閉部分群定理

$t\in\mathbb{R}$ を固定し、整数 $n_k:=\lfloor t/\lvert X_k\rvert\rfloor$ をとる。$t/\lvert X_k\rvert-1< n_k\le t/\lvert X_k\rvert$ なので $\bigl\lvert n_k\lvert X_k\rvert-t\bigr\rvert< \lvert X_k\rvert\to0$ であり、
$$ n_kX_k=n_k\lvert X_k\rvert\cdot\frac{X_k}{\lvert X_k\rvert}\to tX $$
である。$\exp(n_kX_k)=(\exp X_k)^{n_k}$ は $H$ の元の整数乗なので $H$ に属する。$\exp$ は連続なので $\exp(n_kX_k)\to\exp(tX)$ であり、$H$ は閉集合なので $\exp(tX)\in H$ である。$t$ は任意なので $X\in\mathfrak{h}$ である。$\square$

thm-cst-main を示す。
段 1（(R1)：$\mathfrak{h}$ は線形部分空間）．定義から $X\in\mathfrak{h}$ なら $cX\in\mathfrak{h}$（$c\in\mathbb{R}$）であり、$0\in\mathfrak{h}$ である。$X,Y\in\mathfrak{h}$、$t\in\mathbb{R}$ とする。各 $n$ で $\exp(\frac tnX)$、$\exp(\frac tnY)\in H$ なので、$\bigl(\exp(\frac tnX)\exp(\frac tnY)\bigr)^n\in H$ である。積の公式からこの列は $\exp\bigl(t(X+Y)\bigr)$ に収束し、$H$ は閉集合なので $\exp\bigl(t(X+Y)\bigr)\in H$ である。よって $X+Y\in\mathfrak{h}$ である。
段 2（補う向きには $H$ の元がない）．$\mathfrak{h}$ の補空間 $\mathfrak{b}$（$\mathfrak{g}=\mathfrak{h}\oplus\mathfrak{b}$）を 1 つとる。$0$ の近傍 $W\subset\mathfrak{b}$ で、「$Y\in W$、$\exp Y\in H$ なら $Y=0$」となるものがあることを示す。ないとすると、各 $k$ に $Y_k\in\mathfrak{b}$ で $0< \lvert Y_k\rvert< 1/k$、$\exp Y_k\in H$ となるものがある。$\mathfrak{b}$ の単位球面はコンパクトなので、部分列をとって $Y_k/\lvert Y_k\rvert\to Y$（$Y\in\mathfrak{b}$、$\lvert Y\rvert=1$）としてよい。lem-cst-directions から $Y\in\mathfrak{h}$ であり、$Y\in\mathfrak{h}\cap\mathfrak{b}=\{0\}$ となって $\lvert Y\rvert=1$ に反する。
段 3（単位元のまわりのスライス座標）．$\Phi\colon\mathfrak{h}\times\mathfrak{b}\to G$、$\Phi(X,Y):=\exp X\exp Y$ とおく。$\Phi$ は滑らかで、$\exp$ の $0$ での微分が恒等写像であることと $d\mu_{(e,e)}(a,b)=a+b$（$\mu$ は積）から、$d\Phi_{(0,0)}(X,Y)=X+Y$ である。これは $\mathfrak{h}\times\mathfrak{b}$ から $\mathfrak{g}$ への線形同型なので、逆関数定理 の定理「可微分多様体の間の写像の局所可逆性」により、$0$ の開近傍 $V\subset\mathfrak{h}$ と $V'\subset W$ で、$\Phi$ が $V\times V'$ から $e$ の開近傍 $U:=\Phi(V\times V')$ への微分同相写像になるものがある。
$g=\exp X\exp Y\in U$（$X\in V$、$Y\in V'$）について、$X\in\mathfrak{h}$ なので $\exp X\in H$ であり、
$$ g\in H\iff\exp Y=(\exp X)^{-1}g\in H\iff Y=0 $$
である（最後は段 2）。よって $U\cap H=\Phi(V\times\{0\})=\exp(V)$ である。$\mathfrak{h}$ の基底 $X_1,\dots,X_m$ と $\mathfrak{b}$ の基底 $Y_1,\dots,Y_{n-m}$ による座標を $\Phi^{-1}$ と合成した $\psi\colon U\to\mathbb{R}^n$ は $G$ の座標近傍で、
$$ \psi(U\cap H)=\psi(U)\cap\bigl(\mathbb{R}^m\times\{0\}\bigr) $$
を満たす。これは $e$ のまわりの $m$ スライス座標（$m=\dim\mathfrak{h}$）である。
段 4（(R2)：各点のスライス座標）．$h\in H$ とする。左移動 $L_h$ は $G$ の微分同相写像で、$H$ は部分群なので $L_h(U)\cap H=h(U\cap H)$ である。したがって $\psi\circ L_{h^{-1}}$ は $hU$ の上の $m$ スライス座標である。よって $H$ は $m$ 次元の部分多様体である。$e$ の近くで $H=\exp(V)$ であり、$\exp|_V$ は $V$ から $H$ の開集合への微分同相写像なので、$T_eH=(d\exp)_0(\mathfrak{h})=\mathfrak{h}$ である。
段 5（(R3)：Lie 群であること）．$G\times G$ の部分多様体 $H\times H$ の上で、積と逆元は $G$ の滑らかな写像の制限なので滑らかで、値は $H$ に入る。部分多様体に値をとる滑らかな写像は、その部分多様体への写像としても滑らかである（スライス座標 $(V_0;y^1,\dots,y^n)$ で $H$ の座標は $(y^1,\dots,y^m)$ であり、写像の成分 $y^i\circ F$ は滑らかである）。よって $H$ は Lie 群で、包含写像は滑らかな準同型である。$\square$

1. ⇒ (R2) は thm-cst-main である。(R2) ⇒ (R1)：部分多様体は局所閉集合である（埋め込まれた部分多様体 の命題「部分多様体は局所閉集合」）ので、$H$ は閉包 $\overline H$ の開集合である（局所閉集合 の命題「局所閉性の言い換え」）。$\overline H$ は $G$ の部分群であり（位相群 の命題「部分群の位相」の 2）、相対位相で位相群である。$H$ はその開部分群なので、$\overline H$ の閉集合である（同じ命題の 4）。$\overline H$ は $G$ の閉集合なので、$H$ は $G$ の閉集合である。$\square$

グラフ $\Gamma:=\{(g,\varphi(g))\mid g\in G\}$ は $G\times K$ の部分群で、$K$ は Hausdorff なので閉集合である。thm-cst-main から $\Gamma$ は $G\times K$ の部分多様体で Lie 群である。$p\colon\Gamma\to G$ を第 1 成分への射影の制限とすると、$p$ は全単射な滑らかな準同型であり、$\varphi=\mathrm{pr}_K\circ p^{-1}$ である。$p^{-1}$ が滑らかであることを示せばよい。
段 1（$dp_e$ は単射）．$G\times K$ の Lie 環は $\mathfrak{g}\oplus\mathfrak{k}$ で、$t\mapsto(\exp tX,\exp tY)$ は初速度 $(X,Y)$ の 1 径数部分群なので、$G\times K$ の指数写像は $(X,Y)\mapsto(\exp X,\exp Y)$ である。$T_e\Gamma$ の元 $(0,Y)$ をとると、thm-cst-main の (R2) から、すべての $t$ で $(e,\exp tY)\in\Gamma$、すなわち $\exp tY=\varphi(e)=e$ である。$t=0$ で微分して $Y=0$ である。
段 2（$p$ は微分同相）．$p\circ L_\gamma=L_{p(\gamma)}\circ p$ なので、$dp$ はすべての点で単射である。もし $\dim\Gamma< \dim G$ なら、$\Gamma$ と $G$ を可算個の座標近傍で覆い、各座標表示に Sardの定理 の補題「次元の低い空間からの写像の像」を使うと、$p(\Gamma)$ は $G$ の測度零集合になる（同じ記事の命題「局所座標による判定」）。測度零集合の補集合は稠密なので $p(\Gamma)\neq G$ となり、$p$ が全射であることに反する。よって $\dim\Gamma=\dim G$ で、$dp$ は各点で同型である。逆関数定理 の定理「可微分多様体の間の写像の局所可逆性」から $p$ は各点の近くで微分同相写像であり、全単射なので $p^{-1}$ は滑らかである。
後半：同じ位相群に 2 つの Lie 群の構造があれば、恒等写像は連続な準同型なので両方向に滑らかである。$\square$