Matsumotoの定理(K2)

$x_{ik}(a)$ と $x_{jk}(b)$ は可換である（$(i,k)$ と $(j,k)$ について $k\ne j$、$i\ne k$）。したがって $(a,b)\mapsto x_{ik}(a)x_{jk}(b)$ は加法群 $F^2$ からの準同型である。$x_{ri}(\cdot)$ と $x_{rj}(\cdot)$（$r=k$）についても同様である。

$g=x_{ij}(u)$ の場合：$x_{ij}(u)$ は $x_{ik}(a)$ と可換で、$x_{ij}(u)x_{jk}(b)x_{ij}(u)^{-1}=[x_{ij}(u),x_{jk}(b)]\,x_{jk}(b)=x_{ik}(ub)x_{jk}(b)$ である。よって $(a,b)\mapsto(a+ub,b)$ で、これは $M=\begin{pmatrix}1&u\\0&1\end{pmatrix}$ を掛けることである。行については、$x_{ij}(u)$ は $x_{kj}(b)$ と可換で、上の第 3 の関係から $x_{ij}(u)x_{ki}(a)x_{ij}(u)^{-1}=x_{kj}(-au)x_{ki}(a)$ なので $(a,b)\mapsto(a,b-au)=(a,b)M^{-1}$ である。

$g=x_{ji}(t)$ の場合：同様に $x_{ji}(t)x_{ik}(a)x_{ji}(t)^{-1}=x_{jk}(ta)x_{ik}(a)$、$x_{ji}(t)$ と $x_{jk}(b)$ は可換なので $(a,b)\mapsto(a,b+ta)$ で、$M=\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}$ である。行については $x_{ji}(t)x_{kj}(b)x_{ji}(t)^{-1}=x_{ki}(-bt)x_{kj}(b)$ と $x_{ji}(t)$ と $x_{ki}(a)$ の可換性から $(a,b)\mapsto(a-bt,b)=(a,b)M^{-1}$ である。

一般の場合：$g=g_1g_2$ で $g_1,g_2$ について主張が成り立てば、$g$ による共役は $g_2$ による共役のあと $g_1$ による共役をすることなので、列では $M_{g_1}M_{g_2}$、行では $M_{g_2}^{-1}M_{g_1}^{-1}=(M_{g_1}M_{g_2})^{-1}$ を掛けることになる。$\phi$ は準同型なので $M_{g_1g_2}=M_{g_1}M_{g_2}$ である。生成元の逆元 $x_{ij}(-u)$ なども生成元なので、語の長さについての帰納法で主張が従う。$\square$

1：$w_{ij}(u)w_{ij}(-u)=x_{ij}(u)x_{ji}(-u^{-1})x_{ij}(u)x_{ij}(-u)x_{ji}(u^{-1})x_{ij}(-u)=1$ である。

2：lem-mk-linear を $g=w_{ij}(u)$、$M=\begin{pmatrix}0&u\\-u^{-1}&0\end{pmatrix}$、$M^{-1}=\begin{pmatrix}0&-u\\u^{-1}&0\end{pmatrix}$ に当てると、$w\,x_{ik}(a)\,w^{-1}=x_{jk}(-u^{-1}a)$、$w\,x_{jk}(b)\,w^{-1}=x_{ik}(ub)$、$w\,x_{ki}(a)\,w^{-1}=x_{kj}(-au)$、$w\,x_{kj}(b)\,w^{-1}=x_{ki}(u^{-1}b)$ である（$w=w_{ij}(u)$）。$x_{ij}(a)=[x_{ik}(a),x_{kj}(1)]$ で、共役は交換子を保つので $w\,x_{ij}(a)\,w^{-1}=[x_{jk}(-u^{-1}a),x_{ki}(u^{-1})]=x_{ji}(-u^{-2}a)$ である。同様に $x_{ji}(a)=[x_{jk}(a),x_{ki}(1)]$ から $w\,x_{ji}(a)\,w^{-1}=[x_{ik}(ua),x_{kj}(-u)]=x_{ij}(-u^2a)$ である。

3：2 で $a=u$ とすると $w\,x_{ij}(u)=x_{ji}(-u^{-1})\,w$ なので、$w=x_{ji}(-u^{-1})\,w\,x_{ij}(-u)=x_{ji}(-u^{-1})x_{ij}(u)x_{ji}(-u^{-1})=w_{ji}(-u^{-1})$ である。

4：$\phi(h_{ij}(u))$ の部分は $M=\operatorname{diag}(u,u^{-1})$ なので、lem-mk-linear から前半が従う。$w_{ik}(v)=x_{ik}(v)x_{ki}(-v^{-1})x_{ik}(v)$ の各因子を共役すると $x_{ik}(uv)x_{ki}(-u^{-1}v^{-1})x_{ik}(uv)=w_{ik}(uv)$ になる。$\square$

$x=x_{ij}$、$y=x_{ji}$、$w=w_{ij}$ と略す。lem-mk-wh の 3 により $w(-1)=w_{ji}(1)=y(1)x(-1)y(1)$ である。同じ補題の 2 から $w(r)\,y(1)=x(-r^2)\,w(r)$ であり、1 と 2 から $w(s)^{-1}y(1)w(s)=w(-s)y(1)w(-s)^{-1}=x(-s^2)$、すなわち $y(1)\,w(s)=w(s)\,x(-s^2)$ である。よって

$$w(r)w(-1)w(s)=x(-r^2)\,w(r)\,x(-1)\,w(s)\,x(-s^2)$$

である。中央は $x(r)y(-r^{-1})x(r)\,x(-1)\,x(s)y(-s^{-1})x(s)$ で、$r-1+s=0$ から $x(r)y(-r^{-1})y(-s^{-1})x(s)=x(r)\,y(-(rs)^{-1})\,x(s)$ になる（$r^{-1}+s^{-1}=(r+s)/(rs)=(rs)^{-1}$）。$r-r^2=r(1-r)=rs$、$s-s^2=rs$ なので、全体は $x(rs)\,y(-(rs)^{-1})\,x(rs)=w(rs)$ である。右から $w(-1)$ を掛けると $h_{ij}(r)h_{ij}(s)=h_{ij}(rs)$ を得る。仮定は $r$ と $s$ について対称なので、$h_{ij}(s)h_{ij}(r)=h_{ij}(sr)$ も成り立つ。$\square$

1：$w=w_{13}$、$h=h_{13}$ と略す。lem-mk-wh の 4（$i=1$、$j=2$、$k=3$）により $h_{12}(u)w(v)h_{12}(u)^{-1}=w(uv)$、$h_{12}(u)w(-1)h_{12}(u)^{-1}=w(-u)$ なので、$h_{12}(u)h(v)h_{12}(u)^{-1}=w(uv)w(-u)$ である。同じ補題の 1 から $h(a)^{-1}=w(-1)^{-1}w(a)^{-1}=w(1)w(-a)$ である。よって

$$\{u,v\}_{\mathrm{St}}=w(uv)w(-u)\,h(v)^{-1}=\bigl(w(uv)w(-1)\bigr)\bigl(w(1)w(-u)\bigr)\bigl(w(1)w(-v)\bigr)=h(uv)\,h(u)^{-1}\,h(v)^{-1}$$

である（$w(-1)w(1)=1$ を 2 番目の括弧の前に挟んだ）。

2：$\phi(h_{12}(uu'))=\phi(h_{12}(u)h_{12}(u'))$ なので、$h_{12}(uu')=h_{12}(u)h_{12}(u')c$ となる $c\in K_2(F)$ がある。$c$ は中心にあるので $[abc,d]=[ab,d]$ であり、交換子の公式 $[ab,d]=a[b,d]a^{-1}[a,d]$ と $[b,d]\in K_2(F)$ が中心にあることから $[ab,d]=[b,d][a,d]$ である（$a=h_{12}(u)$、$b=h_{12}(u')$、$d=h_{13}(v)$）。$K_2(F)$ は可換なので最初の式が従う。2 番目の式も $[a,bd]=[a,b]\,b[a,d]b^{-1}$ から同様に従う。

3：$s=1-u$ とおくと $u,s\in F^\times$、$u+s=1$ である。lem-mk-hh により $h(us)=h(s)h(u)$ なので、1 から $\{u,s\}_{\mathrm{St}}=h(s)h(u)h(u)^{-1}h(s)^{-1}=1$ である。$\square$