ホーンと充填条件

$\alpha\colon[m]\to[n]$ について、$[n]\not\subseteq\alpha([m])\cup\{k\}$ は「$k$ 以外のある $j$ が $\alpha$ の値にならない」ことと同じであり、それは $\alpha\in F_j$ となる $j\ne k$ があることと同じである。$\partial\Delta^n$ は全射でない $\alpha$ の全体（どれかの面に入る単体の全体）なので、包含も従う。$\blacksquare$

(i) 退化単体は退化写像 $s_x$ の像、つまり $\alpha'\circ\sigma^x$ の形の単体で、$\sigma^x$ が $x$ と $x+1$ を同じ値に送るので単射でない。逆に $\alpha$ が単射でなく $\alpha(x)=\alpha(x+1)$ なら、$\delta^{x+1}\sigma^x$ は $x+1$ を $x$ に送り他の点を動かさない写像なので $\alpha=\alpha\circ\delta^{x+1}\circ\sigma^x=s_x(\alpha\circ\delta^{x+1})$ と書け、退化している。単射は像で決まる（単体圏Δ の補題「射は像とつぶれる位置で決まる」）。
(ii) 部分単体的集合の単体が非退化であることは、$\Delta^n$ の単体として非退化であることと同じである（$\alpha=s_x\beta$ なら $\beta=d_x\alpha$ なので、$\alpha$ が部分単体的集合に入れば $\beta$ も入る）。よって $\Lambda^n_k$ の非退化単体は、定義の条件を満たす単射、つまり像 $S$ が $S\cup\{k\}\ne[n]$ を満たすものである。$S\cup\{k\}=[n]$ となる空でない $S$ は $[n]$ と $[n]\setminus\{k\}$ だけである（$n\ge1$ なので後者も空でない）。
(iii) $[n]$ の空でない部分集合は $2^{n+1}-1$ 個あり、そこから $2$ つを除く。$\blacksquare$

単体的集合 の定理「標準単体による単体の表示」により、写像 $h\colon\Delta^n\to X$ は $\sigma=h(\mathrm{id}_{[n]})\in X_n$ と対応し、$h(\alpha)=\alpha^*\sigma$ である。とくに $h(\delta^j)=d_j\sigma$ である。$\Lambda^n_k$ の単体はどれも $\delta^j\circ\beta$（$j\ne k$）の形なので（prop-hf-union-of-faces）、$\Lambda^n_k$ からの $2$ つの写像は、すべての $j\ne k$ で $\delta^j$ での値が一致すれば等しい。よって $h\circ i=u$ は $d_j\sigma=x_j$（$j\ne k$）と同値である。(ii) は、さらに $p\circ h=v$ が $p(\sigma)=v(\mathrm{id}_{[n]})=\tau$ と同値であることによる。$\blacksquare$

$i\colon A\to B$ を $\mathcal I$ の写像とし、各場合に持ち上げの問題 $(u,v)$ を解く。
(i) $p$ が同型なら $h=p^{-1}\circ v$ とおく。$h\circ i=p^{-1}\circ v\circ i=p^{-1}\circ p\circ u=u$、$p\circ h=v$ である。
(ii) $u\colon A\to X$、$v\colon B\to Z$ が $q\circ p\circ u=v\circ i$ を満たすとする。まず $q$ に対する問題 $(p\circ u,v)$ を解いて、$h_1\circ i=p\circ u$、$q\circ h_1=v$ となる $h_1\colon B\to Y$ を得る。次に $p$ に対する問題 $(u,h_1)$ を解いて、$h\circ i=u$、$p\circ h=h_1$ となる $h\colon B\to X$ を得る。$q\circ p\circ h=q\circ h_1=v$ なので $h$ が求める持ち上げである。
(iii) $\mathrm{pr}\colon X\times_YY'\to X$ を射影とする。$u\colon A\to X\times_YY'$、$v\colon B\to Y'$ が $p'\circ u=v\circ i$ を満たせば、$p\circ\mathrm{pr}\circ u=g\circ p'\circ u=g\circ v\circ i$ なので、$p$ に対する問題 $(\mathrm{pr}\circ u,g\circ v)$ の解 $h_0\colon B\to X$ がある。$p\circ h_0=g\circ v$ なので、引き戻しの普遍性により $h=(h_0,v)\colon B\to X\times_YY'$ が定まる。$h\circ i$ と $u$ は、$\mathrm{pr}$ との合成がともに $\mathrm{pr}\circ u$、$p'$ との合成がともに $v\circ i$ なので等しい。$p'\circ h=v$ である。
(iv) 持ち上げの問題を成分ごとに解き、得られた $h_\lambda$ を並べて $h=(h_\lambda)_\lambda$ とすればよい（添字集合が無限のときは、各成分の解を 1 つずつ選ぶのに選択公理を使う）。
(v) $p$ に対する問題 $(u,v)$ から、$p'$ に対する問題 $(a\circ u,b\circ v)$ を作る（$p'\circ a\circ u=b\circ p\circ u=b\circ v\circ i$）。その解 $h'$ に対し $h=r\circ h'$ とおくと、$h\circ i=r\circ a\circ u=u$、$p\circ h=p\circ r\circ h'=s\circ p'\circ h'=s\circ b\circ v=v$ である。$\blacksquare$

(i) $X\to\Delta^0$ は $p$ と $Y\to\Delta^0$ の合成なので、thm-hf-closure の (ii) による。(ii) $X_y\to\Delta^0$ は $p$ の $y$ による引き戻しなので、(iii) による。(iii) $\prod_\lambda X_\lambda\to\prod_\lambda\Delta^0=\Delta^0$ に (iv) を使う。$\blacksquare$

脈体の頂点は対象、辺 $e$ は $e(0)$ から $e(1)$ への射であり、$N(F)$ は頂点と辺の上で $F$ として働く。
$n\ge2$ のホーンは (ii) なしで持ち上がる。$u\colon\Lambda^n_k\to N(\mathcal G)$、$v\colon\Delta^n\to N(\mathcal H)$ が $N(F)\circ u=v\circ i$ を満たすとする。$\mathcal G$ は亜群なので $u$ は延長 $h\colon\Delta^n\to N(\mathcal G)$ をもつ。$N(F)\circ h$ と $v$ はどちらもホーン $N(F)\circ u\colon\Lambda^n_k\to N(\mathcal H)$ の延長であり、$\mathcal H$ は亜群なので延長はただ 1 つ、よって $N(F)\circ h=v$ である。
$n=1$ のホーンの持ち上げが (ii) と同値であることを示す。$\Lambda^1_0$ は頂点 $\{0\}$ なので、$\Lambda^1_0\hookrightarrow\Delta^1$ に対する持ち上げの問題は「対象 $c$ と、$F(c)$ を始点とする射 $g\colon F(c)\to d$」であり、その解は「$c$ を始点とし $F(f)=g$ となる射 $f$」である。これは (ii) そのものである。$\Lambda^1_1$ は頂点 $\{1\}$ なので、問題は「対象 $c'$ と射 $g\colon d\to F(c')$」、解は「$c'$ を終点とし $F(f)=g$ となる射 $f$」である。(ii) を仮定し、$g^{-1}\colon F(c')\to d$ に (ii) を使って $F(f')=g^{-1}$ となる $f'\colon c'\to c$ をとれば、$f=f'^{-1}$ が解である。
以上より、(ii) なら $n\ge1$ のすべてのホーンが持ち上がり、逆に Kan ファイブレーションなら $\Lambda^1_0$ の持ち上げから (ii) が従う。$\blacksquare$