E8多様体

1． $D_8:=\{x\in\mathbb{Z}^8:\sum_ix_i\in2\mathbb{Z}\}$ は $\mathbb{Z}^8$ の部分群である。$x\in(\mathbb{Z}+\frac12)^8$ なら $x-h\in\mathbb{Z}^8$ で $\sum_i(x_i-h_i)=\sum_ix_i-4$ なので、$\Gamma_8=D_8\cup(h+D_8)$ である。$2h=(1,\dots,1)\in D_8$（成分の和 $8$）なので、$(h+d)+(h+d')=2h+d+d'\in D_8$、$-(h+d)=h+(-2h-d)\in h+D_8$ となり、$\Gamma_8$ は部分群である。
$d,d'\in D_8$ について、$d\cdot d'\in\mathbb{Z}$、$(h+d)\cdot d'=\frac12\sum_id'_i+d\cdot d'\in\mathbb{Z}$（$\sum_id'_i$ は偶数）、$(h+d)\cdot(h+d')=2+\frac12\sum_id_i+\frac12\sum_id'_i+d\cdot d'\in\mathbb{Z}$ である（$h\cdot h=8\cdot\frac14=2$）。よって内積は整数値である。さらに $d\cdot d=\sum_id_i^2\equiv\sum_id_i\equiv0$、$(h+d)\cdot(h+d)=2+\sum_id_i+d\cdot d\equiv0\pmod2$ なので偶である。
2． $b_1,\dots,b_6,b_8$ は整数成分で成分の和が $0$ または $2$ なので $D_8$ に入り、$b_7$ は半整数成分で和が $-2$ なので $h+D_8$ に入る。内積を直接計算すると、$b_i\cdot b_i=2$、木で隣り合う組は $-1$、ほかの組は $0$ で、Gram 行列は $C$ である（たとえば $b_5\cdot b_8=(e_3-e_2)\cdot(e_1+e_2)=-1$、$b_6\cdot b_7=(e_2-e_1)\cdot b_7=-\frac12-\frac12=-1$、$b_7\cdot b_8=\frac12-\frac12=0$）。
$\det C=1$ を示す。一般に、対称行列 $M$ の第 1 行が $(2,-1,0,\dots,0)$ なら、第 1 行で展開し、さらに第 $(1,2)$ 余因子の小行列を第 1 列で展開して
$$ \det M=2\det M_{\hat1}-\det M_{\hat1\hat2} $$
を得る（$M_{\hat1}$ は第 1 行・列を、$M_{\hat1\hat2}$ は第 1・2 行・列を除いたもの）。$C$ から $b_1,\dots,b_{8-k}$ に対応する行と列を除いた行列を $T_k$（$k$ 次）とすると、$b_{9-k}$ は残りの木の端の頂点なので、この式から $\det T_k=2\det T_{k-1}-\det T_{k-2}$（$k=5,\dots,8$）である。$T_4$ は道 $b_8-b_5-b_6-b_7$ の Cartan 行列で、$T_3$ は $b_6-b_7$ の道と孤立した $b_8$ の Cartan 行列の直和である。$m$ 頂点の道の Cartan 行列の行列式は、同じ漸化式と $1$ 頂点で $2$、$2$ 頂点で $3$ から $m+1$ なので、$\det T_4=5$、$\det T_3=3\cdot2=6$ である。よって
$$ \det T_5=2\cdot5-6=4,\quad\det T_6=2\cdot4-5=3,\quad\det T_7=2\cdot3-4=2,\quad\det C=\det T_8=2\cdot2-3=1 $$
である。
$\det C\ne0$ なので $b_1,\dots,b_8$ は $\mathbb{R}^8$ の基底である。$x\in\Gamma_8$ を $x=\sum_ic_ib_i$（$c_i\in\mathbb{R}$）と書くと、$x\cdot b_j=\sum_ic_iC_{ij}$ なので、$c=C^{-1}(x\cdot b_1,\dots,x\cdot b_8)^{\mathsf T}$ である。1 により $x\cdot b_j\in\mathbb{Z}$ で、$\det C=1$ なので $C^{-1}$（余因子行列）は整数行列であり、$c_i\in\mathbb{Z}$ となる。よって $b_1,\dots,b_8$ は $\Gamma_8$ の $\mathbb{Z}$ 基底で、Gram 行列 $C$ の行列式は $1$、$E_8$ 形式はユニモジュラである。
3． 標準内積の制限なので $x\ne0$ なら $x\cdot x>0$ で、正定値である。階数は $8$ なので符号数は $8$ である。
4． 1 により $x\cdot x$ は偶数なので $1$ にならない。$x\cdot x=2$ となる $x$ は、$D_8$ では $\pm e_i\pm e_j$（$i< j$）の $4\binom82=112$ 個、$h+D_8$ では成分がすべて $\pm\frac12$ で成分の和 $4-m$（$m$ は負の成分の個数）が偶数、すなわち $m$ が偶数のもの $2^7=128$ 個で、合わせて $240$ 個である。$8\langle1\rangle$ には $x\cdot x=1$ となる元（基底）があるので、$E_8$ 形式と同型でない。$\square$

境界をもつ位相多様体の境界にはカラー近傍がある（FNOP25 Theorem 2.16、p. 13）ので、2 つのコンパクト多様体を境界の同相写像で貼った $V$ は境界のないコンパクトな $4$ 次元位相多様体である。
単連結。 $V$ を、$\Pi$、$C$ にそれぞれ相手側のカラーを足した開集合 $A$、$B$ の和に書くと、$A\simeq\Pi$、$B\simeq C$ で、$A\cap B\simeq\partial\Pi$ は弧状連結である。Van Kampenの定理 により $\pi_1(A)*\pi_1(B)\to\pi_1(V)$ は全射で（Hat02 Theorem 1.20、p. 43）、$\pi_1(\Pi)=1$、$\pi_1(C)=1$ なので $\pi_1(V)=1$ である。
交叉形式。 $C$ は可縮なので $H^1(C)=H^2(C)=0$ である。これは Rokhlinの定理 の命題「Poincaré ホモロジー球面は滑らかなホモロジー球体を囲まない」の証明の段 1 の仮定（貼る相手のホモロジーが 1 点と同じ）そのもので、その段 1 の議論は滑らかさを使わない。よって制限 $H^2(V)\to H^2(\Pi)$ は $Q_V$ から $Q_\Pi$ への同型を与え、$Q_V$ は $E_8$ 形式と同型である。$\square$

1． PL の閉 $4$ 次元多様体 $N$ とホモトピー同値写像 $f\colon N\to V$ があったとする。$f$ は基本群とホモロジー・コホモロジーの同型を引き起こす（ホモトピー同値 の命題「基本群・ホモロジーへの帰結」）ので、$N$ は連結で単連結である。単連結な多様体は向き付け可能で（Hat02 Proposition 3.25、p. 234）、$f_*\colon H_4(N)\cong\mathbb{Z}\to H_4(V)\cong\mathbb{Z}$ は同型なので、$f_*[N]=[V]$ となるように $N$ の向きを選べる。$a,b\in H^2(V)$ について、カップ積の自然性から
$$ Q_N(f^*a,f^*b)=\langle f^*(a\smile b),[N]\rangle=\langle a\smile b,f_*[N]\rangle=Q_V(a,b) $$
であり、$f^*\colon H^2(V)\to H^2(N)$ は同型なので、$Q_N$ は $Q_V\cong E_8$ と同型である。とくに $Q_N$ は偶で、$\sigma(N)=8$ である（prop-e8-form の 3）。
$N$ は単連結で $Q_N$ は偶なので、$w_2(N)=0$ である（FNOP25 Remark 8.9、pp. 64–65、Kir89 Ch. II Lemma 4.1、p. 27）。また向き付け可能なので $w_1(N)=0$ である。PL の閉 $4$ 次元多様体で $w_1=w_2=0$ なら符号数は $16$ の倍数である（Rokhlinの定理。PL の場合は Rud01 Theorem 7.1、p. 42）。$\sigma(N)=8$ はこれに反する。
滑らかな閉多様体は PL 構造をもつ（Whitehead三角形分割）ので、滑らかな場合も PL の場合に含まれる。
2． $V$ が PL 構造（または滑らかな構造）をもてば、その構造を入れた $V$ と恒等写像が 1 の $N$、$f$ を与えるので矛盾する。$\square$

次の 3 つの事実を使う（いずれも FNOP25。この記事では証明しない）。

• (a) コンパクトな $4$ 次元多様体 $M$ が滑らかな構造をもてば $\kappa(M)=0$（Theorem 9.2 (1)、p. 68）。
• (b) 境界に沿って貼ったものについて $\kappa(M\cup_\partial N)=\kappa(M)+\kappa(N)$（Theorem 9.2 (5)、p. 69）。
• (c) 境界が整数ホモロジー $3$ 球面のコンパクトで向き付けられた spin $4$ 次元多様体 $M$ について $\kappa(M)=\sigma(M)/8+\mu(\partial M)\in\mathbb{Z}/2$（Theorem 9.5、p. 74。$\mu$ は Rokhlin 不変量）。
  $V=\Pi\cup_\partial C$ と書く（prop-e8-construction）。$\Pi$ は滑らかなので (a) により $\kappa(\Pi)=0$ である。$C$ は可縮なので $H^2(C;\mathbb{Z}/2)=0$ で spin であり、$H_2(C)=0$ なので $\sigma(C)=0$ である。$\partial C$ は向きを除いて Poincaré ホモロジー球面 $P$ で、Rokhlin 不変量は向きによらず $\mu(P)=1$ である（Rokhlinの定理 の例「Rokhlin 不変量の値」）。よって (c) により $\kappa(C)=0+1=1$ である。(b) により $\kappa(V)=\kappa(\Pi)+\kappa(C)=0+1=1$ である。$\square$