局所体

1：$i\ge0$ について、写像 $\mathcal{O}\to\mathfrak{m}^i/\mathfrak{m}^{i+1}$、$a\mapsto\pi^ia\bmod\mathfrak{m}^{i+1}$ は加法群の準同型である。$y\in\mathfrak{m}^i$ は $y=\pi^i\cdot(y\pi^{-i})$、$y\pi^{-i}\in\mathcal{O}$ と書けるので全射であり、核は $v(\pi^ia)\ge i+1$、すなわち $a\in\mathfrak{m}$ となる $a$ 全体である。よって $\mathfrak{m}^i/\mathfrak{m}^{i+1}\cong\mathcal{O}/\mathfrak{m}=k$ はちょうど $q$ 個の元をもつ。加法群の鎖 $\mathcal{O}\supset\mathfrak{m}\supset\dots\supset\mathfrak{m}^n$ について、剰余類の個数は掛け算になる（$A\supset B\supset C$ なら $|A/C|=|A/B|\,|B/C|$。Lagrangeの定理 の記事の系「部分群の鎖と指数」）ので、$|\mathcal{O}/\mathfrak{m}^n|=q^n$ である。
2：$|x-a|\le q^{-n}$ は $v(x-a)\ge n$、すなわち $x-a\in\mathfrak{m}^n$ と同値なので、等式が成り立つ。$x\in a+\mathfrak{m}^n$ とし、$|y-x|< q^{-n+1}$ とすると $v(y-x)>n-1$、すなわち $v(y-x)\ge n$ なので、$y-a=(y-x)+(x-a)\in\mathfrak{m}^n$ である。よって $a+\mathfrak{m}^n$ は $x$ を中心とする開球を含み、開集合である。補集合も開集合である。実際 $x\notin a+\mathfrak{m}^n$ なら、$x+\mathfrak{m}^n$ は（今示したとおり）開集合で、$a+\mathfrak{m}^n$ と交わらない（交われば $x-a\in\mathfrak{m}^n$ となる）。よって $a+\mathfrak{m}^n$ は閉集合でもある。
3：$\mathcal{O}=0+\mathfrak{m}^0$ は 2 により完備な $K$ の閉集合なので、$\mathcal{O}$ の Cauchy 列の極限は $\mathcal{O}$ に属し、$\mathcal{O}$ は完備である。$\varepsilon>0$ に対し $q^{-n}<\varepsilon$ となる $n\ge0$ をとると、1 により $\mathcal{O}$ は $q^n$ 個の剰余類 $a+\mathfrak{m}^n$ の和であり、各剰余類は $a$ を中心とする半径 $\varepsilon$ の開球に含まれる。よって $\mathcal{O}$ は全有界である。完備かつ全有界な距離空間はコンパクトである（全有界 の記事の定理「コンパクト性との関係」）。
4：距離空間なので Hausdorff である。$x\in K$ について、$y\mapsto x+y$ は距離を保つ全単射なので同相写像であり、$x+\mathcal{O}$ は $x$ のコンパクトな開近傍である。よって $K$ は局所コンパクトである。$\pi^n\ne0$ で $|\pi^n|=q^{-n}\to0$ なので、$\{0\}$ は開集合でなく、$K$ は離散でない。開集合族 $\pi^{-N}\mathcal{O}$（$N\ge0$）は増大列で $K$ を覆う（$x\ne0$ なら $x\in\pi^{v(x)}\mathcal{O}$）が、有限部分族の和は最大のもの $\pi^{-N}\mathcal{O}$ に等しく $\pi^{-N-1}$ を含まないので、$K$ はコンパクトでない。最後に、$K$ の体の演算が $d$ について連続であることは、$|xy-x'y'|\le\max\{|x|\,|y-y'|,\ |y'|\,|x-x'|\}$ と、$|x|=|x'|\ne0$（$|x-x'|<|x|$ のとき、三角不等式 の記事の命題「強三角不等式の帰結」の 1）のもとでの $|x^{-1}-x'^{-1}|=|x-x'|/|x|^2$ から従う。$\square$

$z:=x-y\in\mathfrak{m}^j$ とおくと、二項定理により $x^q=y^q+\sum_{i=1}^{q}\binom qi y^{q-i}z^i$ である。$1\le i\le q-1$ なら $\binom qi$ は $p$ で割り切れる。実際、二項定理 の記事の命題「$p$ 乗が和を保つこと」を標数 $p$ の可換環 $\mathbb{F}_p[X,Y]$ に適用すると $(X+Y)^{q}=X^q+Y^q$ となり、係数を比べると $\binom qi\equiv0\pmod p$ である。一方 $k$ の標数は $p$ なので $p\cdot1\in\mathfrak{m}$ である。よってこれらの項は $\mathfrak{m}\cdot\mathfrak{m}^j=\mathfrak{m}^{j+1}$ に属する。$i=q$ の項は $z^q\in\mathfrak{m}^{jq}$ で、$q\ge2$、$j\ge1$ から $jq\ge2j\ge j+1$ なので、これも $\mathfrak{m}^{j+1}$ に属する。$\square$

1：$k$ は $q$ 個の元からなる有限体なので、$\bar a^q=\bar a$、すなわち $a^q\equiv a\pmod{\mathfrak{m}}$ である。lem-local-field-power-congruence を $n$ 回繰り返すと $a^{q^{n+1}}\equiv a^{q^n}\pmod{\mathfrak{m}^{n+1}}$、すなわち $|a^{q^{n+1}}-a^{q^n}|\le q^{-(n+1)}$ である。$m>n$ なら強三角不等式により
$$ |a^{q^m}-a^{q^n}|\le\max_{n\le l< m}|a^{q^{l+1}}-a^{q^l}|\le q^{-(n+1)} $$
なので、列は Cauchy 列であり、$K$ の完備性により収束する。$\mathcal{O}$ と $a+\mathfrak{m}$ は閉集合で（prop-local-field-compact の 2）、各項 $a^{q^n}$ はこれらに属する（$a^{q^n}\equiv a$ は $a^q\equiv a$ の繰り返し）ので、$\omega(a)\in\mathcal{O}$、$\omega(a)\equiv a\pmod{\mathfrak{m}}$ である。$x\mapsto x^q$ は連続なので、$\omega(a)^q=\lim_n(a^{q^n})^q=\lim_na^{q^{n+1}}=\omega(a)$ である。$a\equiv b\pmod{\mathfrak{m}}$ なら、補題を繰り返して $a^{q^n}\equiv b^{q^n}\pmod{\mathfrak{m}^{n+1}}$ なので、極限は一致し $\omega(a)=\omega(b)$ である。
3 と 2：$k$ の各元 $c$ について代表 $a\in\mathcal{O}$ を選び、$\omega_c:=\omega(a)$ とおく（1 により $a$ の選び方によらない）。$\omega_c\equiv a$ なので、$c\ne c'$ なら $\omega_c\ne\omega_{c'}$ であり、$\omega_c$ の類は $c$ である。$q$ 個の元 $\omega_c$ はすべて多項式 $X^q-X$ の根であり、体上の $q$ 次多項式の根は高々 $q$ 個である（有限体 の記事の補題「体上の多項式の根の個数」）ので、$\{\omega_c\mid c\in k\}$ は $X^q-X$ の $K$ における根全体に等しい。$c\ne0$ なら $\omega_c\not\equiv0$ なので $\omega_c\ne0$ であり、$X^q-X=X(X^{q-1}-1)$ から、$\mu_{q-1}(K)=\{\omega_c\mid c\in k^\times\}$ はちょうど $q-1$ 個の元からなる。$c=0$ では代表 $a=0$ から $\omega_0=0$ である。したがって $T=\{\omega_c\mid c\in k\}$ で、$T$ の元の類はちょうど 1 回ずつ $k$ の元を尽くし、3 が成り立つ。還元写像は環準同型なので、その $\mu_{q-1}(K)$ への制限は乗法群の準同型 $\mu_{q-1}(K)\to k^\times$ で、今示したことから全単射である。$\mu_{q-1}(K)$ は体の乗法群の有限部分群なので巡回群である（有限体 の記事の定理「有限体の乗法群の構造」）。$\square$

$u,u'\in U^{(1)}$ なら $uu'\equiv1$、$u^{-1}\equiv1\pmod{\mathfrak{m}}$（$|u|=1$ なので $u$ は単元）であり、$U^{(1)}$ は部分群である。写像は可換群の積なので準同型である。
全射：$x\in K^\times$ は $x=\pi^{v(x)}w$（$w\in\mathcal{O}^\times$）と書ける（離散付値環 の記事の命題「離散付値環の基本構造」の 2）。$w\not\equiv0$ なので $\zeta:=\omega(w)\in\mu_{q-1}(K)$ で、$\zeta\equiv w$ であり、$u:=w\zeta^{-1}$ は $u-1=(w-\zeta)\zeta^{-1}\in\mathfrak{m}$ を満たす。よって $x=\pi^{v(x)}\zeta u$ である。
単射：$\pi^n\zeta u=1$ なら、$v(\zeta)=v(u)=0$ から $n=0$ であり、$\zeta=u^{-1}\equiv1\pmod{\mathfrak{m}}$ である。prop-local-field-teichmuller の 2 により還元は $\mu_{q-1}(K)$ 上で単射なので $\zeta=1$、したがって $u=1$ である。$\square$

$T$ は $X^q-X$ の根全体である（prop-local-field-teichmuller の証明）。標数 $p$ の体では $(x+y)^q=x^q+y^q$（二項定理 の記事の命題「$p$ 乗が和を保つこと」）なので、$x,y\in T$ なら $x+y$、$xy$、$-x$（$(-x)^q=(-1)^qx^q$ で、$q$ が奇数なら $(-1)^q=-1$、$p=2$ なら $-x=x$）、$x^{-1}$（$x\ne0$）も $T$ に属する。よって $T$ は部分体であり、還元写像 $T\to k$ は体の準同型で、prop-local-field-teichmuller の 3 により全単射なので、$T\cong k\cong\mathbb{F}_q$ である。
$f=\sum_{n\ge n_0}a_nt^n$ について $|a_n\pi^n|\le q^{-n}\to0$ なので、完備な超距離体での級数の収束判定（p進数 の記事の命題「非アルキメデス級数の収束判定」。証明は強三角不等式と完備性だけを使う）により $\Phi(f)$ は収束する。$\Phi$ は和を保つ（部分和ごとに成り立ち、極限をとる）。
$f\ne0$ で $a_{n}$（$n=v_t(f)$）が最初の $0$ でない係数なら、$a_n\in T\setminus\{0\}$ は単元なので $v(a_n\pi^n)=n$ であり、残りの部分和はすべて $\mathfrak{m}^{n+1}$ に属し、$\mathfrak{m}^{n+1}$ は閉集合なのでその極限も $\mathfrak{m}^{n+1}$ に属する。$v(x)\ne v(y)$ なら $v(x+y)=\min$（離散付値環 の記事の定義の直後の段落）なので、$v(\Phi(f))=n$ である。特に $\Phi$ は単射で、$|\Phi(f)-\Phi(g)|=|\Phi(f-g)|$ は $f,g$ の $t$ 進距離に等しい。
積を保つこと：$f_N,g_N$ を $f,g$ の次数 $N$ 以下の部分和とすると、有限和なので $\Phi(f_Ng_N)=\Phi(f_N)\Phi(g_N)$ である。$N\to\infty$ で $f_Ng_N$ は $fg$ に $t$ 進的に近づくので、今示した等長性により $\Phi(f_Ng_N)\to\Phi(fg)$ であり、乗法の連続性により右辺は $\Phi(f)\Phi(g)$ に近づく。
全射：$x\in\mathcal{O}$ とする。$a_0\in T$ を $x$ の類の代表とし（prop-local-field-teichmuller の 3）、$x_1:=(x-a_0)/\pi\in\mathcal{O}$ とおく。同様に $a_1\in T$ を $x_1$ の類の代表とし、$x_2:=(x_1-a_1)/\pi$ とおく。これを繰り返すと、各 $N$ について $x=\sum_{n=0}^{N-1}a_n\pi^n+\pi^Nx_N$、$x_N\in\mathcal{O}$ であり、$|x-\sum_{n< N}a_n\pi^n|\le q^{-N}$ なので $x=\Phi(\sum_{n\ge0}a_nt^n)$ である。一般の $x\in K^\times$ は $x=\pi^{v(x)}y$（$y\in\mathcal{O}$）なので、$\Phi(t^{v(x)}g)=\pi^{v(x)}\Phi(g)$ から像に入る。$\square$