Hopf代数

同義語：ホップ代数Hopf algebra

概要

Hopf代数は、積をもつ代数に、元を二つの成分へ分ける余積と、群の逆元に相当する対蹠射を加えた構造である。群環では余積が群の元を二つの同じ元へ複製し、対蹠射が逆元を取る。この仕組みにより、Hopf代数の表現はテンソル積や双対と相性よく振る舞う。
以下では $k$ を体とし、テンソル積はすべて $k$ 上で取る。Hopf代数の定義そのものに標数の仮定は要らない。

定義

余代数

$k$-ベクトル空間 $C$ と線形写像
$$ \Delta\colon C\longrightarrow C\otimes C,\qquad \varepsilon\colon C\longrightarrow k $$
が
$$ (\Delta\otimes\operatorname{id})\Delta =(\operatorname{id}\otimes\Delta)\Delta, \qquad (\varepsilon\otimes\operatorname{id})\Delta =\operatorname{id} =(\operatorname{id}\otimes\varepsilon)\Delta $$
を満たすとき、$(C,\Delta,\varepsilon)$ を 余代数（coalgebra）という。$\Delta$ を余積、$\varepsilon$ を余単位という。

余積を
$$ \Delta(x)=\sum x_{(1)}\otimes x_{(2)} $$
と書き、総和記号を省略する記法をSweedler記法という。余結合律により、反復余積を $x_{(1)}\otimes x_{(2)}\otimes x_{(3)}$ と曖昧なく書ける。

双代数

$k$-ベクトル空間 $H$ が、単位的結合代数 $(H,m,\eta)$ と余代数 $(H,\Delta,\varepsilon)$ の両方であり、$\Delta$ と $\varepsilon$ が単位的代数準同型であるとき、$H$ を 双代数（bialgebra）という。
具体的には
$$ \Delta(xy)=x_{(1)}y_{(1)}\otimes x_{(2)}y_{(2)},\quad \Delta(1)=1\otimes1, $$
$$ \varepsilon(xy)=\varepsilon(x)\varepsilon(y),\quad \varepsilon(1)=1 $$
が成り立つ。

Hopf代数

双代数 $H$ に線形写像 $S\colon H\to H$ があり、すべての $x\in H$ に対して
$$ S(x_{(1)})x_{(2)} =\varepsilon(x)1 =x_{(1)}S(x_{(2)}) $$
が成り立つとき、$(H,m,\eta,\Delta,\varepsilon,S)$ を Hopf代数（Hopf algebra）という。$S$ を 対蹠射（antipode）という。

畳み込みと対蹠射

余代数 $C$ と代数 $A$ に対し、線形写像 $f,g\colon C\to A$ の畳み込みを
$$ f*g:=m_A(f\otimes g)\Delta_C $$
と定める。余結合律と結合律から畳み込みは結合的であり、その単位元は $\eta_A\varepsilon_C$ である。したがって、Hopf代数の対蹠射は $\operatorname{id}_H$ の畳み込み逆元である。

対蹠射の一意性

双代数に対蹠射が存在すれば、それは一意である。

$S$ と $T$ がともに対蹠射であるとする。すなわち
$$ S*\operatorname{id}_H=\eta\varepsilon =\operatorname{id}_H*S,\qquad T*\operatorname{id}_H=\eta\varepsilon =\operatorname{id}_H*T $$
である。畳み込みの結合律と単位律から
$$ S=S*(\eta\varepsilon) =S*(\operatorname{id}_H*T) =(S*\operatorname{id}_H)*T =(\eta\varepsilon)*T=T $$
を得る。よって対蹠射は一意である。

群的元は群をなす

Hopf代数 $H$ の元 $g$ が
$$ \Delta(g)=g\otimes g,\qquad \varepsilon(g)=1 $$
を満たすとき、$g$ を群的元という。群的元全体 $G(H)$ は $H$ の積に関して群をなし、$g$ の逆元は $S(g)$ である。

$g,h\in G(H)$ とする。$\Delta$ と $\varepsilon$ は代数準同型なので
$$ \Delta(gh)=\Delta(g)\Delta(h) =(g\otimes g)(h\otimes h)=gh\otimes gh, \qquad \varepsilon(gh)=1 $$
であり、$gh$ も群的元である。また $1$ も群的元である。対蹠射の公理を $g$ に適用すると
$$ S(g)g=1=gS(g) $$
を得るから、$g$ は可逆で逆元は $S(g)$ である。さらに、$\Delta$ は代数準同型なので $\Delta(S(g))$ は $\Delta(g)=g\otimes g$ の逆元である。一方、$S(g)\otimes S(g)$ も $g\otimes g$ の両側逆元だから、逆元の一意性より
$$ \Delta(S(g))=S(g)\otimes S(g) $$
である。また $1=\varepsilon(S(g)g)=\varepsilon(S(g))\varepsilon(g)=\varepsilon(S(g))$ である。したがって $S(g)$ も群的元であり、$G(H)$ は群である。

対蹠射の反準同型性

対蹠射は
$$ S(xy)=S(y)S(x),\qquad \Delta(S(x))=S(x_{(2)})\otimes S(x_{(1)}), \qquad \varepsilon S=\varepsilon $$
を満たす。すなわち代数と余代数の双方について順序を反転する。この標準的な畳み込みの証明は [Swe69, §4] を参照。

基本例

群環

群 $G$ の群環 $kG$ は
$$ \Delta(g)=g\otimes g,\qquad \varepsilon(g)=1,\qquad S(g)=g^{-1}\qquad(g\in G) $$
を線形に拡張してHopf代数になる。積が可換であることは $G$ が可換であることと同値だが、余積は $G$ が非可換でも常に余可換である。実際、入れ替え写像 $\tau$ に対して $\tau\Delta(g)=g\otimes g=\Delta(g)$ である。

普遍包絡環

$k$ 上のLie代数 $\mathfrak g$ の普遍包絡環 $U(\mathfrak g)$ は
$$ \Delta(x)=x\otimes1+1\otimes x,\qquad \varepsilon(x)=0,\qquad S(x)=-x\qquad(x\in\mathfrak g) $$
を生成元から延長してHopf代数になる。ここでも余積は余可換であるが、$\mathfrak g$ が非可換なら代数 $U(\mathfrak g)$ は一般に非可換である。

有限群上の関数環

有限群 $G$ に対し、関数全体 $k^G$ を各点ごとの積で代数とする。
$$ (\Delta f)(g,h)=f(gh),\qquad \varepsilon(f)=f(e),\qquad (Sf)(g)=f(g^{-1}) $$
と定めるとHopf代数になる。これは有限次元Hopf代数 $kG$ の線形双対である。$k^G$ の積は常に可換であり、その余積が余可換であることは $G$ が可換であることと同値である。

反例：対蹠射をもたない双代数

多項式環 $k[t]$ に
$$ \Delta(t)=t\otimes t,\qquad \varepsilon(t)=1 $$
を代数準同型として延長すると双代数になる。しかし、これをHopf代数にする対蹠射は存在しない。もし存在すれば、対蹠射の公理から
$$ S(t)t=1=tS(t) $$
となり、$t$ は $k[t]$ の単元でなければならない。ところが多項式環の単元は非零定数だけなので矛盾する。この例は、双代数の両立条件だけでは「逆元」に相当する構造が保証されないことを示す。

表現と有限次元双対

双代数 $H$ の左加群 $V,W$ のテンソル積には
$$ h\cdot(v\otimes w) =h_{(1)}v\otimes h_{(2)}w $$
によって $H$-加群構造が入る。余結合律は三重テンソル積への作用の結合性を保証し、余単位は $k$ を自明表現にする。対蹠射は有限次元表現の双対に
$$ (h\cdot\varphi)(v)=\varphi(S(h)v) $$
という作用を入れる。

双対上の作用

$V$ をHopf代数 $H$ の有限次元左加群とする。上の式は線形双対 $V^\vee$ を左 $H$-加群にする。

$h,k\in H$、$\varphi\in V^\vee$、$v\in V$ とする。対蹠射の反準同型性から
$$ ((hk)\cdot\varphi)(v) =\varphi(S(hk)v) =\varphi(S(k)S(h)v) =(h\cdot(k\cdot\varphi))(v). $$
また $S(1)=1$ なので $(1\cdot\varphi)(v)=\varphi(v)$ である。よって加群の二公理が成り立つ。

有限次元Hopf代数の双対

$H$ が有限次元なら、線形双対 $H^\vee$ に、$H$ の余積の転置を積、積の転置を余積としてHopf代数構造が入る。無限次元では積の転置の像が一般に $H^\vee\otimes H^\vee$ に入らないため、線形双対全体にはこの構成をそのまま適用できない。有限双対など別の構成が必要になる。[Mon93, §1.2]