Néron–Severi群

同義語：ネロン・セヴェリ群Néron–Severi group

概要

Néron–Severi群（Néron–Severi group）とは、代数閉体上の固有で連結かつ被約なスキーム $X$ について、Picard 群 $\operatorname{Pic}(X)$ を Picard スキームの単位元成分の点のなす部分群 $\operatorname{Pic}^0(X)$ で割った群 $\operatorname{NS}(X)$ のことで、直線束の代数的同値類の群である。有限生成であることが知られ（基底の定理）、その階数を Picard 数 $\rho$ という。$\ell$ 進コホモロジーに埋め込まれて $\rho\le b_2$ となり、複素数体上では第1 Chern 類の像と一致する。曲線では次数で $\mathbb{Z}$ と同型になり、Enriques 曲面では捩れをもつ。

$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

前提知識: Picard群, Picardスキーム, 代数的同値, 固有射
レベル: 大学院

定義

$k$ を代数閉体、$X$ を $k$ 上固有で連結かつ被約なスキームとする。このとき $\Gamma(X, \mathcal{O}_X) = k$ であり、$X$ は $k$ 有理点をもつので、Picardスキーム $\operatorname{Pic}_{X/k}$ は存在して $\operatorname{Pic}_{X/k}(k) = \operatorname{Pic}(X)$ となる（存在は Murre–Oort の定理、点の一致は切断があることによる。どちらも Picardスキームの記事にある）。$\operatorname{Pic}^0_{X/k}$ をその単位元成分とし、
$$ \operatorname{Pic}^0(X) := \operatorname{Pic}^0_{X/k}(k) \subset \operatorname{Pic}(X) $$
と置く。

Néron–Severi群

上の設定で、商群
$$ \operatorname{NS}(X) := \operatorname{Pic}(X)/\operatorname{Pic}^0(X) $$
を $X$ の Néron–Severi 群（Néron–Severi group）という。$\operatorname{NS}(X)$ の階数 $\rho(X) := \operatorname{rank}_{\mathbb{Z}} \operatorname{NS}(X)$ を $X$ の Picard 数という。

$\operatorname{Pic}_{X/k}$ は局所有限型なので、その連結成分は開かつ閉であり、$\operatorname{NS}(X)$ は $\operatorname{Pic}_{X/k}$ の連結成分の集合（成分群）の $k$ 点と同じものである。
代数的同値による記述。直線束 $\mathcal{L}, \mathcal{M}$ について、連結な有限型 $k$ スキーム $T$、点 $t_0, t_1 \in T(k)$、$X \times_k T$ 上の直線束 $\mathcal{N}$ で $\mathcal{N}|_{X \times t_0} \cong \mathcal{L}$、$\mathcal{N}|_{X \times t_1} \cong \mathcal{M}$ となるものがあるとき、$\mathcal{L}$ と $\mathcal{M}$ は一つの族でつながるという。この関係が生成する同値関係を代数的同値という（代数的同値）。$\operatorname{Pic}^0(X)$ は $0$ と代数的に同値な直線束の類からなり、$\operatorname{NS}(X)$ は直線束（あるいは $X$ が正則なら因子）の代数的同値類の群である（FGAex 第 9 章。本記事では証明しない）。この記述は、$\operatorname{Pic}^0_{X/k}$ が連結で、その $k$ 点がすべて連結な族で $0$ とつながることから来る。
一般の体の上。体 $k$ が代数閉でないときは、代数閉包 $\bar{k}$ について $\operatorname{NS}(X_{\bar{k}})$ を考え、そこに $\operatorname{Gal}(\bar{k}/k)$（の分離的な部分）が作用するものとして扱うことが多い。

直感

$\operatorname{Pic}(X)$ は一般に巨大な群で、たとえば複素楕円曲線では非可算になる（Picard群 の記事の例）。その大部分は、直線束が連続的に動く部分 $\operatorname{Pic}^0(X)$ である。Néron–Severi 群は、この連続的な部分を捨てて、直線束の「離散的な型」だけを残したものである。曲線ではそれは次数であり、曲面では交叉数で測られる格子になる。
複素多様体では、直線束の離散的な型は第 1 Chern 類 $c_1(\mathcal{L}) \in H^2(X, \mathbb{Z})$ であり、$\operatorname{NS}(X)$ は $H^2(X, \mathbb{Z})$ のうち代数的な類からなる部分群として見える。

引用する基本事実

本記事が引用として使う事実

次の事実は本記事では証明しない。出典の該当箇所は本記事では確認していない。

  1. 基底の定理（Néron–Severi の定理）。上の設定で、$\operatorname{NS}(X)$ は有限生成アーベル群である。Severi が複素数体上で、Néron（Ner52）が一般の代数閉体上で示した。固有スキームの場合は SGA 6 の第 XIII 講（SGA6）に証明がある。
  2. $\operatorname{Pic}^0$ の有限性。$\operatorname{Pic}^0_{X/k}$ は $k$ 上有限型の連結な可換群スキームである（FGAex 第 9 章）。
  3. 代数群の準同型の像は閉。代数閉体上有限型の群スキームの準同型の像は閉部分群である。
  4. $\ell$ 進コホモロジーの有限性。$\ell \ne \operatorname{char} k$ なら、固有な $X$ の $H^2(X, \mu_{\ell^\nu})$ は有限群で、$H^2(X, \mathbb{Z}_\ell(1))$ は有限生成 $\mathbb{Z}_\ell$ 加群である（ℓ進コホモロジー）。

性質

$\operatorname{Pic}^0$ の可除性

Pic^0の可除性

$n$ を $k$ の標数で割れない正の整数とすると、$\operatorname{Pic}^0(X)$ の $n$ 倍写像は全射である。とくに $\ell \ne \operatorname{char} k$ なる素数 $\ell$ について、$\operatorname{Pic}^0(X)$ は $\ell$ 可除である。

接空間での n 倍

$G := (\operatorname{Pic}^0_{X/k})_{\mathrm{red}}$ とする。$k$ は代数閉（とくに完全）なので $G$ は滑らかな連結可換群スキームで、事実 2 により有限型であり、$G(k) = \operatorname{Pic}^0(X)$ である。$n$ 倍写像 $[n] \colon G \to G$ の単位元での微分は接空間上の $n$ 倍であり、$n$ は $k$ で可逆だから同型である。よって $[n]$ は単位元で、したがって平行移動により至る所でエタールであり、とくに開写像である。像 $[n](G)$ は開であり、事実 3 により閉でもある。$G$ は連結だから $[n](G) = G$、すなわち $[n]$ は全射であり、$k$ 点の上でも全射である（代数閉体上有限型のスキームの全射は $k$ 点の上で全射）。

$k$ の標数 $p > 0$ では、$p$ 可除性は成り立たないことがある。たとえば尖点をもつ有理曲線では $\operatorname{Pic}^0 \cong \mathbb{G}_a$ であり、$\mathbb{G}_a(k) = k$ は $p$ 倍で $0$ になる（本記事では証明しない）。$X$ が滑らかで射影的なら $(\operatorname{Pic}^0_{X/k})_{\mathrm{red}}$ はアーベル多様体であり、すべての $n$ について可除になる（FGAex 第 9 章）。

$\ell$ 進コホモロジーへの埋め込み

ℓ進コホモロジーへの埋め込み

$\ell \ne \operatorname{char} k$ を素数とする。

  1. 各 $\nu \ge 1$ について $\operatorname{Pic}(X)/\ell^\nu \cong \operatorname{NS}(X)/\ell^\nu$ であり、Kummer 完全列により単射 $\operatorname{NS}(X)/\ell^\nu \hookrightarrow H^2(X, \mu_{\ell^\nu})$ が得られる。
  2. 事実 1 と 4 のもとで、単射 $\operatorname{NS}(X) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}_\ell \hookrightarrow H^2(X, \mathbb{Z}_\ell(1))$ があり、とくに $\rho(X) \le \operatorname{rank}_{\mathbb{Z}_\ell} H^2(X, \mathbb{Z}_\ell(1))$ である。
可除部分を消す

1. $0 \to \operatorname{Pic}^0(X) \to \operatorname{Pic}(X) \to \operatorname{NS}(X) \to 0$ に $\otimes \mathbb{Z}/\ell^\nu$ を当てると、右完全性により $\operatorname{Pic}^0(X)/\ell^\nu \to \operatorname{Pic}(X)/\ell^\nu \to \operatorname{NS}(X)/\ell^\nu \to 0$ が完全であり、prop-neron-severi-group-divisible により左端は $0$ である。Kummer完全列 $1 \to \mu_{\ell^\nu} \to \mathbb{G}_m \to \mathbb{G}_m \to 1$ のコホモロジー長完全列から、単射 $\operatorname{Pic}(X)/\ell^\nu \hookrightarrow H^2(X, \mu_{\ell^\nu})$ が得られる。
2. 1 の単射は $\nu$ について両立する（左は自然な射影、右は $\mu_{\ell^{\nu+1}} \to \mu_{\ell^\nu}$、$\zeta \mapsto \zeta^\ell$ が誘導する写像）。逆極限は左完全なので、単射 $\varprojlim_\nu \operatorname{NS}(X)/\ell^\nu \hookrightarrow \varprojlim_\nu H^2(X, \mu_{\ell^\nu}) = H^2(X, \mathbb{Z}_\ell(1))$ を得る。事実 1 により $\operatorname{NS}(X)$ は有限生成なので、左辺は $\operatorname{NS}(X) \otimes \mathbb{Z}_\ell$ であり、その階数は $\rho(X)$ である。事実 4 により右辺は有限生成なので、階数の不等式が従う。

$X$ が滑らかで射影的なら、上の単射の余核は Brauer 群の Tate 加群 $T_\ell \operatorname{Br}(X)$ と同型になり、階数の差 $b_2 - \rho$ が Brauer 群の可除部分の大きさを与える。この完全列は Tate加群 と ℓ進コホモロジー の記事で証明する。

複素数体上の記述

第1Chern類による記述

$X$ を $\mathbb{C}$ 上の連結で滑らかな射影多様体とする。第 1 Chern 類 $c_1 \colon \operatorname{Pic}(X) \to H^2(X, \mathbb{Z})$ は同型
$$ \operatorname{NS}(X) \cong c_1(\operatorname{Pic}(X)) \subset H^2(X, \mathbb{Z}) $$
を誘導する。とくに $\operatorname{NS}(X)$ は有限生成であり、$\rho(X) \le h^{1,1}(X)$ である。

指数完全列

$X^{\mathrm{an}}$ を付随する複素多様体とする。GAGA により $\operatorname{Pic}(X) = \operatorname{Pic}(X^{\mathrm{an}})$ であり、$H^i(X, \mathcal{O}_X) = H^i(X^{\mathrm{an}}, \mathcal{O}_{X^{\mathrm{an}}})$ である（引用）。指数層完全列 $0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{2\pi i} \mathcal{O} \xrightarrow{\exp} \mathcal{O}^{\times} \to 0$ から、完全列
$$ H^1(X, \mathbb{Z}) \to H^1(X, \mathcal{O}_X) \to \operatorname{Pic}(X) \xrightarrow{c_1} H^2(X, \mathbb{Z}) $$
を得る。Hodge 理論により $H^1(X, \mathbb{Z})$ の像は $H^1(X, \mathcal{O}_X)$ の格子であり、商 $H^1(X, \mathcal{O}_X)/H^1(X, \mathbb{Z})$ は複素トーラスで、その点が $\operatorname{Pic}^0(X)$ と一致する（引用。Voi02 第 I 巻）。よって $\ker c_1 = \operatorname{Pic}^0(X)$ であり、$\operatorname{NS}(X) \cong c_1(\operatorname{Pic}(X))$ となる。$H^2(X, \mathbb{Z})$ は有限生成なので、その部分群も有限生成である。$c_1$ の像は $H^{1,1}$ 型の整数類の中にあり（実際それと一致する。Lefschetz の $(1,1)$ 定理、引用）、階数の不等式が従う。

この命題により、複素数体上では基底の定理が Hodge 理論から従う。

曲面の交叉形式

$X$ が $k$ 上の滑らかな射影曲面なら、因子の交叉数 $D \cdot E$ は代数的同値類にしかよらず、$\operatorname{NS}(X)$ 上の対称双線形形式を与える。$\operatorname{NS}(X)$ をその捩れ部分群で割った格子の上でこの形式は非退化であり、符号は $(1, \rho - 1)$ である（Hodge の指数定理。Har77 第 V 章 §1。本記事では証明しない）。数値的に $0$ な因子の類のなす部分群は、$\operatorname{NS}(X)$ の捩れ部分群と一致することが知られている（Matsusaka の定理。引用、出典の該当箇所は本記事では確認していない）。

例と反例

1次コホモロジーが消える場合

$H^1(X, \mathcal{O}_X) = 0$ なら、Picardスキーム の記事の接空間の命題により $\operatorname{Pic}^0_{X/k}$ の単位元での接空間は $0$ である。連結な局所有限型の群スキームで接空間が $0$ のものは、単位元で不分岐、したがってエタールで連結だから $\operatorname{Spec} k$ である。よって $\operatorname{Pic}^0(X) = 0$、$\operatorname{NS}(X) = \operatorname{Pic}(X)$ である。

  • 射影空間 $\mathbb{P}^n_k$ では $\operatorname{NS}(\mathbb{P}^n_k) = \operatorname{Pic}(\mathbb{P}^n_k) \cong \mathbb{Z}$、$\rho = 1$ である。
  • K3 曲面（$h^1(\mathcal{O}) = 0$ で標準束が自明な滑らかな射影曲面）でも $\operatorname{NS} = \operatorname{Pic}$ である。複素数体上では $h^{1,1} = 20$ なので、prop-neron-severi-group-complex により $\rho \le 20$ である（$h^{1,1} = 20$ は引用）。
曲線では次数

$C$ を $k$ 上の滑らかな射影連結曲線、種数を $g$ とする。次数 $\deg \colon \operatorname{Pic}(C) \to \mathbb{Z}$ は全射（点 $P$ について $\deg \mathcal{O}(P) = 1$）であり、平坦な族の中で次数は連結な底の上で一定なので、$\operatorname{Pic}^0(C) \subset \ker(\deg)$ である。逆の包含は、$\ker(\deg)$ が $\operatorname{Pic}_{C/k}$ の一つの連結成分の $k$ 点であることから従う。実際、$d \ge g$ なら次数 $d$ の直線束はすべて有効因子で表されるので（Riemann–Roch）、Abel 写像 $C^{(d)} \to \operatorname{Pic}^d_{C/k}$ は連結な対称積 $C^{(d)}$ からの全射であり（Abel 写像の存在は引用。FGAex 第 9 章）、$\operatorname{Pic}^d_{C/k}$ は連結である。次数 $d$ の点を $1$ つ選んだ平行移動で $\operatorname{Pic}^0$ の部分も連結になる。したがって
$$ \operatorname{NS}(C) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathbb{Z}, \qquad \rho(C) = 1 $$
である。

楕円曲線の積

$E, E'$ を $k$ 上の楕円曲線とし、$X = E \times E'$ とする。$\operatorname{NS}(X) \cong \mathbb{Z}^2 \oplus \operatorname{Hom}(E, E')$ であり、$\mathbb{Z}^2$ は $E \times \{\mathrm{pt}\}$ と $\{\mathrm{pt}\} \times E'$ の類で張られ、準同型 $\varphi$ にはそのグラフの類（を補正したもの）が対応することが知られている（引用。出典の該当箇所は本記事では確認していない）。したがって

  • $E$ と $E'$ が同種でなければ $\rho = 2$、
  • $E = E'$ が虚数乗法をもたなければ $\rho = 3$、
  • 標数 $0$ で $E = E'$ が虚数乗法をもてば $\rho = 4$
    である。$\operatorname{Hom}(E, E')$ は捩れのない有限生成群であり、$\operatorname{NS}(X)$ は捩れをもたない。複素数体上では $h^{1,1}(E \times E) = 4$ だから、虚数乗法をもつ場合は $\rho = h^{1,1}$ となり、prop-neron-severi-group-complex の不等式の等号が成り立つ。
例：固有でない曲線の Picard 群

$E$ を $\mathbb{C}$ 上の楕円曲線、$O$ をその原点、$U = E \smallsetminus \{O\}$ とする。$U$ は正則なので $\operatorname{Pic}(U) = \operatorname{Cl}(U)$ であり、切除の完全列（Har77 第 II 章 §6）により
$$ \operatorname{Pic}(U) \cong \operatorname{Cl}(E)/\mathbb{Z}[O] $$
である。$\operatorname{Cl}(E) = \operatorname{Pic}(E) \cong \mathbb{Z} \oplus E(\mathbb{C})$ で、$[O]$ は次数 $1$ の成分 $(1, 0)$ に対応するので（Picard群 の記事の楕円曲線の例）、$\operatorname{Pic}(U) \cong E(\mathbb{C})$ である。これは非可算群で有限生成でない。
ただし、族 $\mathcal{O}_{E \times E}(\Delta - O \times E)|_{U \times E}$（底 $E$ は連結）によって、$\operatorname{Pic}(U)$ のすべての元は $0$ と代数的に同値になる。したがって、直線束を代数的同値で割った群は $0$ であり、有限生成である。
$U$ は固有でないので Picardスキーム の存在定理は当てはまらず、本記事の定義による $\operatorname{NS}(U)$（$\operatorname{Pic}^0_{U/k}$ で割った商）は定まらない。

反例：数値的同値とは一致しない

「Néron–Severi 群は捩れをもたず、数値的同値類の群と一致する」という主張は一般には正しくない。複素数体上の Enriques 曲面 $X$ では $\operatorname{NS}(X)_{\mathrm{tors}} \cong \mathbb{Z}/2$ であり、標準因子 $K_X$ の類がその生成元である（引用。出典の該当箇所は本記事では確認していない）。$K_X$ は $0$ と代数的に同値でないが、$2K_X \sim 0$ だから任意の曲線 $D$ について $2(K_X \cdot D) = 0$、すなわち $K_X \cdot D = 0$ であり、数値的には $0$ である。よって $\operatorname{NS}(X) \to \operatorname{Num}(X)$ は単射でない。上の楕円曲線の積の例のように $\operatorname{NS}(X)$ が捩れをもたない場合に限って、両者は一致する。

補足

  • Brauer 群との関係。代数閉体上の滑らかな射影多様体では、$\ell \ne \operatorname{char} k$ について $\operatorname{Br}(X)(\ell)$ の可除部分は $(\mathbb{Q}_\ell/\mathbb{Z}_\ell)^{b_2 - \rho}$ であり、$X$ が曲面なら、有限な部分は $\operatorname{NS}(X)(\ell)$ と双対になる。前者は Tate加群 の記事で証明する。後者は Grothendieck「Le groupe de Brauer III」§8（Gro68）の結果であり、本記事では証明しない。上の Enriques 曲面では $b_2 = \rho = 10$ であり、$\operatorname{Br}(X) \cong \mathbb{Z}/2$ となる。
  • Picard 数と予想。有限体上の多様体では、Picard 数をゼータ関数の極の位数で表すことが Tate予想 の内容であり、複素数体上で代数的な類を Hodge 類で特徴づける Lefschetz の $(1,1)$ 定理は Hodge予想 の余次元 $1$ の場合にあたる。
  • 一般の体。$k$ が代数閉でないとき、$\operatorname{Pic}(X)$ の $\operatorname{NS}(X_{\bar{k}})^{\operatorname{Gal}}$ への写像は全射とは限らない。有理点の無い円錐曲線では、像は指数 $2$ の部分群になる（Picardスキーム の記事の例）。

関連項目

参考文献

[1]
André Néron, Problèmes arithmétiques et géométriques rattachés à la notion de rang d'une courbe algébrique dans un corps, Bulletin de la Société Mathématique de France 80, 1952, 101–166
[2]
Pierre Berthelot, Alexander Grothendieck, Luc Illusie, Théorie des intersections et théorème de Riemann-Roch (SGA 6, Lecture Notes in Mathematics 225), Springer, 1971, 第XIII講
[3]
Barbara Fantechi, Lothar Göttsche, Luc Illusie, Steven L. Kleiman, Nitin Nitsure, Angelo Vistoli, Fundamental Algebraic Geometry: Grothendieck's FGA Explained (Mathematical Surveys and Monographs 123), American Mathematical Society, 2005, 第9章（S. L. Kleiman, The Picard scheme）
[6]
Alexander Grothendieck, Le groupe de Brauer III : exemples et compléments, Dix exposés sur la cohomologie des schémas, Advanced Studies in Pure Mathematics 3, North-Holland, 1968, 88–188, §8

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