bar z_1\,d\bar z_2=\alpha$ をみたす。係数が $z,\bar z$ の多項式なので $\bar z_k$ についての不定積分で解けたが、一般の $C^\infty$ 級の係数では lem-dgl-parameter の Cauchy 変換を使う。解は一意でなく、$\mathbb C^2$ 上の任意の正則関数 $h$ について $\beta+h$ も解である。
反例と注意
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $\alpha$ が $\bar\partial$ 閉 | $\mathbb C^2$ 上の $(0,1)$ 形式 $\bar z_1\,d\bar z_2$ | $\bar\partial\beta=\alpha$ となる $\beta$ がある |
| $q\ge1$ | 多重円板上の定数関数 $1$（$q=0$） | $\bar\partial$ 閉なら $\bar\partial$ 完全 |
| 定義域が多重円板 | $\mathbb C^2\setminus\{0\}$ 上の $(0,1)$ 形式 $\dfrac{\bar z_1\,d\bar z_2-\bar z_2\,d\bar z_1}{(\lvert z_1\rvert^2+\lvert z_2\rvert^2)^2}$ | 定義域全体で $\bar\partial$ 閉なら $\bar\partial$ 完全 |
1 行目：$\bar\partial(\bar z_1\,d\bar z_2)=d\bar z_1\wedge d\bar z_2\ne0$ である。$\alpha=\bar\partial\beta$ なら $\bar\partial\alpha=\bar\partial^2\beta=0$ なので、$\bar\partial$ 閉であることは解があるための必要条件である。2 行目：$\bar\partial1=0$ だが、$(0,-1)$ 形式は $0$ しかないので $1$ は $\bar\partial$ 完全でない。3 行目の形式は $\bar\partial$ 閉だが $\mathbb C^2\setminus\{0\}$ の上で $\bar\partial$ 完全でなく、$H^{0,1}_{\bar\partial}(\mathbb C^2\setminus\{0\})$ は無限次元である（Dolbeaultの定理 の命題「$\mathbb C^2\setminus\{0\}$ の Dolbeault コホモロジー」）。$\mathbb C^2$ そのものは半径が $\infty$ の多重円板なので、thm-dgl-polydisc により $H^{0,1}_{\bar\partial}(\mathbb C^2)=0$ である。1 点を除くだけで可解性が崩れることは、$\mathbb C^2\setminus\{0\}$ 上の正則関数がすべて $\mathbb C^2$ に延びること（Hartogsの拡張定理）と表裏の関係にある。
$d$ との違い．$\mathbb C^2\setminus\{0\}$ は 3 次元球面 $S^3$ に変形レトラクトするので、de Rham コホモロジーは $H^1_{\mathrm{dR}}(\mathbb C^2\setminus\{0\})\cong H^1(S^3;\mathbb C)=0$ であり、$d$ について閉な 1 形式はすべて $d$ 完全である。それなのに $\bar\partial$ 閉な $(0,1)$ 形式には $\bar\partial$ 完全でないものが無限次元ぶんある。$\bar\partial$ の可解性は位相だけでは決まらず、定義域の複素解析的な形による。一方で 3 行目の形式も、各点の近くの小さい多重円板の上では $\bar\partial$ 完全である（thm-dgl-local）。多重円板より一般の開集合で解けるかどうかは ∂̄方程式のL²評価 で扱う。
関連項目
- 前提: Dolbeaultコホモロジー, Cauchy–Pompeiuの積分公式, 多重円板, 多変数正則関数
- 比較: Poincaréの補題, Mittag-Lefflerの定理
- 直後に読む: Dolbeaultの定理, 細層
- 発展: ∂̄方程式のL²評価, Hartogsの拡張定理, Cousin問題
参考文献
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